ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ, 2014, том 48, № 5, с. 518-526
УДК 66.02:519.8
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ © 2014 г. Ф. Г. Ахмадиев
Казанский государственный архитектурно-строительный университет
Akhmadiev@ksaba.ru Поступила в редакцию 01.04.2014 г.
Проведен краткий обзор основных подходов к решению задач многокритериальной оптимизации, их преимуществ и недостатков, вычислительных проблем при решении конкретных задач с численной реализацией. Приведены решения оптимизации трех видов специфических технологических процессов с точки зрения построения их математических моделей на основе использования различных подходов. Получены численные результаты решения задач оптимизации для рассмотренных примеров, которые использованы на практике при оптимальном оформлении соответствующих процессов.
Ключевые слова: математическое моделирование, системный анализ, оптимальное проектирование, многокритериальная оптимизация.
Б01: 10.7868/80040357114050017
ВВЕДЕНИЕ
Основу современного подхода к оптимальному проектированию различных технологических объектов, конструкций, технологических процессов и их оптимальному аппаратурному оформлению составляет системный анализ. При этом математическое моделирование составляет основу системного анализа. Почти все технические объекты, технологические процессы являются многоцелевыми, т.е. они предназначены для выполнения (решения) целого ряда задач (проблем) и являются многофункциональными.
Задачи принятия решений (оптимального проектирования) содержат различного типа неопределенности, отражающие тот факт, что знания исследователя относительны и неточны. Обычно различают три типа неопределенностей: 1) неопределенность обстановки, в которой необходимо принять решение ("природные неопределенности" — неопределенность модели и исходных данных); 2) неопределенность цели, которой должна достигнуть система; 3) неопределенность (случайность) самого решения. Неопределенности обстановки и цели обычно приводят к многокритериальным задачам оптимизации. Много-критериальность обусловлена стремлением оценить качество решения с различных точек зрения, а также неопределенностью условий и параметров, динамикой и многоэтапностью процессов, сложностью и иерархичностью оптимизируемых
систем. С учетом вышеизложенного математически задачу оптимального проектирования объектов сложной природы можно представить в следующем виде: найти
max(min)F(z) (1)
при условиях
¥(z)= 0, zmin < z < zmax, (2)
где F = Ff1*, f2*,..., f*) — набор целевых функций, у = 2,...,V k) — вектор-функция функцио-
нального оператора проектируемого объекта (математическая модель), представляющие ограничения поставленной оптимизационной задачи, г — вектор варьируемых переменных (параметры оптимизации).
Задача оптимального проектирования (1)—(2) обычно является задачей многокритериальной оптимизации. Для ее постановки центральным моментом является построение математической
модели исследуемого объекта у (z )= 0 и критериев
оптимизации F (z).
Многокритериальные задачи очень разнообразны по содержанию, по объему и качеству информации. Основная трудность при решении многокритериальных задач связана с недостатком информации, требуемой для уменьшения неопределенности цели. Проблемам анализа и раз-
личным аспектам решения этих задач посвящен целый ряд работ, например, [1—6].
Выделяют следующие основные подходы к решению задач многокритериальной оптимизации:
1) априорные процедуры (сведение многокритериальной задачи к однокритериальной с помощью компромисса и решающих правил);
2) построение множества альтернатив, оптимальных по Парето, и выбор из этого множества предпочтительной альтернативы с точки зрения лица, принимающего решение (ЛПР);
3) апостериорные процедуры (аксиоматический подход на базе теории полезности для построения функции предпочтений ЛПР);
4) адаптивный подход (человеко-машинные процедуры для выявления предпочтений ЛПР одновременно с исследованием множества альтернатив).
Каждый из этих подходов имеет свои достоинства и недостатки. Выбор того или иного подхода определяется в большей степени особенностями решаемой задачи многокритериальной оптимизации. Основной и главной особенностью априорного подхода является то, что задачу многокритериальной оптимизации можно свести к задачам однокритериальной оптимизации. Правила "свертывания" многих критериев в один могут быть выбраны по-разному и заранее неизвестно, какие из них предпочтительнее. Основными способами сведения многокритериальных задач к од-нокритериальным являются выделение главного критерия, линейной свертки, принцип гарантированного результата, метод идеальной точки в пространстве критериев.
Выделение главного критерия — способ, при котором из всех критериев /1 (г) выбирается некоторый основной (главный), а оставшиеся критерии при помощи некоторой системы нормативов
/*,/*,...,переводятся в систему ограничений в
виде/1 (г) > /*. Это, видимо, наиболее простой и в то же время наиболее эффективный метод решения задачи многокритериальной оптимизации априорными процедурами.
