ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2004, том 30, № 3, с. 241-244
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
УДК 533.9
нелинейная динамика решетки электронных вихрей
© 2004 г. В. Ю. Забурдаев, В. В. Смирнов, К. В. Чукбар
РНЦ "Курчатовский институт" Поступила в редакцию 14.04.2003 г. Окончательный вариант получен 24.07.2003 г.
Проанализированы слабо- и сильнонелинейные эффекты, определяющие эволюцию регулярных ансамблей электронных вихрей в замагниченной плазме. Выявлены качественные отличия в поведении такой среды от стандартных нелинейных волновых сред.
В последние годы достаточно популярно представление замагниченной плазмы как среды, заполненной двумерными вихрями, вихревыми нитями или другими вихревыми структурами (см., напр., [1]). По этой причине изучение динамики больших вихревых хаотических или регулярных ансамблей представляется интересной и актуальной задачей. В [2] было выведено следующее уравнение для эволюции нелинейных длинноволновых возмущений треугольной (единственно устойчивой) решетки идентичных двумерных точечных вихрей "электронного" типа, являющееся аналогом "звукового" уравнения для обычных кристаллов:
дХ
д г
= -Я ez х V Шу Х + Вez • го^) +
Я
+ Я ^х
( ' Х) д X вд ха_
(1)
нию с а. Микроскопически вихри характеризуются своими - одинаковыми - интенсивностями q0 и потоковой функцией "экранированного" типа у(|г|/Ь) с масштабом экранирования Ь > а. (Оба параметра определяют продуцируемое каждым вихрем течение - для расположенного в точке г = 0 оно V = д0ег х —у - и энергию взаимодействия вихрей % = д0< .у (г - г;-), где суммирование идет
по всей решетке. В рассматриваемом здесь приближении "сплошной среды" сумма заменяется интегралом по плоскости, см.[2]). Локальность (1) (несмотря на то что, как следует из вида у, движение каждого вихря определяется множеством ~(Ь/а)2 соседей) связана с тем обстоятельством, что характерная длина волны возмущения удовлетворяет неравенству X > Ь. "Модули упругости" решетки, характеризующие ее "отклик" на деформации всестороннего сжатия и кручения (сдвига), зависят только от ее невозмущенной структуры (и не зависят от времени)
и проанализированы, главным образом, его линейные свойства. Здесь Х = , Xу} представляет собой двумерный вектор деформации (смещения) непрерывной вихревой кристаллической среды, а по повторяющимся греческим индексам подразумевается суммирование. В данной статье изучим весьма своеообразные нелинейные особенности (1).
Дадим сначала небольшой комментарий к этому базовому уравнению (подробности изложены в[2]). Оно получено с помощью разложения в ряд по смещению вихрей из узлов решетки, поэтому уравнение (1) справедливо для не слишком больших деформаций (|Х | < а, где а - расстояние между ближайшими соседями в решетке; точнее, мала должна быть разность смещений соседей) и, соответственно, не слишком больших нелинейно-стей. Точечность вихрей подразумевает малость размера их керна (области с ненулевым ротором обобщенного импульса электронов) по сравне-
Я =
2д0
;|у йхйу,
В ~ до IУ(а)|
и сильно отличаются друг от друга: В ~ Я(а/Ь)2. Причина - малая сжимаемость дискретной решетки в вихревых течениях. Для рассматриваемых здесь электронных вихрей в рамках ЭМГ -см.[3] (этот же закон характерен для вихрей в сверхпроводниках[4]) - у представляет собой функцию Макдональда К0(шре /с), и согласно[2] (при одновременном использовании пионерской работы по вихревым решеткам[5])
Я =
4п д0
Тэ
Ь12,
а)
В =
Оо 8 '
Видно, что линейные волны в рамках (1) можно анализировать в "нормальных координатах"
деформаций кручения ez • rotX и сжатия div X1, но для нелинейных эффектов оказывается удобнее ввести "потенциалы" этих деформаций, представляя вектор смещения в виде X = х Уф + Уф. Любопытно, что "шредингеровский" фонон-ный спектр треугольной решетки электронных вихрей (ю ^ к2) может быть подчеркнут объединением этих потенциалов в волновую функцию
Ф = ф + ijRTD ф , для которой линейный блок (1) переписывается в виде (при снятии оператора V с обеих частей уравнения здесь и далее возникающие константы полагаются равными нулю, что никак не сказывается на физической величине X)
i + JRD№ = 0. dt
Такая запись заодно явно демонстрирует то важное обстоятельство, что вследствие малости D/R в линейных волнах сдвиговые деформации доминируют над всесторонним сжатием: ф ~ b/аф (ср. [2]).
Декларируемый нелинейный анализ начнем с изучения стационарных бегущих слабонелинейных "звуковых" волн. Для них наблюдается нетривиальный эффект зависимости воздействия нелинейности от формы фронта. Действительно, нетрудно видеть, что в квадратичные по X члены (1) входят как ф, так и ф. Однако, для плоской волны X(x - ut) значительно большая (вследствие указанной выше деформационной иерархии ф > ф) нелинейность ф2 (равно как и меньшая фф) из-за геометрического вырождения не дает вклада в вытекающее из (1) уравнение
ф''- (ф") 2+RD ф = о
(2)
(штрихом здесь обозначена производная по выписанному выше независимому аргументу), в котором в результате остается лишь минимальная нелинейность, связанная с ф2. Однократное интегрирование (2) (с учетом малости нелинейного члена) приводит к следующему уравнению для кноидальных плоских волн (т.е. выражающихся через эллиптические функции, солитоны здесь отсутствуют):
,2 U 2 2 ( U
ф +RDф -з(rd
22
ф = const.
