нелинейная динамика течении тяжелого
сжимаемого газа в приближении мелкой воды
К. В. Карельский"*, А. С. ТТетросни," >г. А. В. Черняк"'
" Институт космических исследований Российской академии наук 117997, Москва, Россия
ь Московский физико-технический институт Ц1700, Долгопрудный, Московская обл., Россия.
€ Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова 1192:Ц, Москва, Россия.
Поступила в редакцию 10 октября 2011 1".
Исследована система уравнений движения сжимаемого газа в приближении мелкой воды в поле силы тяжести над ровной подстилающей поверхностью. Получены все автомодельные непрерывные центрированные решения и автомодельные разрывные решения. В явном виде решена задача распада произвольного разрыва для уравнений движения сжимаемого газа в приближении мелкой воды. Показано существование четырех различных конфигураций, реализующих решение задачи распада произвольного разрыва. Для каждой конфигурации найдены необходимые и достаточные условия для ее реализации.
1. ВВЕДЕНИЕ
Классическое приближение мелкой воды является альтернативой решению полной системы гидродинамических уравнений тяжелой жидкости. Эти уравнения получаются из полных уравнений гидродинамики идеальной несжимаемой жидкости со свободной поверхностью, находящейся в поле силы тяжести, усреднением по глубине слоя, в пренебрежении вертикальной неоднородностью плотности потока горизонтального импульса и в предположении гидростатичности распределения давлений и малости толщины слоя по отношению к характерному линейному размеру задачи [1,2].
Приближение мелкой воды играет фундаментальную роль для изучения крупномасштабных процессов в атмосферах планет и океанов [3], в последнее время оно было успешно применено для изучения нелинейных течений магнитной гидродинамики [4]. Приближение мелкой воды в магнитной гидродинамике применяется для изучения солнечного тахоклина [5 7], для изучения растекания материи при дисковой аккреции в нейтронных звез-
E-mail: karelsk'fflmail.ru **E-mail: apetrosy'ffliki.rssi.ru
E-mail: alexmexmat'fflgmail.com
дах [8,9], для изучения динамики атмосфер нейтронных звезд [10,11], для изучения атмосфер внесолнеч-ных планет [12].
Несмотря на фундаментальный характер приближения мелкой воды для описания течений жидкости в поле силы тяжести, классические уравнения мелкой воды не учитывают их плотностную неоднородность, всегда формируемую силой гравитации. Поэтому условия применимости классических уравнений мелкой воды к реальным средам ограничиваются не только малостью отношения глубины слоя к характерному линейному размеру задачи, но и характерным вертикальным масштабом изменения плотности вследствие наличия силы тяжести и вертикальными неоднородностями горизонтального поля скорости. Для описания эффектов плотностной неоднородности предложена модель течения тяжелого сжимаемого газа в приближении мелкой воды [13]. Эта модель получается из полных уравнений движения Эйлера сжимаемого тяжелого газа усреднением по толщине слоя. В результате в этом приближении фильтруются звуковые волны и учитывается зависимость плотности от давления на крупных масштабах, описывающая эффекты статической сжимаемости [14]. Такие условия возникают в течениях газов с примесями твердых частиц, на-
пример, в физике планетных колец [15], при изучении пылевых бурь на Марсе [16], при изучении крупномасштабных течений в атмосфере Земли с частицами пыли или песка [13], а также при изучении извержений вулканов [17,18].
Предложенная система выгодно отличается от классических уравнений мелкой воды для несжимаемой жидкости. В классических уравнениях мелкой воды высота и скорость столба жидкости полностью определяют его взаимодействие с остальным объемом жидкости. В сжимаемых уравнениях мелкой воды это взаимодействие определяется но только высотой и скоростью, но и средней плотностью столба жидкости. Вследствие этого учет горизонтального импульса в уравнениях происходит более точно, что является фундаментальным преимуществом при применении этих уравнений к атмосферным, океаническим и астрофизическим явлениям. В работе [13] показано, что учет сжимаемости в модели мелкой воды приводит к улучшению предсказания скорости распространения газового потока с примесью твердых частиц. Такое приближение является альтернативой классическим многослойным моделям мелкой воды для течений с неоднородной плотностью [19], поскольку учитывает эффекты стратификации и не требует разбиения течения на несколько однородных слоев при численном моделировании крупномасштабных процессов. Фактически сжимаемое приближение мелкой воды для изучения крупномасштабных неоднородных процессов играет такую же фундаментальную роль, как и аналогичное приближение в гидродинамике несжимаемой однородной жидкости.
Гиперболичность уравнений сжимаемой мелкой воды определяет, наряду с гладкими, наличие разрывных решений. Даже в случае, когда начальные условия являются гладкими, нелинейных характер уравнений, наряду с их гиперболичностью, за конечное время может привести к разрывному решению. В работе изучаются простые автомодельные решения уравнений сжимаемой мелкой воды: волны разрежения н ударные волны. Такие решения являются основополагающими в исследовании нелинейных волновых явлений и позволяют найти точное решение задачи распада произвольного разрыва. В работе получено точное явное решение начальной задачи с кусочно-постоянными начальными условиями для уравнений сжимаемого газа в приближении мелкой воды, впервые возникшей в газовой динамике (задача Римана) [20]. Показано, что решение представляет собой одну из четырех волновых конфигураций: «две ударные волны», «волна разрежения, ударная
волна», «две волны разрежения», «две волны разрежения, зона вакуума». В работе найдены условия для начальных данных, при которых реализуется каждая конкретная конфигурация. Проведен сравнительный анализ полученных решений с решениями классической мелкой воды.
