ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 2, с. 186-188
УДК 517.584:519.6
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О РАБОТАХ, ПОСВЯЩЕННЫХ СУММИРОВАНИЮ РЯДОВ С ОБРАТНЫМИ СТЕПЕНЯМИ НУЛЕЙ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ I РОДА
© 2007 г. М. К. Керимов
(119991 Москва, ул. Вавилова, 40, ВЦ РАН) Поступила в редакцию 11.09.2006 г.
Анализируются некоторые недавно опубликованные работы, посвященные специальной функции Рэлея, в которых "переоткрываются" результаты, известные в литературе уже более ста лет. Библ. 11.
Ключевые слова: специальная функция Рэлея, анализ некоторых опубликованных работ с точки зрения приоритета.
За последнее время в качестве оригинальных опубликованы статьи, посвященные суммированию рядов вида
У 4
п = 1
где цп - положительные нули функции Бесселя I рода нулевого индекса J0(z). Этими статьями, появившимися почти одновременно, являются работа Г.Н. Берестовского [1], в которой доказывается формула
¿А = 1. (1)
п =1 ^п
и работа С.А. Бейлина [2], в которой доказана формула
У - = —, (2)
^и2 Р + 1
к=1и И
где ик - корни уравнения
^ - 1)/2(и) = 0
при произвольномр > 0. Если положить р = 1, то формула (2) совпадает с формулой (1). Доказательство формулы (1) основано на решении задачи об остывании равномерно нагретого до температуры и0 бесконечного круглого цилиндра с радиусом г0, 0 < г < г0, при нулевой температуре на его поверхности (см. [3, с. 461, формула (31)]):
u (r, t) = 2 у J0 ( lyVrp ) u „ У lJ! ( l ) exp
i 2 2 4 l„a t
0
n = 1
где in - корни уравнения J0(i) = 0.
Формула (2) возникает при решении методом разделения переменных задачи об отыскании ограниченного решения уравнения
Р
utt = uxx + —ux, x e [0, 1], t > 0,
удовлетворяющего условиям
u(x, 0) = u0 = const, ut(x, 0) = 0, u(1, t) = 0.
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ О РАБОТАХ
187
По-видимому, столь солидные математические журналы и их эксперты решили опубликовать формулы (1) и (2) из-за их внешней элегантности, не зная, что они известны в литературе более ста лет тому назад (см. [4]). Содержание работы [4] подробно излагается в известной монографии Ватсона по теории функций Бесселя (см. [5, с. 553]), где приводится также результат (1). Поскольку в работах [4] и [5], а также в обзорной статье [6] формула (1) встречается в несколько завуалированной форме, мы решили остановиться на этом вопросе более подробно, так как уже появились ссылки на "формулу Берестовского" (см. [7]).
Речь идет о так называемой специальной функции Рэлея
o„(v) = Xtä, п ^ i; (3)
k = 1
здесь jv, k - нули функции z~vJv(z), где Jv(z) - функция Бесселя I рода с индексом v (ниже для нулей функции Jv(z) употребляются общепринятые обозначения jv k). Функция Gn(v) (под другим названием и с другим обозначением) впервые появилась в работе Рэлея [4] в связи с попытками вычисления аппроксимаций к первому нулю jv, 1 функции Jv(v).
В настоящее время известно неравенство
[c„(v)]-1/n < jv, 1 < c„(v)/c„ + i(v), v > -1, n = 1, 2, ..., (4)
позволяющее аппроксимировать jv l с большой точностью.
Функция Gn(v) (иногда ее обозначают через o2n(v), тогда o2n(v) = 2an(v)) под различными названиями, а также относящиеся к ней результаты многократно переоткрывались и, к сожалению, продолжают переоткрываться, что видно из работ [1] и [2]. Теперь функция on(v) носит название "специальная функция Рэлея" и имеет многочисленные применения в математической физике. Перипетии переоткрывания результатов, относящихся к функции Рэлея, подробно описаны в обзорной статье [6] (см. также [8]).
