ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2014, том 40, № 5, с. 463-467
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
УДК 533.9.01
нелинейная динамика потока
сильно неизотермической бесстолкновительной плазмы © 2014 г. Ю. Б. Мовсесянц, П. М. Тюрюканов
ФГУП "Всероссийский электротехнический институт им. В.И. Ленина", Москва, Россия
e-mail: yumovsesyants@gmail.com Поступила в редакцию 20.09.2013 г.
Показано, что для поперечно-однородного потока холодных ионов и больцмановских электронов уравнения двухжидкостной электрогидродинамики приводятся в ионнозвуковой области к уравнению Буссинеска. На примере "двухсолитонного" решения продемонстрирован нелинейный механизм бесстолкновительной релаксации сверхзвукового потока к стационарному состоянию в виде двойного слоя пространственного заряда.
DOI: 10.7868/S0367292114040052
1. В связи с многочисленными приложениями мощных сверхзвуковых плазменных потоков в различных научно-технических областях исследования динамика подобных образований представляет самостоятельный предмет исследования. Обычно, при первичном формировании в такой разреженной среде накапливается избыточный заряд, существенно влияющий на токовые характеристики [1]. Помимо этого, в окрестности точки "ионного звука" us = (Te/Mi)1/2, (где Mj — масса иона, Te = const — температура больцмановских электронов) возникает сильный градиент плотности, приводящий, вследствие разницы подвижностей компонент, к разделению зарядов.
В дальнейшем будем считать, что достаточно широкий в поперечном направлении ускоряющий промежуток с первично сформированным потоком отделен от плазменного источника резкой границей, представляющей собой катод. Коллектор расположен на "бесконечности" и его потенциал равен нулю, давление остаточного газа в промежутке пренебрежимо мало. Двухкомпо-нентную плазму потока с холодными ионами и больцмановскими электронами с температурой Te = const будем считать бесстолкновительной, и ее компоненты взаимодействующими друг с другом только через макроскопическое самосогласованное электрическое поле, описываемое уравнением Пуассона.
Предметом настоящей работы является изучение условий возможной бесстолкновительной релаксации такого формирования к стационарному состоянию.
2. Пренебрегая краевыми эффектами, положим что плоский, поперечно-однородный поток
инжектирован в полупространство х > 0 и описывается нестационарными уравнениями двухжидкостной электрогидродинамики [2]:
дщ + д_ dt дх
( 2Л v 2 У
- дф дх
dn +dJl = 0 dt дх
д m
—— = n — n■,
2 е <'
дх
(1) (2) (3)
здесь потоковая скорость ионов u(x, t) обезразме-рена на скорость ионного звука us, плотности потоковых ионов n(x, t) и больцмановских электронов ne (x, t) = ехр(ф) обезразмерены на Nx = const — заданной плотности нейтральной плазмы на бесконечности; потенциал ф(х, t) в единицах TJe, плотность ионного тока j = nu. Координата х обез-размерена на дебаевский радиус xd = (Te/4ne2Nx)1/2, время t обезразмерено на величину xdu"sl-
Систему (1)—(3) необходимо дополнить уравнением баланса плотностей электронного je, ионного ji и тока смещения
J e Ji
д 2ф dxdt
(4)
определяющего в данном случае плотность электронного тока je.
Решения (1)—(4) должны быть ограничены и удовлетворять граничным условиям при х ^ да: щ (х, t) ^ u0 = const, j (x, t) = j0, где: u0, j0 — заданные постоянные,
ф (х, ?) ^ 0, дф (х, ?) ^ 0,
дх
п = пе (х, ?) - щ (х, ?) ^ 0.
(5)
Отыскание нелинейных решений системы с граничными условиями (5) в общем случае является весьма сложной задачей. В работах [3—4] показано, что учет нелинейности позволяет свести систему уравнений, подобную (1)—(3), к уравнению Буссинеска [5]. Покажем, что в случае, когда асимптотическое значение потоковой скорости и0 сравнимо с ионнозвуковой, аналогичный результат справедлив и для данной системы.
