ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 4, 2015
УДК 534.1
© 2015 г. Ерофеев В.И., Комаров В.Н., Лампси Б.Б.
НЕЛИНЕЙНАЯ СТАЦИОНАРНАЯ КРУТИЛЬНАЯ ВОЛНА В СТЕРЖНЕ
Институт проблем машиностроения РАН, г. Нижний Новгород
Предложена математическая модель, позволяющая описать распространение крутильной волны в стержне. Модель включает в себя геометрическую и физическую упругие нелинейности и депланацию, т.е. выход поперечного сечения, в процессе деформации стержня, из первоначального плоского состояния. В отличие от большинства известных моделей здесь связь между углом закручивания стержня и мерой де-планации не постулируется, а находится в процессе решения задачи. Определено, что депланация, приводящая к появлению дисперсии фазовой скорости крутильной волны, приводит еще и к появлению квадратичной нелинейности, характерной для интенсивных продольных колебаний и не встречавшейся прежде в математических моделях, описывающих крутильные колебания. Показано, что в стержне может формироваться нелинейная стационарная крутильная волна, которая является периодической и движется быстрее, чем любые линейные возмущения. Волна имеет пилообразную форму, длина волны увеличивается с ростом амплитуды.
Математические модели, используемые для изучения крутильных колебаний стержней, а также для изучения распространения крутильных волн, базируются на технических и уточненных теориях. Технические теории включают в себя модели Кулона и Сен-Венана, уточненные — модели Тимошенко и Власова [1—3].
В основе теории Кулона лежат гипотезы о недеформируемости поперечного сечения стержня в своей плоскости и об отсутствии депланации, т.е. выхода сечения из первоначального плоского состояния. Согласно этой теории, крутильная волна в стержне распространяется без дисперсии с той же скоростью, с которой распространяются сдвиговые волны в неограниченной среде.
По теории Сен-Венана кручение стержня складывается из кручения по Кулону и продольных смещений, приводящих к депланации. Депланация полагается одинаковой для всех сечений и не зависящей от координаты x. Согласно этой теории, крутильная волна в стержне не обладает дисперсией, но скорость крутильной волны отличается от скорости волны сдвига на постоянный множитель, зависящий от формы поперечного сечения стержня.
Если депланация неоднородна вдоль стержня, то кручение принято называть стесненным. По теориям Тимошенко и Власова депланация пропорциональна относительному углу закручивания, что приводит к дисперсии, т.е. зависимости фазовой скорости крутильной волны от ее частоты.
В [4] предложена еще одна уточненная теория. В этой теории связь между углом закручивания 9^, 0 и мерой депланации Р^, 0 не постулируется как в теориях Тимошенко и Власова, а определяется в процессе решения задачи.
Выражение для плотности кинетической энергии имеет вид
2*
35
где р — плотность материала стержня; 1Г — полярный момент инерции; 1т — сектори-альный момент инерции.
Для учета упругой нелинейности в выражении для плотности потенциальной энергии следует удержать не только квадратичные слагаемые, но и слагаемые в четвертой степени
^ = 22+1 2+2'<1 - в)2+<1)'+02СИ)4+аз(| - в)4,
где Е — модуль Юнга; О = —Е— ) — модуль сдвига; — крутящий момент инерции;
2 (1 + У)
^ = -—, ю — геометрический параметр [4]; у — коэффициент Пуассона; а1 — коэф-
А
(у -1)!
фициенты, характеризующие геометрическую и физическую нелинейности стержня. Если стержень является геометрически нелинейным, то а,- > 0, если — физически нелинейным, то а,- < 0.
Составляя лагранжиан X = — Шр и применяя вариационный принцип Гамильтона—Остроградского [2, 3], получим систему уравнений динамики стержня
дг(де/ аЛде/ с-9 , дг(др/ д-- С дв ,
где ег = де/дг, ех = де/дх, вг = дв/дг, вх = дв/дх.