(3)
Вид его вполне типичен. Для искривленных же волновых фронтов "включается" воздействие нелинейного кручения, которое, как нетрудно ви-
1 Наличие лишь одного типа волн в двумерной среде, связы-
вающего эти деформации, в отличие от обычных кристал-
лов, в которых они эволюционируют раздельно, вызвано "картезианской", а не ньютоновской механикой вихрей (положение частицы определяет ее скорость, а не ускорение), в результате чего в определенном смысле двумерная вихревая задача аналогична одномерной обычной, см. [2].
деть, будет доминирующим при Х/г > (а/Ъ)2, где г -радиус кривизны фронта (ср. (2) и (4)). Строго говоря, искривленная бегущая волна не будет стационарной, но в случае Х <§ г нестационарность слаба, и в первом приближении можно исследовать модификацию возмущений вида Х(г - и) (г -радиус в полярной системе координат) в рамках вытекающего при выполнении указанных неравенств из (1)уравнения
ф" + .и_ (ф + R
Y RDV 2 ur
ф'2) = о,
(4)
в котором текущий радиус г в коэффициенте при нелинейном члене можно считать постоянным. В отличие от более привычного (2) новое уравнение (4) чувствительно к знакам и (т.е. к тому, является ли бегущая волна сходящейся или расходящейся) и q0 (т.е. от "закрученности" микроскопических течений кристалла). Однократное интегрирование теперь дает более экзотическое соотношение для слабонелинейных кноидальных волн
2 3
2 u 2 u 3
ф' + -ф--tt
RD 3RD2r
ф3 = const (Dr ф , (5)
не сводящееся к обычному потенциалу Сагдеева.
Однако особенно любопытна сильнонелинейная эволюция в рамках того же (1). Возможность ее, несмотря на использованные при выводе указанные приближения, опять-таки связана с малостью а/Ъ. Действительно, нелинейность в нем возникает вследствие учета квадратичных по деформации поправок в большом первом члене в правой части, пропорциональном Я, и может значительно превышать второй (дисперсионный) линейный член, пропорциональный Б. В случае чисто сдвиговых деформаций ф = 0 формально этот самый большой член зануляется, что приводит к эффективному уравнению (Б —► 0)
Эф Э t
=R
гэ2ФЭ2Ф
_Э x2 д у2
(Э2 ф
(Э x ду.
(6)
содержащему гессиан в правой части и имеющему очень симметричный вид: (6) остается неизменным при масштабных преобразованиях х —- ах, у —► ву, Ф —- Уф, ^ —а2Р2/у и любых поворотах системы координат Оху. Хотя приближение Э = 0 и физически оправдано, оно сильно меняет вид уравнения, эволюция уже носит не вполне волновой характер. Для обычных сплошных сред это эквивалентно полному пренебрежению упругостью кристалла (хотя здесь мы ее частично учитываем) или температурой (т.е. давлением) идеального газа (см. ниже).
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА РЕШЕТКИ ЭЛЕКТРОННЫХ ВИХРЕЙ
243
(6) можно записать через вариационную производную
Л
^ = R
д t
5ф '
где
кой эволюции [6], причем носящий характер не только степенных функций. Так, например, в случае с1 = -1, с2 = 0 (что, впрочем, вследствие указанных выше симметрий (6) никак не ограничивает общности), в качестве начального условия в области х > 0 подойдет
< = |Ф* Фу фXydхdy, или, в более инвариантном виде,
< = -1|( V ф)2 Aфdхdy.
Отсюда, в частности, можно заметить, что, поскольку плотность < является однородной по производным ф функцией, то решения (6) удовлетворяют следующим эволюционным соотношениям:
^||ф2 dхdy = 6 Я <,
22 или —2|ф2dхdy = 6dхdy.
Далее, правая часть (6) представляет собой содержательный блок уравнения Монжа-Ампера [6], связанного с дифференциальной геометрией поверхностей. Она обращается в нуль вместе с гауссовой кривизной "поверхности" г = ф(х, у). Иными словами, неоднородная деформация вихревого кристалла является статической, если график ф представляет собой развертывающуюся поверхность (т.е. относится к классам цилиндров, конусов, либо поверхностей, заметаемым касательными к произвольным пространственным кривым). В [6] приведена следующая общая формула для таких ф в параметрическом виде:
ф = Сх + f(Z)У + 8(0, х + ДС)у + я' (О = 0.
где ^С) и 8(^) - произвольные функции. На самом деле, поскольку физической величиной является сама деформация X, а не ее потенциалы, статичны и те конфигурации, для которых гессиан ф равен произвольной константе. Для них также существует общее параметрическое выражение, но только в случае отрицательности этой константы [6].
Если рассматривать правую часть (6) разложенной в некоторый степенной ряд по х и у, то нетривиальная эволюция в его рамках начинается с появлением линейных членов. Более того, если фххфуу - (фху)2 = с1х + с2у, то, как нетрудно видеть, деформации нарастают по линейному баллистическому закону
Х( х, у, г) = Х( х, у, 0) + (с^у - С2 ех) г. (7)
Существует весьма богатый набор начальных деформационных конфигураций, приводящих к та-
2 3/2
Фо = ± 3 x y + f (x) + Cy
(8)
с произвольными функцией f
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.