ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2004, том 30, № 12, с. 1149-1152
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ
УДК 533.951
НЕЛИНЕЙНАЯ ОДНОМОДОВАЯ СТРУКТУРА В ПЛАЗМЕ С АНИЗОТРОПНОЙ ТЕМПЕРАТУРОЙ
© 2004 г. В. Ю. Быченков
Физический институт им. П.Н. Лебедева РАН, Москва Поступила в редакцию 03.02.2004 г.
Найдено точное решение уравнений вихревой электронной анизотропной гидродинамики в плазме, неустойчивой относительно возбуждения вейбелевской неустойчивости, обусловленной анизотропией электронной температуры. Это решение описывает насыщение вейбелевской неустойчивости в одномодовом режиме с произвольной длиной волны и отвечает стоячей спиральной волне магнитных возмущений с периодическим изменением во времени амплитуды генерируемого магнитного поля. Такие же периодические изменения испытывают продольная и поперечная (относительно вращающейся оси анизотропии) температуры плазмы. При этом максимальная энергия магнитного поля может быть порядка тепловой энергии плазмы.
Плазма с анизотропной температурой электронов неустойчива относительно возбуждения электромагнитных возмущений, описывающих генерацию магнитного поля с характерным временным масштабом, много большим периода электронной плазменной волны [1]. Исследования нелинейной стадии развития вейбелевской неустойчивости, выполняются, как правило, с использованием численного моделировании [2-9]. Вместе с тем, предложенная в конце 80-х годов так называемая модель вихревой электронной анизотропной гидродинамики (ВЭАГ) дает достаточно эффективный аппарат для развития аналитической теории вейбелевской неустойчивости. Его применение позволило найти два класса аналитических решений ВЭАГ: автомодельные решения взрывного типа [10-13] и одномодовые периодические решения [14-16]. В настоящем сообщении мы дополняем второй класс решений, развивая работу [16], в которой найдено длинноволновое одномодовое решение, описывающее стоячую магнитную структуру в плазме, возникающую без изменения величины анизотропного давления. В данной работе такого же типа магнитная структура найдена для произвольной длины волны. В [14] найдено одномодовое решение, отвечающее постоянству давления вдоль генерируемого магнитного поля. Для найденного ниже решения это давление меняется вдоль магнитного поля самосогласованным образом. Кроме того, полученное нелинейное состояние плазмы допускает ясную физическую трактовку на языке пространственно-временного изменения направления анизотропии и периодического изменения давлений вдоль и поперек этого направления.
Для описания нелинейной эволюции плазмы с анизотропным давлением электронов исходим из системы уравнений ВЭАГ для магнитного поля В
и тензора давления Р [17]
Э dt
г
2
\
С
W AW
ю р
2
С
- V х ю p
(W • V)W --^((V х W) • V) V х W
(1)
ю р
1 ^
- — Vх (V • Р), mn
д Р С
дР + -С-2 ((V х W )• V) Р + dt юр
+ £_{(р • v)V х W} = {Р х W}, ю р
где W = eB/mc и юр = (4ne2n/m)1/2 - гироскопическая и плазменная частоты электронов, e, m, и n -заряд, масса, и плотность электронов, скобки {...} обозначают симметризацию тензора, т.е. {Ау} = Ац + Aj¡. Уравнения (1) описывают вихревые движения электронной компоненты плазмы с пренебрежимо малыми изменениями плотности, n. Линеаризованная система уравнений (1) для плазмы с анизотропным давлением
Р = Рцпп + Р±( I - nn) (Р± > Рц, n - единичный
вектор, I - единичный тензор) описывает вей-
2
2
в, p,, p||, nz l.O
l.O
0.5
-0.5 -l.O
l.O
O.S 0.6 O.4 O.2
L--A-J
\/
lO 20 30 40 50 60 t
Рис. 1. Эволюция магнитного поля (жирные сплошные линии), поперечного (штрих-пунктирные линии) и продольного (пунктирные линии) давлений и г-ком-поненты вектора анизотропии (сплошные линии) для Во = 0.01, анизотропии давлений Р±0^Рц0 = 10 и k = 0.5, k = 1, k = 2 (рисунки сверху вниз).
белевскую неустойчивость с инкрементом максимальным поперек направления б0льшего давления (вдоль n).
В [17] для случая одноосной анизотропии и длинноволновых вихревых структур, с масштабом много большим с/юр, было предложено описание плазмы на языке эволюции вектора анизотропии n. Соответствующее (ck < Юр) одномерное решение для спиральной магнитной структуры вида B = {B(t)sinkz, B(t)coskz, 0} было найдено в [16] при сохранении анизотропии давления, P± = const, р = const. Мы обобщаем его на случай произвольного волнового числа, k % Юр /с, вводя P±(t), P±(0) = P±0, P||(t), P||(0) = P||0, n(t, z) = {sin Ф cos kz, sin Ф sin kz, cos Ф}, n(0, z) = = {0, 0, 1}. При этом система уравнений (1) сво-
дится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений
( P- P±)
d-Ф dt
= |O|
P,
22
1 с к . 2 _ 1 + —- sin Ф
\ С
- P||
Ю p
/
22
л с к 2 _
1 + —2--cos Ф
Ю 2p
V
JA
22
1+
dO
dt
=
2 P||- P,
mn
-cos Ф sin Ф,
(2)
с к
Юp J
dP 2 к 2
—¡± = |O| P,cosФsinФ,
dt Ю2
p
dP = -210 сс2к- P|| cos Ф sin Ф.
dt Ю „
При г —► 0, когда еВ/тс = О = О0| и Ф = 0, уравнение (2) описывает экспоненциальное нарастание магнитного поля с инкрементом вейбелевской неустойчивости (к/ 4ти )7Р±„/(1 + с 2 к2/юр,) - Рц 0,
если Р±0 > Рц(0)(1 + с2к2/юр). Ниже последнее неравенство считаем выполненным. В длинноволновом пределе, ск < юр, когда система уравнений (2) вырождается в систему двух уравнений для |О| и Ф с постоянными давлениями р и Р±, имеем результат [16].