Положим
^ - ^ = х (х, ? )< 1, 2 2 у '
и = — ехР[(х,1)], «0 = —о, где введены функции х, £,. Тогда
(6)
и, = и0
1 - ^ = «0
1 --Х 1 2 «0
и уравнение (1) принимает вид:
5ф = +
дх дх
дХ . «0д?
(7)
Данные упрощения позволяют выделить в явном виде эффекты, обусловленные наличием в данной системе точки "ионного звука" ы5 [6—7]. Чтобы показать это, преобразуем с учетом (6), (7) правую часть уравнения Пуассона (3)
ехр (ф) - — = и,
=ехр(ф)
1 - ехр
£-ф--Ли 2
- 4 ^
и0 У
ехр (ф) - — = и,
2Л
ехр (ф).
Используя это выражение, из уравнения Пуассона (3), получим
5
дХ , дХ
дх «0д?у
(8)
^ + ^2 + = Ф- ехр (-ф)-
и0 и0 дх
Проводя аналогичное разложение с точностью до
X /и0 в уравнении непрерывности (2), приведем его к виду
2
дх «0д?
X | X
2 4
и0 и(
= 0.
(9)
0 У
При дальнейшем исключении £, и ф из (7)—(9) необходимо учесть, что д 2ф/дх2 <§ 1. Это означает, что при вычислении из (8) производных £, можно пренебречь производными экспоненты, а ее саму заменить единицей, и (7)—(9) сводится к уравнению IV порядка относительно £,:
Ж.
дх2
Л 2
д + д
дх «0д? J
2
1 д 2х
Х + Г?'
и0 дх
д
удх и0д?
-д- + .
д
2
дх и0д?
, 2 х + А дХ- = о;
и0 дх
(10)
X =
ои( у
д + д дх и0д? у
дХ , дХ дх и0д? у
Полученное уравнение (10) нуждается в дальнейших упрощениях, поскольку наличие смешанных производных в старшем члене не позволяет использовать известные методы получения нелинейных решений.
3. С этой целью исследуем свойства его наиболее простого класса автомодельных решений. Полагая х = X (х + ««о?), где а — произвольная константа, после двукратного интегрирования, положив постоянные интегрирования равными нулю,
получим из (10) при и-2 -1 - а (а + 2) > 0
X = « [1 + а (а + 2) - «о2 ] х + а (а + 2) - «0
В стационарном случае 5/51 = 0 из (7) следует: ф =
X, и разложение логарифма с точностью до х/«о приводит к появлению знакопеременного члена
(и-2 ~ 1)х, который, в силу возможной малости
(«0-2 ~ 1), может быть сравним со следующим членом разложения, и в совокупности с ним определяет качественное поведение решений системы. Поэтому здесь разложение логарифма необходимо провести с точностью до члена X/«о, а далее в разложении экспоненты в квадратных скобках можно ограничиться первым порядком малости
х еИ
2
х + а«0? 2 (а +1)
(11)
при «0 -1 -а(а + 2) < 0 3«,
Х = «[«о-2 -1 -а(а + 2)]х
-2 х + а«0? I —2 ] 7 ~^ хео8 —-^и0 -1 -а(а + 2)
•»о У
2 (а +1)
В выражениях (11) значение а = 0 соответствует стационарному состоянию потока. Регулярные решения, описывающие двойной слой с избытком ионного заряда в области инжекции и заряда больцмановских электронов на периферии, экспоненциально спадающим при х ^ да, реализу-
2
ются лишь для сверхзвукового потока и исследованы в [6—7].
4. Исходя из структуры решений (11) и учитывая, что исследуется достаточно медленный процесс релаксации к стационарному состоянию, ограничимся в дальнейшем рассмотрении областью значений а ^ 1. Подобное предположение соответствует
А >Л.,
дх ид
что делает возможным пренебречь в (10) всеми смешанными производными в дифференциальном операторе четвертого порядка. При этом в
-2 1
операторе второго порядка при и0 ~1 нужно удержать и пространственную и смешанную производные второго порядка. Полагая с учетом сделанных предположений
X = 3ио4Ж (х, %), преобразуем (10) к виду [5]
5 V
• +
((2 -1)
5 2W + 3 д 2W2
д 2W
= 0.