В нашей стране независимо (возможно, не зная о предыдущих работах) с функцией Рэлея столкнулся наш знаменитый физик академик П.Л. Капица в связи с изучением теплопроводности и диффузии в жидкой среде при периодическом течении (см. [9]). Основываясь на вычислениях значений функции Рэлея, необходимых в своих физических расчетах, П.Л. Капица даже опубликовал чисто математическую работу [10], где он функцию Рэлея назвал "суммой отрицательных четных степеней корней бесселевых функций". По поручению П.Л. Капицы его сотрудник H.H. Мейман (см. [11]) разработал рекуррентную формулу, позволяющую вычислить значения функции Gn(v) для любых значений n и v. Эта формула значительно позже была переоткрыта (без ссылки на работы [10] и [11]) за границей (об этом подробно см. [6]).
В [10] и [11] переоткрыты (известные еще из работ Рэлея [4], Ватсона [5] и других работ) явные значения
1 1 2 °1(v) = Л( v 4. 1 ) , °2(v) = ~-2-, °3(v) = 1-3- и т.д.
4 (v + 1) 42(v +1 )2(v + 2) 43 (v +1 )3 (v + 2 )(v + 3)
Любопытно, что хотя для нулей функции Бесселя не существует явных формул (они выражаются в виде бесконечных рядов), тем не менее бесконечный ряд из обратных четных степеней этих нулей выражается в виде конечных формул.
В заключение еще раз отметим, что результаты (1) и (2), опубликованные как оригинальные, на самом деле являются значением функции Рэлея Gx(v) при v = 1, известным в литературе уже более ста лет.
Мы допускаем, что авторы научных публикаций имеют право передоказывать опубликованные ранее научные результаты (например, более простыми методами), однако это должно быть отмечено в статье и дана соответствующая ссылка на первоначальный источник. В данном же случае мы столкнулись с "переоткрытием" сразу двумя авторами результата, давно известного в литературе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Берестовский Г.Н. Об одном свойстве нулей функции Бесселя Jo(|J.) // Матем. заметки. 2004. Т. 75.
Вып. 2. С. 302.
188
КЕРИМОВ
2. Бейлин С.А. Об одном свойстве корней функции Бесселя Jv(x) // Вестн. Самарского гос. техн. ун-та. 2004. Вып. 30. С. 186-187.
3. Тихонов А Н, Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966.
4. Rayleigh (Strutt J. W) Note on the numerical calculation of the roots of fluctuating functions // Proc. London Math. Soc. 1874. V. 5. P. 112-194 (Scientific Papers. 1899. V. 1. P. 190-195).
5. Ватсон Г.Н. Теория бесселевых функций. T. 1. М.: Изд-во иностр. лит., 1949. (Перев. с англ. В.С. Бер-мана).
6. Керимов М.К. Функция Рэлея - теория и методы вычисления // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. № 12. С. 1962-2006.
7. Волынская М.Г. О разрешимости одной нелокальной задачи с интегральным условием // Матем. моделирование и краевые задачи. Тр. II Всерос. научн. конф. Самара, 1-3 июня, 2005. Ч. 3. Секц. Диффе-ренц. ур-ния и краевые задачи. Самара, 2005. С. 62-64.
8. Керимов М.К. О вычислении функции Рэлея // Аналитич. и числ. методы решения задач матем. физ. / Под. ред. А.А. Абрамова. М.: ВЦ АН СССР, 1989. С. 109-116.
9. Капица ПЛ. Теплопроводность и диффузия в жидкой среде при периодическом течении. I. Определение величины коэффициента волнового переноса в трубе, в щели и в канале // Ж. эксперим. и теор. физ. 1951. Т. 21. № 9. С. 964-978.
10. Капица ПЛ. Вычисление сумм отрицательных четных степеней корней бесселевых функций // Докл. АН СССР. 1951. Т. 77. № 4. С. 561-564.
11. Мейман Н.Н. О рекуррентных формулах для степенных сумм нулей бесселевых функций // Докл. АН СССР. 1956. Т. 108. № 2. С. 190-193.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.