научная статья по теме НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТОРОИДАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОТОКОВЫХ КООРДИНАТАХ Физика

Текст научной статьи на тему «НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТОРОИДАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОТОКОВЫХ КООРДИНАТАХ»

ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 7, с. 575-590

МАГНИТНЫЕ ЛОВУШКИ

УДК 533.9

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТОРОИДАЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОТОКОВЫХ КООРДИНАТАХ

© 2014 г. В. В. Арсенин, А. А. Сковорода

Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", Москва, Россия

e-mail: Arsenin_VV@nrcki.ru Поступила в редакцию 05.11.2013 г. Окончательный вариант получен 19.02.2014 г.

Даны постановки задач осесимметричного равновесия в ортогональных потоковых координатах с граничными условиями, не предполагающими фиксацию формы границ, как для ловушек типа ле-витрона с омываемым плазмой проводником, так и для конфигураций без проводника, включая то-камак. Приводятся иллюстративные примеры численного решения этих задач. В случае с проводником демонстрируется, как, используя потоковые координаты, можно найти геометрию равновесия с изодинамической магнитной поверхностью.

DOI: 10.7868/S0367292114070014

ВВЕДЕНИЕ

В ряде задач об устойчивости плазмы и о переносах, где важно поведение магнитного поля в окрестности магнитной поверхности, естественно при описании равновесия пользоваться системой координат, одной из которых служит именно метка магнитной поверхности (магнитные, иначе потоковые, см. [1, 2], или "обращенные" [3, 4] переменные). Хотя методам теории равновесия, использующим потоковые координаты, посвящена обширная литература, их развитие применительно к различным системам удержания и геометриям продолжается. Так, в недавней работе [5] (к ней и отсылаем за указаниями на многочисленные публикации, включая обзоры, по этим методам) улучшено описание области вблизи сепара-трисной поверхности в токамаке. В настоящей статье мы развиваем один из предложенных ранее подходов — подход с использованием ортогональных потоковых координат [3, 4], имея в виду, в частности, отыскание в рамках этого подхода конфигураций с изодинамическими магнитными поверхностями, вдоль которых модуль магнитного поля не изменяется. Такие поверхности привлекают внимание тем, что через них нет магнитного дрейфа частиц. Существуют осесимметрич-ные тороидальные равновесия, в которых изодинамичны все магнитные поверхности в плазме [6]. Однако в них на магнитной оси не только полоидальное, но и тороидальное поле, а также величина запаса устойчивости q обращаются в нуль; равновесие неустойчиво [6, 7]. Могут представлять интерес конфигурации с конечным q, в которых изодинамичность достигается на одной магнитной поверхности [8]. Как мы убедимся, использование обращенных ортогональных

переменных вполне адекватно задаче нахождения равновесий с изодинамической поверхностью в случае, когда имеется токонесущий внутренний тороидальный проводник.

Как видно из [5], разнообразие постановок задач равновесия в потоковых координатах со временем расширяется. В нашей работе изложены несколько нетипичных постановок задач осесимметричного равновесия с использованием ортогональных координат и даны иллюстративные примеры их решения, в том числе относящиеся к ловушкам с изодинамической магнитной поверхностью. Перед этим мы приводим в разд. 1 вывод самой системы уравнений равновесия в обращенных переменных, основанный на простых геометрических соотношениях и, как нам представляется, более наглядный, чем в [3, 4]. Следующий раздел посвящен обсуждению граничных условий. Они определяют вид конфигурации. В разд. 3 даны примеры расчетов при различных граничных условиях. Рассмотрены геометрии с внутренним проводником и без него, когда магнитная ось находится в плазме (как в токамаке). В случае с проводником строятся конфигурации с изодина-мической магнитной поверхностью. Заключительный раздел содержит обсуждение ряда важных особенностей наших постановок задач. В Приложении 1 приведен для полноты еще один, отличающийся от [3] и разд. 2 нашей работы (и более громоздкий, чем в разд. 2), вывод уравнений равновесия в потоковых координатах, исходя из употребительных потокового и токового представлений магнитного поля. Приложение 2 раскрывает детали отыскания приближенных аналитических решений вблизи магнитной оси, используемых в качестве стартовых в расчетах

(a)

х = 0

V = V0

: c°nst_

(в)

0

z/Ro 0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0

0.02

0.04

z

z

n

r/R0-1

Рис. 1. Ортогональные координаты у, х в меридиональном сечении тора (а); сетка линий у = const, х = const около магнитной оси в случае эллиптической формы сечений (б); углы, фигурирующие в формулах (1.22)-(1.24) (в); сетка неортогональных координат у, О в случае эллиптических сечений (г).

разд. 3. В Приложении 3 рассматривается влияние неизодинамичности магнитной поверхности на движение частиц около нее.

1. УРАВНЕНИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО РАВНОВЕСИЯ В ПОТОКОВЫХ КООРДИНАТАХ

Набор координат составляют потоковая переменная у — деленный на 2 п поток полоидального поля B (d у = Bprdn, где r — расстояние от главной оси, dn — элемент длины по нормали к магнитным поверхностям у = const), тороидальный угол q и полоидальная координата х, аналог обычного полоидального угла; в случае ортогональных координат, когда линии х = const в меридиональном сечении тора искривлены, см. рис. 1, х не совпадает с полоидальным углом. Величина у растет от значения у = 0 на поверхности тора до у = у 0 на магнитной оси, которая считается единственной, или до у = уc на поверхности омываемого плазмой токонесущего кольца, если таковое присутствует; в последнем случае плазма

трубчатая. Будем отсчитывать переменную х по часовой стрелке от внутреннего обвода тора и в большей части выкладок полагать ее изменяющейся от 0 до 2 п.

