ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 4, с. 599-609
УДК 519.624
НЕЛИНЕЙНАЯ СИНГУЛЯРНАЯ СПЕКТРАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ГАМИЛЬТОНОВОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИЗБЫТОЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ
© 2015 г. А. А. Абрамов*, **, Л. Ф. Юхно***, ****
(* 119333 Москва , ул.Вавилова, 40, ВЦ РАН; ** 141700Долгопрудный М.о., Институтский пер., 9, МФТИ; *** 125047Москва, Миусская пл., 4а, ИПМРАН; **** 115409Москва, Каширское ш., 31, НИЯУМИФИ) e-mail: alalabr@ccas.ru, yukhno@imamod.ru Поступила в редакцию 29.10.2014 г.
Рассматривается нелинейная спектральная задача для самосопряженной гамильтоновой системы дифференциальных уравнений на бесконечной полупрямой. Предполагается, что исходные данные (матрица системы и матрица граничных условий) удовлетворяют определенным условиям монотонности по спектральному параметру. Кроме условия в начальной точке и требования ограниченности решения на бесконечности, накладывается избыточное нелокальное условие, задаваемое интегралом Стилтьеса. Для нетривиальной разрешимости сформулированная "переопределенная" задача заменяется вспомогательной задачей, которая является совместной при рассмотрении всей совокупности условий. Проводится исследование и дается численный метод решения этой вспомогательной задачи. Библ. 7.
Ключевые слова: сингулярная гамильтонова система дифференциальных уравнений, нелинейная самосопряженная спектральная задача, собственные значения, нелокальные условия, избыточные условия, численный метод определения количества собственных значений.
DOI: 10.7868/S004446691504002X
ВВЕДЕНИЕ
В различных приложениях возникают краевые и спектральные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых кроме основных условий, выделяющих искомое решение, накладываются некоторые избыточные условия. Для решения таких задач естественным является метод, который каким-то образом подправляет метод решения задачи с основными условиями. В [1] рассмотрены подобные примеры и указан общий прием перехода от исходной переопределенной задачи к вспомогательной, совместной с совокупностью всех заданных условий.
В настоящей работе рассматривается проблема, представляющая самостоятельный интерес. Это самосопряженная нелинейная спектральная задача для гамильтоновой системы уравнений, заданной на бесконечной полупрямой. В качестве избыточных условий берутся наиболее общие нелокальные условия, задаваемые интегралом Стилтьеса. Проводится исследование свойств и дается численный метод решения этой задачи.
1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Рассмотрим на полупрямой 0 < ? < +да систему дифференциальных уравнений
/у = А ((,Х)у, (1.1)
где А : [0,+да) х (Л1, Л2) —«- С2и х 2" — заданная функция, у : [0, +да) —» С2и — искомая функция
при фиксированном X, J=
0 -I
1 0
, I — единичная n х n-матрица. Будем предполагать, что функ-
ция A(t, X) непрерывна и равномерно по X существует Aœ(X) = lim A(t, X). Предположим также,
t ^ = »
что для всех X уравнение det(a/ — Aœ(X)) = 0 не имеет корней а на мнимой оси. Будем использовать стандартное скалярное произведение в С2" : (u, v) = v*u и соответствующую норму |-|. Система (1.1) дополняется следующими граничными условиями:
|y(t)| ограничено при t —» +да, (1.2)
Фо(Х) У( 0 ) = 0, (1.3)
где ф0 : (Л1, Л2) —С" х 2n, rankф0(Х) = n для всех X. Для простоты изложения будем считать, что A(t, X), A,(А) и ф0(Х) непрерывно дифференцируемы по X; производную по X будем обозначать точкой сверху.
Будем предполагать, что задача (1.1)—(1.3) самосопряженная, т.е. что
A(t, X) = A*(t, X) для всех t и X, (I)
90(X)/9*(X) = 0 для всех X.
Предположим также наличие определенной монотонности исходных данных по спектральному параметру, а именно будем считать, что
A(t, X) > 0 для всех t, X, (II)
ф0(X)/ф*(X) < 0 для всех X.
