МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 5 • 2010
УДК 539.3
© 2010 г. Э.Л. АЭРО, А.Н. БУЛЫГИН
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ДЕФОРМИРУЕМЫХ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ ТЕЛ.
ВОЗНИКНОВЕНИЕ НАНО- И МИКРОСТРУКТУР И ИХ УСТОЙЧИВОСТЬ
Развита теория больших деформаций кристаллической решетки в результате обобщения линейных уравнений акустических и оптических мод сложной решетки, состоящей из двух взаимно проникающих подрешеток. В силу предложенного принципа внутренней трансляционной симметрии к взаимному смещению подрешеток на целое число периодов принято, что сила их взаимодействия является нелинейной периодической функцией.
Рассмотрены некоторые решения новых нелинейных уравнений, содержащих два характерных масштаба. Дана классификация всех решений (периодических, растущих, локализованных). Анализ локальной плотности энергии структурной перестройки показал, что ее величина нетривиально зависит от размера (толщины пластины Н). Наличие экстремумов на кривой (исчезающих при больших, макроскопических толщинах) демонстрирует условия устойчивости или неустойчивости микроструктуры пластины в зависимости от ее размера. Это дает критерии возникновения или исчезновения нанокластеров в зависимости от внешних напряжений и условий на ее границах.
Рассмотрены также переходы структуры через точки неустойчивости, в результате которых возникают дефекты (межфазные границы, дислокации, линии скольжения, малоугловые границы), а также доменные структуры и другие неоднородности (дефекты упаковки, кластеры). Рассмотрена проблема эффективных свойств тела с микроструктурой в связи с масштабным уровнем описания.
Ключевые слова: наноструктура, дефекты, домены, плоские границы, бифуркационные переходы, масштабные эффекты, эффективные свойства.
Введение. Механика кристаллической решетки хорошо развита на уровне линейной теории [1—3]. Ее обобщения не распространяются, как правило, за пределы ангармонических приближений. Недостатком этих классических подходов является то, что рассматриваются малые смещения, не выводящие атомы за пределы ячейки. Это ограничение не позволяет описывать кардинальные качественные изменения ее свойств.
В настоящее время этот подход не вполне адекватен новым проблемам, возникающим в задачах формирования и управления структурой новых материалов. Одной из важнейших является проблема создания и деформирования материалов с наноструктурой. Решение этой проблемы требует введения существенно нелинейных моделей и прямого учета глубоких изменений структуры твердого тела.
Универсальный общий подход, берущий свое начало от замечательных работ французских ученых Е. и Ф. Коссера [4], основан на введении в континуальную модель твердого тела внутренних вращательных степеней свободы. Многочисленные попытки ее реализации показали, что в пределах линейной теории действительно предсказываются новые эффекты. Основные новые результаты — появление новых мод опти-
(а)
Ь
• I • I ■ I • I ? И + • + • + • + •
• + • + • + • +
+ • + • + • + • +
• I • I • I • I
0
в
(Ь)
(с)
((
о-о 6-0
Фиг. 1
X
и
0
У
и
ческих колебаний, пространственно-временная дисперсия упругих свойств и приграничные эффекты в статике [5, 6].
Переход к существенно нелинейным уравнениям, как это было показано в [7—12], дает возможность предсказывать глубокие структурные перестройки, понижение потенциальных барьеров, переключение межатомных связей, возникновение сингулярных дефектов и других повреждений, фазовые превращения. Но феноменологическая теория имеет ограничения. Можно, конечно, ввести в теорию внутренние параметры типа микродеформаций, описывающих изменения структуры, и даже рассчитать их. Однако выявить их физический смысл удается, если задано начальное структурное состояние тела, введены материальные масштабы длины и времени. В континуальной теории это не делается.
Оказывается, что совместное решение проблемы дискретности и нелинейности модели позволяет сформулировать новый принцип трансляционной инвариантности энергии. Е. и Ф. Коссера впервые в механике ввели аналогичный принцип для среды с вращательными степенями свободы. В данной работе развивается теория нелинейных микродеформаций в твердых телах, испытывающих кардинальную перестройку кристаллической структуры, которая может быть задана в исходном состоянии. Основное внимание уделено одномерным деформациям трехмерных тел.
1. Общие уравнения. Будем для простоты рассматривать случай двух подрешеток, которые совмещаются (сливаются в одну) сдвигом на постоянный структурный вектор и0, являющийся параметром сложной решетки (фиг. 1, а).
В линейной теории кристаллической решетки [1] получаются два уравнения: для акустических (и) и "оптических" (и) смещений соответственно. Их оправдано рассматривать в качестве макроскопических и микроскопических смещений соответственно. Введение в теорию изменений локальной топологии с помощью внутренних степеней свободы (поля и) оказывается эффективным, если перейти к следующему обобщению линейного приближения. Рассмотрим произвольно большие смещения подрешеток и. В основу построения нелинейной теории положим дополнительный элемент трансляционной симметрии, характерный для сложных решеток, который однако не был введен ранее в физике твердого тела. Очевидно, что смещение одной подрешетки относительно другой на один период (или их целое число) до совмещения этой подрешетки с самой собой снова воспроизводит структуру сложной решетки. Это значит, что ее энергия должна быть периодической функцией относительного
жесткого смещения подрешеток и, то есть функцией, инвариантной к подобной трансляции. Разумеется, сохраняется и классический принцип трансляционной симметрии, приводящий к инвариантности энергии решетки к совместной трансляции и обеих подрешеток на один период сложной решетки.
