ВОДНЫЕ РЕСУРСЫ, 2007, том 34, № 6, с. 662-672
ГИДРОФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ
УДК 556.048
НЕЛИНЕЙНАЯ СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ ЕЖЕДНЕВНЫХ И СРЕДНЕМЕСЯЧНЫХ РАСХОДОВ ВОДЫ
В РЕЧНЫХ БАССЕЙНАХ1
© 2007 г. Б. М. Долгоносое, К. А. Корчагин
Институт водных проблем Российской академии наук 119333 Москва, ул. Губкина, 3 Поступила в редакцию 21.03.2007 г.
Рассмотрена динамика стока с водосбора на основе уравнения баланса импульса. При определенных предположениях получено нелинейное уравнение стока. Стохастичность процесса учтена введением двух шумов, один из которых учитывает флуктуации осадков, а другой - неоднородность характеристик водосбора. В результате перехода к вероятностному описанию получен новый класс распределений вероятностей речного стока. Распределения этого класса контролируются наиболее сильно флуктуирующим процессом: либо выпадением осадков, тогда вероятность высоких расходов воды экспоненциально убывает, либо изменчивостью структуры водосбора, тогда вероятность спадает по степенному закону. Показатель степени в этом законе связан с законом сопротивления стоку при течении воды по склоновым и русловым участкам водосбора. Сравнение теоретических и эмпирических распределений для рек Москвы и Волги показало удовлетворительное согласие.
В гидрологии важную роль играет вероятностный прогноз высоких значений речного стока. С этой целью используют разные типы распределений вероятностей стока [7, 16, 22, 24, 31, 32], которые проверены на эмпирическом материале и дают приемлемую точность в определенных интервалах изменения расходов воды. В то же время, физические предпосылки этих распределений не всегда ясны, что не гарантирует от ошибок при их применении и затрудняет оценку надежности прогнозов на их основе.
В данной работе ставится задача построения распределения вероятностей речного стока непосредственно из анализа динамики его формирования на водосборе. Используется физический подход, в котором динамика понимается как движение водных масс под действием сил. Это подразумевает построение и исследование системы уравнений баланса массы и импульса воды. Анализ проводится на уровне водосбора в целом, что диктуется интегральным характером исходных данных, сводящихся, как правило, к гидрографу стока и общей ландшафтно-гидрологической характеристике водосбора. Основное внимание уделяется речным бассейнам с преимущественно поверхностным питанием. Рассматриваются достаточно высокие расходы воды в реке, превышающие меженные значения и соответствующие половодьям и дождевым паводкам. Как известно [3, 19, 21, 36], в этих случаях распределения расходов воды часто имеют тяжелые хвосты, для которых характерно сте-
1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 06-05-64464).
пенное убывание вероятности превышения с ростом расхода.
Прежде всего, коснемся методологии моделирования, так как этот вопрос часто вызывает острую дискуссию между физиками и гидрологами. В данной работе предпринят физический подход, который базируется на построении простейшей модели процесса, позволяющей получить аналитический вид распределения и исследовать его поведение в разных областях параметрического пространства. В современной литературе по математическому моделированию [17, 26, 27] давно уже стало общим местом утверждение, что для понимания физических причин должна строиться минимальная (базовая) модель явления, передающая только его основные черты. Все второстепенные детали должны быть отброшены, так как их учет неоправданно усложняет модель, затрудняя ее анализ (при необходимости детали можно учесть впоследствии, после того, как базовая модель будет проанализирована). В данной работе речь идет о понимании причин возникновения тяжелых хвостов в распределениях речного стока. Оказывается, что достаточно рассмотреть всего несколько ключевых факторов, чтобы понять, как они влияют на форму хвоста распределения. Действительно, то обстоятельство, что ряд известных и широко используемых в гидрологической практике эмпирических распределений имеют малое число параметров (обычно два-три), говорит о принципиальной возможности описания стоковых распределений на основе уравнений с таким же небольшим числом параметров.
Отметим, что физический подход принципиально отличается от традиционного для гидрологии имитационного моделирования, когда в модель стараются включить все, что известно о формировании стока. Модель такого рода требует огромного количества исходной информации, а кроме того, она не лишена недостатков, связанных с расчленением водосбора на части и неадекватным описанием взаимодействия этих частей, например, с использованием эмпирических зависимостей и целого ряда предположений и упрощений с неясными последствиями. В связи с известной проблемой редукционизма ставится под сомнение принципиальная возможность расчленения сложной системы, каковой является водосбор, на совокупность простых подсистем без потери эмер-джентных свойств целого, которые особенно важны для нелинейных систем с их бифуркациями, неустойчивостью и хаосом. Наконец, модель, состоящую из десятков (или даже сотен) уравнений и еще большего числа параметров, не удается проанализировать с достаточной степенью полноты, что затрудняет понимание и интерпретацию полученных результатов.