Нетрудно проверить, что в левой части последнего неравенства стоит эрмитова матрица. Действительно, из соотношения фо^/ф* (X) = 0 следует, что ф0(X)/ф*^) + ф0^)/ф*(X) = 0. А отсюда следует, что
ф0 (X) /ф0* (X) = -ф0^) /ф0* (X) = (ф0 (X)/ ф*^)) *,
что и требовалось.
Задача (1.1)—(1.3) — спектральная задача. Значения X, для которых существует нетривиальное решение y(t) этой задачи, называются собственными значениями, соответствующие функции y(t) — собственными функциями. Максимальное число линейно независимых собственных функций, соответствующих собственному значению, называется кратностью этого собственного значения. Предполагается, что каждое собственное значение изолированное.
В настоящей работе рассматривается задача, которая отличается от задачи (1.1)—(1.3) тем, что помимо условий (1.2), (1.3) накладывается еще избыточное условие
J ( dx ( t)) y ( t) = 0, (1.4)
0
где X : [0, +да) —»- Ст х 2n, X(t) — функция ограниченной вариации по введенной норме. Интеграл в (1.4) — интеграл Стилтьеса. Подчеркнем, что функция X не зависит от X.
Задача (1.1)—(1.3) была рассмотрена в [2]. Задача, в которой уравнение (1.1) задано на отрезке [0, b] при условиях (1.3), (1.4) (где интеграл берется от 0 до b) и кроме того наложено условие
фьМу(Ь) = 0, где фь : (Ль Л2) — С" х 2n, rankфьф) = n, фь^/ф* (X) = 0 и
фb(X)/ф*(X) > 0 (1.5)
для всех X, рассматривалась в [3]. В этих работах приведены методы решения указанных задач. В [1], [4] была рассмотрена "переопределенная"задача для линейной неоднородной системы уравнений.
Основой метода решения сформулированной задачи (1.1)—(1-4) является следующий прием. Уравнение (1.1) заменяется уравнением
/У = A ( t,X) y + g( t )n, (1.6)
в котором дополнительно задается непрерывная функция g : [0, +да) —- С2и х m такая, что существует grrj = lim g(t), n — неизвестный постоянный m-столбец. Вместо исходной рассматривается
t ^ +<»
задача (1.2)—(1.4), (1.6). (Целесообразность такого приема показана в [1], [3], [4].)
2. АППРОКСИМАЦИЯ ЗАДАЧИ
В предыдущем разделе системы уравнений (1.1) и (1.6) рассматривались на бесконечной полупрямой. Условия (1.2) и (1.4) имеют смысл для функций на этой полупрямой. Здесь строится аппроксимация исходной сингулярной задачи на бесконечном интервале задачей на ограниченном отрезке.
Начнем с аппроксимации условия (1.2). Из результатов работы [5] следует, что при определенных предположениях (выполняющихся в данном случае) условие (1.2) для уравнения (1.6), рассматриваемого относительно у (?), для достаточно большого t = tгrJ может быть приближенно заменено условием
Ф»^)у( г») = . (2.1)
Здесь
Ф» (X) = у» (X)/, (2.2)
где уш(Х) есть п х 2п-матрица, строки которой составляют какой-либо базис в пространстве, порожденном левыми корневыми векторами х задачи
ах/ = хА»(X), (2.3)
отвечающими собственным значениям а, лежащим в правой полуплоскости (таких собственных значений с учетом их кратности ровно п), а
а» (X) = -Ф„(Х)А»1(Х)^„.
Так как пространство, порожденное строками матрицы уш(Х), инвариантно относительно невырожденного линейного преобразования Д^Х), то из (2.3) следует, что
Ф» (X) / = р(Х)у»(Х)А» (X), (2.4)
где р^) есть п х п-матрица линейного преобразования в этом пространстве; все собственные значения матрицы р^) лежат в правой полуплоскости. О численных методах выделения указанного пространства см. [6]. Погрешность от замены условия (1.2) условием (2.1) стремится к нулю при 4, —+ да (подробности см. в [4], [5]). Если Д(?, X) и g(t) не зависят от t при достаточно больших значениях t, то для этих значений условие (2.1) строго эквивалентно условию (1.2).