В разд. 2 описана исходная система уравнений движения сжимаемого газа в приближении мелкой воды вместе с необходимыми предположениями. В разд. 3 получены непрерывные решения системы в виде простых и центрированных волн Римана, непрерывные автомодельные решения. В разд. 4 найдены разрывные решения исходной системы уравнений в виде ударных волн, получены соотношения Ранкина Гюгоиио на разрыве. В разд. 5 сформулирована задача Римана; показано, что ее решение представляет собой одну из четырех волновых конфигураций; получены условия для начальных данных, необходимые и достаточные для реализации каждой конфигурации; проведен сравнительный анализ полученного решения с решенном классической задачи Римана для несжимаемой жидкости в приближении мелкой воды. В Заключении приведены основные результаты работы.
2. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ СЖИМАЕМОГО ГАЗА В ПРИБЛИЖЕНИИ МЕЛКОЙ ВОДЫ
В данном разделе описывается система уравнений мелкой воды для сжимаемого газа в поле силы тяжести на ровной подстилающей поверхности.
Система уравнений движения сжимаемого газа в приближении мелкой воды получается из классических уравнений движения Эйлера сжимаемого газа усредненном по высоте слоя [13], при этом мы пренебрегаем интегралами от произведения отклонений плотности и горизонтальной скорости от их средних значений. Газ предполагается политропным, совершенным, с гидростатическим распределением давления. Все процессы в области непрерывности считаются адиабатическими. Скорость частиц газа, а также фазовые скорости возмущений предполагаются малыми по сравнению со скоростью звука (пренебрегаем акустическими эффектами).
Система координат выбрана таким образом, что ось 2 направлена вдоль вектора силы тяжести в противоположном направлении, ось X направлена вдоль подстилающей горизонтальной поверхности.
Исходная система уравнений имеет вид [13]
а/ at'
ди ~dt
d(iu) дх
= о.
а-
и2 дi
ди
— +U— = 0,
ох ох
(2.1)
l(x,t)
1 + h(x, t)
CpTi
i/Ь-1)
(2.2)
a(x.t) = J'-^l (1 + /(.,:.t) — V Pi \ Pa
Здесь .г пространственная координата; I время; и(х.1) скорость газа вдоль оси X: /»(.>•./) высота слоя газа; / = 1(1г(хЛ)) неотрицательная монотонно возрастающая функция аналог высоты слоя /г, /(0) = 0; и = и(1(хЛ)) неотрицательная монотонно возрастающая функция от /; д гравитационная постоянная; 7 показатель адиабаты газа; ра атмосферное давление; Г;, р.; температура и плотность газа на свободной поверхности; ср теплоемкость газа при постоянном давлении. Величины д, 7, ра- Г;, Рг предполагаются константами.
Запишем систему (2.1) в безразмерном виде. Примем за характерный линейный размер задачи характерную высоту слоя /г0, за характерное время '¡о, плотность р;. Исходная си-
s/ho/g, скорость стема (2.1) в безразмерном виде
at
d(iu) dx
■2 di
= о,
ди <r di ди
-г— + — + и "Г и,
dt I дх дх
и = ф{1 + 1АВ)^-ЛУЛ,
(2.3)
(2.4)
где А = 7/(7 — 1), В = 1го/НЙ безразмерные параметры задачи, Ня = ВТ}/д масштаб высоты атмосферы.
Если характерная высота слоя /¡о много меньше характерной высоты атмосферы Н„, то данное течение можно считать несжимаемым [14, разд. 3.6]. Ниже в разд. 5.7 будет показано, что при В = /¡о ¡Ня —¥ 0 система уравнений (2.3) полностью переходит в классические уравнения мелкой воды для несжимаемой жидкости [21].
Система уравнений (2.1), (2.2) отличается от классических уравнений мелкой воды для несжимаемой жидкости. В классических уравнениях мелкой воды высота и скорость столба жидкости полностью
определяют его взаимодействие с остальным объемом жидкости. В уравнениях (2.1), (2.2) это взаимодействие определяется но только высотой и скоростью, но и средней плотностью столба жидкости, поэтому учет горизонтального импульса в уравнениях происходит более точно.
В следующем разделе будут получены непрерывные решения системы (2.3).
3. НЕПРЕРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ СЖИМАЕМОГО ГАЗА В ПРИБЛИЖЕНИИ МЕЛКОЙ ВОДЫ
В этом разделе будут получены частные непрерывные решения исходной системы уравнений (2.3) в виде однородного течения, простых и центрированных волн Римана и будет показано, что найденные решения исчерпывают класс непрерывных автомодельных решений системы (2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.