р//| _ 0(1Х + '/е + 01® + N1 = 0, р'/| _ Е/Д _ _ р) + N2 = 0. (1)
дг2 дх2 -дх дг2 дх2 *С дх )
Здесь через N 2 обозначены нелинейные слагаемые:
м )Где\2д2е 0. Рд ед2е 10 Где\2др
n1 = _12(а1 + — + 24азр- — + 12аз(¿х д--
^ил' гг~у ил. ^н-у- ^ил/ ил.
_ 24азРЦ - ^^азв2^---- + 12азР2|, (2)
N2 = _12азддр^ _ 4азС^3 + ^зр^)2 _ ^р2 + 4аз-3.
дх дх (дх) (дх) дх
Система (1), (2) достаточно сложна для анализа. Для ее упрощения будем предполагать, что депланация Р(х, ^ является малой. Поскольку нелинейные эффекты проявляются на величинах более высокого порядка малости, чем линейные, это позволяет учитывать депланацию только в линейной части уравнений, а в нелинейных слагаемых приближенно считать, что - « де/дх. Тогда нелинейные слагаемые будут иметь вид
м 10 Где\ 2д2е м 10 дед2е
При данных предположениях система уравнений (1) сводится к одному уравнению относительно е(х, (). Для этого из первого уравнения системы выразим
дв = (/*+'*) _ /£ + 12а Где 2д2е
дх дх2 С'* дг2 с* С ^ дх2
и подставим его во второе уравнение, предварительно продифференцированное по переменной х.
Таким образом, нелинейное дифференциальное уравнение крутильных колебаний стержня с учетом депланации его поперечного сечения будет иметь вид
д2е .2д2е . 4 +)д4е 4 [(т + т)О + ЛТ -, д2е ,
;1Л4 + тя) О + ЕТг] —+
__с __ +_ю у х
дг2 ' дх2 рТТ
^г дх
л4л ю г „ „2
Г г
дх2дг2
4 д4е I2д2
24
ст &
°181г дГ
де^2 д2е'
дх
дх2
12/ша1Е/ш д2
рТгО1& дх:
12а1 Где^2д2е , 12аз д Гдед2е
+
РТг Кдх дх2 РТГ дх
= 0,
дх дх2 >
де^2 д2 е"
дх
дх2
(3)
где cs = Щ/Ртг — скорость распространения крутильных волн в стержне.
Заметим, что уравнение (3) содержит в себе, наряду с кубической нелинейностью, характерной для интенсивных крутильных колебаний стержней [3], еще и квадратичную нелинейность (последнее слагаемое), характерную для интенсивных продольных колебаний и не встречавшуюся прежде в математических моделях, описывающих крутильные колебания.
Рассмотрим волновые процессы, учитывая квадратичную нелинейность (а3 = 0) и пренебрегая кубической нелинейностью (а: = 0). Уравнения (3) в этом случае можно записать в виде
д2е _ с2 д2е+АГ
дг2 дх2 с21„\дг2 т 6
( 4+4) с 22 _д2 4 дх2
Гд2
: - сп
2 д2
+ бо_з а^де 2е
1дг2 дх2^ Р тг дх2 Vдx
о,
(4)
где с0 = л/Л'/р — скорость распространения продольных волн в стержне; cт = л/О/р — скорость распространения сдвиговых волн.
Линейные крутильные волны в стержне обладают дисперсией фазовой скорости [5]. Таким образом, на распространение крутильных волн, описываемых уравнением (4), будут влиять два фактора: дисперсия и нелинейность. Нелинейность приводит к зарождению в спектре волны новых гармоник, что способствует появлению в движущемся профиле волны резких перепадов. Дисперсия же, наоборот, сглаживает перепады из-за различия в фазовых скоростях гармонических составляющих волны. Совместное действие этих факторов может привести к формированию стационарных волн, которые распространяются с постоянной скоростью без изменения формы.