Система обыкновенных дифференциальных уравнений (2) обладает интегралами
22 Р11 р± = Р||„ р±„,
1+
22 с к
Ю
(O2- Оо2) =
p
(З)
ю p
mnc
2 ( P||o- P||-2 P, + 2 P,o )
и легко решается численно. Мы иллюстрируем решение (2) рисунками с использованием нормировок на (c/fflp)Vnm/PL0, c/fflp, Р±0, J4%P io Для времени, координаты (обратного волнового числа), давлений и магнитного поля, соответственно. На рис. 1 представлены решения для магнитного поля, B, поперечного и продольного давлений, Р± и Рц, и z-компоненты вектора анизотропии, nz = cos Ф. Начальный экспоненциальный рост магнитного поля сопровождается уменьшением большего из давлений (поперечного) и возрастанием меньшего давления (продольного). Затем величина магнитного поля насыщается и оно начинает уменьшаться до начального значения, а давления плаз-
ФИЗИКА ПЛАЗМЫ том 30 < l2 2004
нелинейная одномодовая структура в плазме
1151
7
7
7
Рис. 2. Поле вектора анизотропии п в области 0 < г < п/к при В0 = 0.01, анизотропии давлений Рю/Р\\0 = 10, к = 1, для моментов времени г = 0, г = 10, г = 12 (рисунки сверху вниз).
мы восстанавливают свои исходные значения. Далее процесс периодически повторяется. При малых волновых числах, к < 1, в процессе релаксации плазмы направление анизотропии меняется на противоположное (две верхние панели на рис. 1). Это происходит в момент времени, близкий к достижению максимума магнитного поля, Втах. Такой режим с перебросом анизотропии не реализуется при больших волновых числах к > 1 (нижняя панель на рис. 1).
Период нелинейных осцилляций, Т, зависит от волнового числа и начального магнитного поля, В0.
Как и в длинноволновом случае [16], он логарифмически растет при уменьшении В0, т.е. Т ^ 1п В0. При большой анизотропии, Р±/р > 1, минимальный период колебаний реализуется при к ~ 1 и может быть оценен по порядку величины как предельное (к —► 1) значение, возникающее в длинноволновой теории: Т ~ (4/ ^Р ± 0 )1п4/В0. Максимальная величина магнитной энергии мала по сравнению с тепловой энергией плазмы, как при малых к < 1, так и больших к > 1 значениях волнового числа, в то время как при к ~ 1 эта величина соиз-
ФИЗИКА ПЛАЗМЫ том 30 № 12 2004
2
мерима с плазменной энергией Втах /4пР± = 1/4. Среднее (по периоду нелинейных колебаний) значение магнитной энергии всегда мало по сравнению с тепловой энергией плазмы.
Физическая причина стабилизации вейбелев-ской неустойчивости заключается в двух эффектах: самосогласованном уменьшении степени анизотропии плазмы при генерации магнитного поля (1) и пространственном изменении направления анизотропии. В длинноволновом пределе к < 1 второй эффект мал [17], что отчетливо видно на верхней панели рис. 1, и насыщение неустойчивости связано с вращением оси анизотропии [16]. Иллюстрацией пространственно-временного изменения оси анизотропии служит рис. 2.
В заключение отметим, что выше получено аналитическое решение уравнений ВЭАГ, описывающее релаксацию вейбелевской неустойчивости в одномодовом режиме с генерацией спиральной магнитной структуры, согласованной с формированием спиральной анизотропии давления. Периодическое изменение во времени магнитного поля и давлений в качественном плане, подобно найденному ранее решению [14, 15], отличаясь от последнего структурой анизотропного давления, несколько другими временной формой магнитных импульсов и амплитудой магнитного поля. При этом найденное решение имеет наглядную физическую трактовку - насыщение неустойчивости происходит как за счет уменьшения степени анизотропии давления, так и вращения оси анизотропии. Отметим, что в трехмерном численном моделировании [9] наблюдалось формирование одномерной магнитной спирали. Это позволяет предположить, что найденное решение является аттрактором для трехмерной релаксации вейбелевской неустойчивости. Тщательная проверка этой гипотезы весьма актуальна в связи с потенциальной возможностью ее экспериментальной проверки в ближайшие годы в рамках уникального проекта по рентгеновскому лазеру на свободных электронах сверхвысокой яркости [18]. Именно при воздействии мощного короткого импульса рентгеновского излучения на газ вейбелевская
неустойчивость весьма вероятна благодаря ионизации вследствие фотоэффекта, приводящего к анизотропии энергетического распределения электронов.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 03-02-16428).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Weibel E.S. // Phys. Rev. Lett. 1959. V. 2. P. 83.
2. Morse R.L., Nielson C.W. // Phys. Fluids. 1971. V. 14. P. 830.
3. Wallace J.M, Epperlein E.M. // Phys. Fluids. B. 1991. V. 3. P. 1579.
4. Davidson R.C., Hammer D.A., Haber I, Wagner C.E. // Phys. Fluids. 1972. V. 15. P. 317.
5. Быченков В.Ю, Новиков В Н., Силин В.П, Тихон-чук В Т. // Физика плазмы. 1991. Т. 17. С. 463.
6. Быченков В.Ю, Новиков В Н., Силин В.П. // Т
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.