Поэтому мы аппроксимируем исходную сингулярную задачу задачей на конечном отрезке следующим образом. Выбираем достаточно большое значение tгrJ, рассматриваем уравнения (1.1) и (1.6) на [0, 4] с условиями (1.3) и (2.1). Интеграл в (1.4) заменяем интегралом от 0 до 4.
3. ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ АППРОКСИМИРУЮЩЕЙ ЗАДАЧИ Итак, на отрезке [0, tx\ мы имеем следующую спектральную задачу:
/у' = А (г^) у + g( 0п,
П' = 0,
¡(¿ж (0)у( 0 = о, (3.1)
о
Фо (X)у(0) = 0,
Ф»М у (г») - а»^)п = о , с учетом предположений о свойствах всех использованных функций (см. (I), (II)).
Частный случай, рассматриваемый в этом разделе, состоит в том, что функция предполагается непрерывно дифференцируемой, 3£'(t) = к(0 и кш = lim к(t) = 0. Для получения самосо-
t ^+»
,-t
пряженной задачи, как и в [3], берется g(t) = K*(t). Если ввести функцию z(t) = I к(т)y(т)dx , то
Jo
третье соотношение в (3.1) можно рассматривать как уравнение относительно этой функции, а именно
г' = к( t) y (t),
с граничными условиями
г( 0) = г( t») = 0.
В результате получится система дифференциальных уравнений вида
Jy' = A (t,X) y + к* (t )n,
с граничными условиями
г' = к( t)y,
n' = o
Фо(А)у(0) = 0,
Ф» (А)у( t») = 0, г (0) = 0, г( t») = 0.
(3.2)
(3.3)
Здесь в условии (2.1) учтено, что
а»(Х) = -ф» (^)Аэ1 (Х)к* = 0,
поскольку кш = 0.
Приведем задачу (3.2), (3.3) к стандартному виду задачи для гамильтоновой системы дифференциальных уравнений. Пусть 2п-столбец у составлен из «-столбцов у1 и у2. Изменим порядок перечисления искомых функций следующим образом: г, У\, П, У2. Разобьем матрицуЛ^, X) и матрицы ф0(Х), фш(А) на соответствующие п х «-блоки, а матрицу к(0 — на т х п-блоки, т.е. возьмем
A(t, А) =
A11 A12
A21 A22
фо(А) = ||ФО1.ФО21 , Ф»(А) = 11Ф»1.Ф»21 , к(t) = 11к 1,к21.
Тогда система (3.2) приведется к виду
0 0 -I 0
0 0 0 -I
1 0 0 0 0 I 0 0
г У1
n
У2
0 К 0 к2
0 А21 К2 А22
где I — единичные матрицы соответствующих размеров. Граничные условия примут вид
0 0 0 0
0 A11 к* A12
г
У1 n
y2
(3.4)
I 0 0 0 0 Ф01 0 Ф02
г ( 0) У1 ( 0) n( 0)
У 2 ( 0)
= 0,
(3.5)
I 0 0 0 0 Ф»! 0 Ф»2
z( г») ух( г») п( г») у2( г»)
= 0.
(3.6)
Очевидно, система уравнений (3.4) имеет стандартный вид самосопряженной гамильтоновой системы дифференциальных уравнений. Проверим, что полученные граничные условия (3.5), (3.6) обладают нужными свойствами. Проверим самосопряженность этих условий. Для условия (3.5) имеем
I 0 0 0 0 Ф01 0 Ф02
0 0 -I 0
0 0 0 -I
1 0 0 0 0 I 0 0
I 0
0 Ф*1 0 0
0 Ф*2
0 0 0 Ф01 Ф*2 + Ф02Ф01
= 0,
поскольку из (I) следует соотношение
-Ф01Ф0*2 + Ф02 Ф0*1 = Ф0/Ф0* = 0. Тем самым условие (3.5) является самосопряженным.
Для проверки самосопряженности
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.