Тем не менее, имитационные модели могут быть полезны для целей классификации элементарных процессов на водосборе, а также при решении описательных задач [23], не требующих объяснения полученных результатов, например, при описании формирования стока с водосбора [14]. Эти модели хотя и не дают распределение вероятностей стока в аналитическом виде, но позволяют рассчитать его численно. Конечно, многочисленные приближения в формулировке этих моделей снижают точность прогноза стока. В будущем имитационные модели, вероятно, смогут составить основу для интеллектуальных систем типа баз знаний, концентрирующих в себе достижения данной отрасли науки в описании элементарных процессов.
Таким образом, обе методологии моделирования находят свое применение в разных задачах, дополняя друг друга. Еще раз подчеркнем, что для целей данной статьи наиболее подходит физическая методология, одна из возможных реализаций которой изложена ниже.
ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ
В настоящее время известно уравнение водного баланса речного водосбора [18, 19, 29, 35]
| = Р(к> - в. (1>
где к - влагозапас водосборной территории (средняя толщина слоя поверхностных вод), в - слой стока с водосбора, I - время, р(к) - эффективные
осадки - разница между поступлением воды на водосбор и потерями на испарение и инфильтрацию.
В общем случае потери воды зависят от влаго-запаса. Потери на инфильтрацию с ростом h уменьшаются. Естественным рубежом является полная влагоемкость почвы. При ее достижении инфильтрация становится минимальной, равной скорости фильтрации.
Потери на испарение зависят от многих факторов, характеризующих состояние почвы, растительности и приземного слоя атмосферы [8, 9]. В типичных случаях ненарушенных ландшафтов транспирация преобладает над испарением с поверхности почвы. Для достаточно влажной почвы интенсивность транспирации слабо зависит от влажности почвы.
Таким образом, для достаточно влажной почвы суммарные потери воды на инфильтрацию и испарение слабо варьируют с изменением влаго-запаса. Такая ситуация характерна для периодов половодий и дождевых паводков, обеспечивающих повышенные расходы воды в реке. Именно эта область расходов рассматривается в данной работе, что оправдывает использование приближения, согласно которому зависимость эффективных осадков от влагозапаса несущественна: p(h) ~ p = const.
Для замыкания уравнения (1) обычно используется предположение о степенной зависимости стока от влагозапаса[14, 33, 34, 39, 40]
q = khd. (2)
В частности, в [19, 29] использовалась линейная зависимость, соответствующая d = 1 в уравнении (2). Наряду с этим, в [19] рассматривалась гиперболическая зависимость q = kh/(h* - h), которая при h < h* сводится к линейной, где h* - некий предельный влагозапас бассейна.
Впоследствии в дополнение к уравнению водного баланса (1) было сформулировано линейное уравнение стока [19]
где G - движущая сила стока (сила тяжести), q/т -сила сопротивления, т - время релаксации. Это уравнение выведено из баланса энергии стока сЕ/& = П - Ф, где Е = q2/2 - кинетическая энергия стока, П = Gq - мощность, развиваемая силой тяжести при перемещении вод в замыкающий створ, Ф = q2/т - мощность диссипативных сил.
Влагозапас и сток флуктуируют вместе с изменением погодных условий и вследствие неоднородности водосборной территории. В [19] получены распределения вероятностей стока и показа-
но, что в области больших значений имеет место степенной закон распределения
Р (Ч)~ Ч^- (4)
Эту часть полного распределения обычно называют "тяжелым хвостом". Вклад в него вносят экстремальные гидрологические события. Для рек с поверхностным питанием - это половодья и дождевые паводки. Отметим, что тяжелые хвосты распределений характерны для многих экстремальных событий различной природы [28, 36].
Показатель а в законе (4) варьирует для разных рек [3, 11, 12, 21, 36]. В настоящее время эта величина рассматривается как эмпирическая, а ее значения находятся путем статистической обработки временных рядов. Физическая природа этого показателя не ясна.
В данной работе предлагается подход, который включает физически обоснованный вывод уравнения стока. Этот подход позволяет выразить модельные параметры уравнения стока через физические величины, обосновать соотношение (2) между стоком и влагозапасом, а также на основе стохастической динамики найти распределение вероятностей стока и исследовать его поведение в области больших расходов воды.
ДИНАМИКА СТОКА
Основная идея предпринимаемого подхода состоит в раздельном учете крупномасштабных и мелкомасштабных процессов. Сначала строится укрупненная модель, в которой рассматривается пространственно-однородный водосбор. Влагоза-пас и сток с водосбора усреднены за достаточно длительный промежуток времени, превышающий характерное время между последовательными осадками
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.