Обзор основных результатов теоретических и экспериментальных исследований нелинейных стационарных волн в стержнях, пластинах и оболочках содержится в работе [6].
Решение уравнения (4) будем искать в виде е(х, 0 = е(^), где ^ = x — Vt, V — скорость стационарной волны (заранее не известна).
Для относительного угла закручивания поперечного сечения стержня © = dе/d^ уравнение в частных производных (4) сведется к обыкновенному дифференциальному уравнению
2
— + т,© + т2 — (©)2 = 0, -2 1 2—^ у
(5)
—Г
где
2
Г2 -сА
т1
т2
6 а3сл
2
ст
у2 -
(4 +4 )с
(у2 - с0)
р
Г У2 ( Тх + Т. ) с2
(у2 - с0)
+
Рис. 1
Анализ уравнения (5) на фазовой плоскости (©, показывает, что замкнутые
фазовые траектории, а только им соответствуют финитные решения уравнения, возможны, если шх > 0. Следовательно, нелинейные крутильные стационарные волны могут существовать лишь при шх > 0. Это возможно, если нелинейная волна является "быстрой", т.е. ее скорость превышает скорости всех линейных возмущений
V > е0 > сТЛ/(Iх + I^)/¡^ > е,, или если нелинейная волна является "медленной" и ее скорость лежит в интервале е., < V< сТЛ/(1х + I^)/¡^ .
В начале координат на фазовой плоскости имеется особая точка типа "центр". Прямая ^©/^ = е* определяет устойчивые движения (замкнутые фазовые траектории):
Р7А { V2
2 т2 12а3
^ - 1
^ с.
Этот параметр растет с увеличением относительного значения скорости нелинейной стационарной волны, т.е. |е*| ~ (V/еs)2 и уменьшается с увеличением а3: |е*|--1/|а3|. Знак т2 определяется знаком а3.
На рис. 1 показан фазовый портрет уравнения (11) при а3 < 0 (а) и профиль стационарной волны при амплитудах, близких к е* (б). Аналитические построения, выполненные для случая а3 > 0, показаны на рис. 2.
Фазовый портрет позволяет оценить зависимость волнового числа нелинейной волны (к) от ее амплитуды (а)
*
е
Рис. 2. Фазовый портрет уравнения (11) при аз > 0 (а) и профиль стационарной волны при амплитудах, близких к е* (б)
k/k0
0 12 3 a/a(
Рис. 4. Профили нелинейной волны при фиксированной амплитуде (a/ao = const) и различных значениях е*: a — б*, б — б* > б*
k
1 +
^2 ПЕ
где a0 — волновое число и амплитуда гармонической (линейной) волны.
С ростом амплитуды волны относительное значение волнового числа уменьшается (длина волны растет) (рис. 3).
Профили нелинейной волны при фиксированной амплитуде и различных значениях е* приведены на рис. 4.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 12-08-00888, № 13-08-97103-р_поволжье).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Артоболевский И.И., Бобровницкий Ю.И., Генкин М.Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука, 1979. 296 с.
2. Вибрации в технике. Справочник. Т. 1 / Под ред. Болотина В.В. М.: Машиностроение, 1999. 504 с.
3. Ерофеев В.И., Кажаев В.В., Семерикова Н.П. Волны в стержнях. Диссипация. Нелинейность. М.: Физматлит, 2002. 208 с.
4. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. М.: Изд-во Ассоциации строительных вузов, 2005. 736 с.
5. Дьяков С.Ф., Лалин В.В. Дисперсия крутильной волны, распространяющаяся в тонкостенном стержне // Интернет-журнал "Науковедение". 2013. № 5. С. 1—10. 24ТВН513. М1р://паик-ovedenie.ru.
6. Ерофеев В.И., Клюева Н.В. Солитоны и нелинейные периодические волны деформации в стержнях,
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.