При построении множества альтернатив по Парето предполагается, что можно построить такое множество решений (альтернатив), что вне этого множества значения всех критериев одновременно не могут быть улучшены. Определяются эффективные (неулучшаемые) точки z* допустимого множества, в которых значение хотя бы одного критерия будет лучше по сравнению со значением критериев £ (г) в любой другой точке. Такое множество z* называется множеством Па-рето. Оптимальность по Парето означает, что нельзя дальше улучшать значение одного из кри-
териев, не ухудшая при этом значение хотя бы одного из остальных. Окончательный выбор решения из множества Парето остается за ЛПР за счет дополнительных соображений, например, введения некоторого общего критерия.
В основе апостериорных процедур лежит предположение, что формальная модель многокритериальной задачи не содержит информацию, достаточную для выбора наилучшей альтернативы. Предполагается, что такую информацию можно получить от ЛПР. Для выбора предпочтений вводится функция полезности. Практическое использование апостериорных процедур наталкивается на определенные трудности, связанные с необходимостью сбора большого количества информации либо с тем, что ЛПР дает эту информацию с большими ошибками.
В последнее время довольно интенсивно разрабатываются адаптивные процедуры, ориентированные, прежде всего, на возможности ЛПР. Здесь, прежде всего, выявляются типы вопросов, на которые ЛПР может отвечать без особых затруднений и с достаточно высокой точностью, а затем на основе этих вопросов строится процедура выявления предпочтений одновременно с исследованием множества альтернатив. В качестве примера можно привести известную процедуру Соболя—Статникова [5].
Область альтернатив, заданных ограничениями, покрывается равномерно распределенными точками, в каждой из которых вычисляются значения целевых функций и результаты систематизируются в виде специальных таблиц — таблиц испытаний (ТИ). Проектировщик (ЛПР) просматривает на дисплее независимо друг от друга ТИ каждого критерия и назначает значения верхних и нижних границ выбранных критериев. После этого ЭВМ в автоматическом режиме проверяет совместимость критериальных ограничений. Если такие точки существуют, то это говорит о том, что задача имеет решение. Если нет, то можно ослабить критериальные ограничения или увеличить число точек в области поиска и после этого еще раз применить диалоговую процедуру определения критериальных границ. Если решение существует, то после конечного числа шагов образуется множество допустимых решений. Далее рассмотрим несколько примеров решения задач многокритериальной оптимизации различными подходами для конкретных технологических процессов в зависимости от постановки задачи и математических моделей соответствующего процесса.
Целью настоящей работы является краткий обзор основных подходов к решению задач многокритериальной оптимизации, их преимуществ и недостатков и иллюстрация их применения для
оптимизации конкретных технологических процессов с построением соответствующих математических моделей.
ТИПИЧНЫЕ ЗАДАЧИ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
С целью иллюстрации возможностей применения основных подходов к решению многокритериальных задач для оптимизации конкретных технологических процессов с учетом их специфики рассмотрим следующие примеры.
Пример 1. Задача определения оптимального состава многокомпонентных смесей с учетом требований к свойствам смеси и стоимости затрат на ее приготовление.
Пример 2. Задача разделения зернистых материалов по размерам на многоярусных классификаторах при условии достижения максимальной производительности и степени разделения.
Пример 3. Задача оптимального проектирования узлов фильтровального оборудования при разделении двухфазных сред.
При этом большое внимание будет уделено построению математических моделей объектов оптимизации.
ОПТИМИЗАЦИЯ СВОЙСТВ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СМЕСЕЙ
Сырьевые материалы (вяжущие, заполнители, наполнители, смолы и химические добавки), используемые при производстве изделий, строительных и других материалов, как правило, представляют собой смеси из различных веществ, порошков, зерен разной крупности. Состав (рецептура) таких смесей задается концентрациями компонентов в виде массовых, объемных или мольных долей
п
(процентов) при этом 0 < < 1, ^ г = 1.
¿=1
Для построения зависимостей свойств и экономических критериев от компонентного состава обычно проводятся эксперименты по заранее выбранным планам. В качестве таких планов выбираются симплекс-решетчатые композиционные и полукомпозиционные планы. Результаты экспериментов обрабатываются методом наименьших квадратов и строятся математические модели.
После построения адекватных математических моделей свойств смеси и экономических критериев формулируется задача оптимизации компонентного состава смеси.
Математическая формулировка таких задач в общем случае имеет вид
тах(шп)у^ (ц,г2,..., 1п),
тах
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.