(12)
W = 2-д-1 In Z
дх
преобразуем (12) в билинейное уравнение
(13)
Z д4 Z _ 4 dZ d3Z + з f d 2Z
дх
+
(u-2 _ 1)
гд 2Z
дх2
дх дх3
(Z2
дх
дх2
+
_ z д2 Z + дZ 5Z - 0
дxдt дх дt
(14)
"двухсолитонное", решение которого будем искать в виде
Z = 1 + A1 exp (к1х + X1t) + A2 exp (k2 х + X 2t) +
(15)
42 = ^f [^2 + (U-2 - 1)1,
A12 = (1 - ^2)2 (1 + ^2)-2.
(16)
5. Из (16) следует, что при действительных к1 2 для дозвукового потока: ^12 Ф 0, что соответствует:
Xt^ 0,
т.е. распределения релаксируют к однородным: u ^ u0 = const, ф ^ 0, и не представляют особого интереса в рамках данной задачи.
Для сверхзвукового потока это ограничение может быть обойдено. Полагая в (16) при
u-2 -1 < 0 = 0, получим
к? (k2 + u0-2 -1) = 0, k1 =±Vb
(17)
дх4 4 " ' дх2 дх2 дхдг Однократным интегрированием (12) сводится к уравнению третьего порядка, однако для получения решений его удобно использовать именно в такой форме.
Следуя стандартной процедуре [5], посредством подстановки
= ±/ 1 - ио ,
X 2 = (( + и-2 - 1),
откуда следует, что в полуплоскости х > 0 бегущей вправо волне соответствуют значения
0 < к2 < 1 - и-2.
Учитывая теперь, что для стационарного решения: А2 = 0, А1 = 1, выберем в (15) для нестационарного решения
А1 = 1, к1 = д/1 - и-2,
и, чтобы удовлетворить граничным условиям (5), положим
A9
1 (k2 +1)2
2(к2 -1)2
Выделив при сделанных предположениях члены, описывающие стационарную часть и "бегущую волну", представим ^ в виде
(к, +71 - и-2) х + XI
Z = 4exp
х ch(х)ch(Ьх + ь)
2. 2к2
(18)
1
1 - th Iх
+ А12 А1А2 ехр[(к1 + к2 )х + (X + X 2) ],
где к12, ^12, А12, А12 — произвольные постоянные.
При подстановке этого выражения в (14) величины А12, к12 остаются произвольными, а ^12, и А12 определяются из дисперсионных соотношений
(1 - к) [1 + ехр (-к2х -XI)]
6. Ограничимся в дальнейшем случаем, когда к2 ^ 1. При этом последним членом (18) в квадратных скобках можно пренебречь, и х в (13) принимает достаточно простой вид
3 212
X - 3u02 (u02 - 1)[ch-2 (П1) + k2ch-2 (П2)], (19)
где
П2
П1
" /1 Г-2 -V1 - u0 ,
Ь* ^-u^ - к2 (1 - k22 )u0 (t + 10 ) JH
(20)
-0.2
Сплошная кривая /1(х) соответствует распределению объемного заряда (23) в области перекрытия "двойных слоев" для некоторого конечного момента времени tl\ штриховая линия/2(х) — стационарному распределению при t ^ да.
а 10 = const определяется начальными условиями.
Полагая в (19) x = 0 и используя условие (6), определим диапазон применимости данной модели
1 2 4
1 < u0 < -.
0 3
Выражения (19)—(20) позволяют вычислить остальные функции потока. Подставляя эти выражения в (7), определим электрическое поле
Зф 3/2 ,\3/2 -2 = - «0( -1)
дх 2 . 1,э
sh (тц )ch-3 (тц ) +
1 kl (1 + k22)sh(п2)ch-3 (п2)
(21)
Потенциал ф и плотность объемного заряда п = п1 — пе вычисляются из (21), соответственно интегрированием и дифференцированием этого выражения по х
ф:
3 «02 («02 -1) X
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.