Введем смещения и центра инерции пары атомов (элементарной ячейки) и относительного их смещения и внутри ячейки (за счет изменения и0) следующим образом:
и = (т^ + ш2и2)/(т + ш2), и = (и! - и2)/а (1.1)
Здесь и и и2 — смещения атомов (с массами т1, т2) первой и второй подрешеток соответственно, а — период подрешеток. Построим вариационные уравнения движения, определяющие поля ?7И(?, х, у, г), «„(?, х, у, г). Исходим из лагранжиана
Ь = (1 /V) |[ 1/2рЬпип + 1/2^ипип - Б]йУ (1.2)
V
где В — энергия деформаций и структурных изменений
Б = (1/V) |[ 1/211ктпи{ 1, к) т, п) + 1/2к1ктпи1, кит, п + (Р - ад,к))ф(иК)]с1У (1.3)
V
Производные по времени обозначены точками сверху, а пространственные производные — запятой в тензорных индексах. Заключение подстрочных индексов в круглые скобки означает симметризацию по ним. Далее введены обозначения для тензорных материальных коэффициентов: макроупругости (к1ктп), микроупругости (ккктп), стрик-ции (як), половины межатомного потенциального барьера или энергии активации межатомных связей (р). Величина Ф(ид) представляет собой периодическую энергию взаимодействия подрешеток, которая будет проанализирована подробно позднее.
Отметим, что все материальные тензоры имеют четный ранг. Это значит, что рассматриваются кристаллы, обладающие центром симметрии, для которых тензоры нечетных рангов обращаются в нуль. Некоторые сходные проблемы были рассмотрены ранее [4, 5]. Случай сред без центра симметрии рассмотрен в работах [4, 6].
Общие вариационные уравнения для полей макро- и микросмещений имеют вид
Ри! = ^1ктпи(к, т) п - Э1п[Ф( иК) ] ,п (1.4)
Ии 1 = к1ктпик, тп - (Р - Э пк^{п, к))дФ/ди1 (1.5)
Первое уравнение полезно переписать в стандартной форме уравнения механики сплошной среды
рии! = СТ^, к (1.6)
введя определение тензора напряжений
®1к = Ктп^т, п) - Э1кФ( иК) (1.7)
Соотношения (1.5)—(1.7) представляют трансляционно инвариантные уравнения динамики двойного континуума. Прежде чем заняться их анализом уточним вид периодической энергии взаимодействия подрешеток Ф.
В общем случае энергия Ф является функцией трех проекций u1 = u ■ k, u2 = u ■ m, u3 = u ■ n вектора u на орты кристаллографических осей (k, m, n). Они инвариантны к точечным преобразованиям общей системы координат. Тогда для вектора силы взаимодействия пары атомов имеют вид
F = дФ/д и = (дФ/ди1) k + (дФ/д u2) m + (дФ/ди3) n (1.8)
В этом общем случае речь должна идти о трояко периодической функции Ф^) при взаимной трансляции подрешеток Бравэ вдоль направлений векторов k, m, n на периоды a1, a2, a3 соответственно. Основная идея состоит в том, чтобы построить скалярную периодическую функцию от простейших поворотных инвариантов uR векторного поля, выбранных в частности в виде
Ur = Ju¡ au (1.9)
Построение конкретной теории требует введения функции Ф в явной форме. Простейшим случаем будет
- -2 -2 -2
uiaikuk], aik = ax k¡k¡ + a2 m¡m¡ + a3 n¡n¡ (1.10)
Здесь aik — тензор обратных периодов решетки (ab a2, a3), а k/ab m/a2, n/a3 — векторы обратной решетки. Очевидно kab ma2, na3 есть векторы решетки Бравэ. Сила взаимодействия соседних атомов
^ дФ дФдuR дuR . i-
Fi = — = т—---— = - sin Ur , Ur = ^Ui aikUk (1.11)
ди¡ диК ди1 ди1
Для кристаллов кубической симметрии (a: = a2 = a3 = a) получим более простые соотношения
-2 2 2 -2 aik = a (kfti + mimi + nini), uR = uiaikui = и a (1.12)
2 2 2 2 / 2 2 2 F¡ = -pLisinuR; uR = (ux + uy + uz)/a, L¡ = u¡/и, и = Л¡ux + uy + uz (1.13)
Очевидно u — абсолютная величина вектора микросмещений, L¡ — его орт. Легко видеть, что обе функции периодичны вдоль направлений k, m, n с периодами a1, a2, a3 соответственно. Поскольку смещение u исчисляется в единицах относительно периода решетки Бравэ (в данном направлении), то периодами этой функции являются целые числа. В частности, если F ^ p sin(2nu), то смещению u = |u | = 1 отвечает переход под-решеток в новое, но кристаллографически эквивалентное (ближайшее) структурное состояние. Но при таком переходе происходит переключение связей и изменение ближайших соседей каждого атома, т.е. изменение локальной топологии.
Перепишем общие уравнения для случая, когда периодическая функция Ф выбрана согласно (1.10) и учитываются соотношения (1.12). Получим
®ik = KmnU(m, n) - Sik( 1 - COS Ur ) (1.14)
■■ , диК . i-
^U i = kikmnUk, mn - P --—Sin Ur , Ur = ^U
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.