Система уравнений равновесия в потоковых координатах включает три уравнения. Два из них описывают связь этих координат с цилиндрическими r, z и имеют геометрическое происхождение. Третье есть собственно уравнение силового баланса. Уравнения равновесия в ортогональных координатах у, с, х получены, исходя из уравнения Грэда—Шафранова [9, 10], в работе [3], другой вывод — с непосредственным использованием геометрических соотношений — приведен в [11] (а для ловушек с чисто полоидальным полем был дан, включая ситуацию анизотропного давления плазмы, ранее в [12]). В общем случае, когда поверхности у = const и х = const могут быть неортогональными, уравнения равновесия выписаны в работе [13] и обзорной статье [4]. Мы проследим (дополняя тем [13, 4]) геометрический смысл и этих уравнений.

Напомним сначала, как нужные уравнения получаются в более простом случае ортогональ-

ных координат. Согласно рис. 1а, А г / A l = = 8r/8n = sin a, Ar/ Al = -8г/8n = cos a, где Al — длина отрезка (с проекциями Ar, Аг) силовой линии полоидального поля между близкими координатными поверхностями х = const, 8n — расстояние между близкими магнитными поверхностями у = const по нормали, a — угол между вектором Bp и радиальным направлением. Отсюда следуют уравнения для r(y, х) и г(у, х)

Gr dr = дг

ду

дг

ду

Gr ^ = -

дХ dr

где

G = B,

81 ;5х.

(1.1) (1.2)

(1.3)

Через О выражается якобиан преобразования кол — 1 2 ординат / = Вх д1 /дх = О/Вх. Расписанное в координатах у, с, х условие силового равновесия

—(Vx B) х B = Vp 4п

(1.4)

(коэффициенты Ламе равны Hv = (Bxr) 1, Hq = Hx = B7,lG) дает уравнение для G(y, х)

r,

G dG + 4п ду

или

F dF

dp

d y 4nr2dу

dr

dX.

+

= 0, (1.5)

dG

dp

+ -

F dF I 2 r X

■ + 4n

Gdy [ d y 4nr¿ d у

^ dr Л + ( дг^

vdyJ [dy

(1.6)

= 0.

Здесь р(у) — давление плазмы, а функция В (у) связана с тороидальным полем: Вд = В/г. При этом плотность тороидального тока в плазме

i_ =±-(Vx B)c = crl +

da F dF

(1.7)

4n \dy 4nr dyy

(c — скорость света), плотность полоидального

тока

ix = -Вг —. z 4я d у

Для полоидального поля имеем

(1.8)

j)2 _ т>2 _

Bp - Вх -

G2

(dr/дх)2 + (дг/дх)2

G2

(dr/dx)2 + G 2r 2(дr/ду)2

r 2[(дг/ду)2 + (dr / ду)2]

(1.9)

(1.10)

а для его г, ^-компонент

в =-в 2г -дг =_О_¿Т

г х ду (дг/дх)2 + (дг/дх)2 дх'

Вг = вХг =--О-2 .

г ду (дг/дх)2 + (дг/дх)2 дх Функции р(у) и В (у) считаются заданными.

Тройка (1.1), (1.2), (1.5) — это система уравнений равновесия в ортогональных потоковых координатах. К ней можно также прийти более сложным путем, используя формально технику магнитных координат [2], см. Приложение 1. Отметим, что силовые линии В в рассмотренных координатах не выпрямлены.

Вместо (1.2) можно использовать эллиптическое уравнение для г(у, х)

д(Ог ^) + А.(± &| = 0,

. . . , , (1.11) ду^ дуу dxv Gr дху вытекающее из (1.1), (1.2).

Хотя, в отличие от уравнения Грэда-Шафра-нова в цилиндрических координатах, уравнение силового равновесия (1.5) в обращенных переменных — это уравнение первого порядка, вся система уравнений равновесия имеет в этих переменных более высокий порядок.

Через величину G на поверхности у = const выражается значение тороидального тока I внутри этой поверхности. Пусть плазма располагается в слое 0 < у < у с. Тогда

- Ic _ ^i^dS _ jjiqdndl _

Vc

=ÍÍ

; dy Gdx _

X _

(1.12)

«ÍÍ

F dF \ G

dp +_

d y 4nr2 dy) B2

d yd x,

где 1С — ток в торе у = у С. Если границей у = у С служит сверхпроводник, то 1С — это ток, текущий по его поверхности. Принимая во внимание (1.9) и (1.6), получаем

В -1- = -

— Í [—dydх 4п ^ J dy

(1.13)

— 4п

cf [G(y, X) - G(yc, X)]dх.

С другой стороны, I можно записать через циркуляцию полоидального поля

I s(¥) = — Í Bdl = — ff Bx ^d х =

4п 1

4n¿ дх

— 4п

cf G(y, x)dx

(1.14)

V

V

¥

1

Из (1.1З), (1.14) следует

G I 0 не зависит от х, когда координатой х слу-

Ic =

4п

(J G(v, х)

V^Vc

dX

(l.l5)

В случае, когда проводника с током Ic нет, у магнитной оси у = у 0 должно быть

fx)!v^VodX^ 0,

и значит, ввиду положительности функции G (1.3), она должна удовлетворять требованию

GUVo^ 0 (1.16)

на всем интервале х.

В этом случае имеется связь между величинами у 0, Iq(0) и большим радиусом шнура R. Пусть, например, шнур тонкий (аспектное отношение R/a велико), имеет сечение, близкое к круглому с радиусом a , и плотность тороидального тока почти постоянна по сечению. Тогда у0 « Iq(0)R/c, а G(0, х) « const = 2у 0/R. При иных распределениях тока и форме сечения отношение cy0/(Iq(0)R) не будет, вообще говоря, близким к едини

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Физика»