ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2004, том 30, № 5, с. 419-433
ПЛАЗМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА
УДК 533.951
НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ КОЛЛЕКТИВНОГО ЧЕРЕНКОВСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПЛОТНОГО РЕЛЯТИВИСТСКОГО ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА С ПЛОТНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ПЛАЗМОЙ
В ВОЛНОВОДЕ
© 2004 г. Ю. В. Бобылев, М. В. Кузелев, А. А. Рухадзе
Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН Поступила в редакцию 02.07.2003 г.
Разработана нелинейная теория неустойчивости плотного прямолинейного релятивистского электронного пучка в плазменном волноводе, развивающаяся в условиях коллективного вынужденного эффекта Черенкова. Рассмотрен случай плотной плазмы, когда возбуждаемая пучком неустойчивая плазменная волна с хорошей точностью является потенциальной. Получены общие релятивистские нелинейные уравнения для описания временной динамики пучково-плазменных неустойчивос-тей с учетом нелинейности плазмы и генерации гармоник начального возмущения. В предположении слабого резонансного взаимодействия волн пучка и плазмы с использованием методов разложения траекторий и импульсов электронов общие уравнения преобразованы к релятивистским уравнениям с кубическими нелинейностями. Получены аналитические решения, определены времена стабилизации неустойчивости и амплитуды нелинейного насыщения. Сравнение аналитических решений с численными решениями общих нелинейных уравнений показало их хорошее согласие. Установлено, что нелинейные процессы, обусловленные релятивизмом пучка, препятствуют хаотизации системы на развитой нелинейной стадии неустойчивости. Напротив, в случае нерелятивистского пучка наблюдается его значительная аномальная нелинейная хаотизация.
1. Известно, что для развития черенковской пучково-плазменной неустойчивости требуется, чтобы плотность плазмы превышала некоторое пороговое значение, определяемое скоростью пучка и геометрией системы. Так, в замагничен-ном плазменном волноводе с пучком малой плотности черенковская неустойчивость может возникнуть только при выполнении неравенства [1]
юр > k2±u2j2 = Q
(1)
где юр - ленгмюровская частота электронов плазмы, и - скорость электронов пучка, у = (1 - и2/с2)-1/2 -релятивистский фактор, а к± - минимальное поперечное волновое число основной плазменной ,Е-волны волновода. При юр, близкой к порогу 00, неустойчивость развивается в длинноволновой области на частоте ю, малой по сравнению с ленг-мюровской частотой юр, а возбуждаемая при этом неустойчивая плазменная волна в случае релятивистской скорости и является сильно непотенциальной. Длинноволновая пучковоплазменная неустойчивость интересна в связи с проблемой создания релятивистских плазменных СВЧ-уси-лителей и генераторов электромагнитных волн [2, 3]. Если же
то неустойчивость смещается в коротковолновую область. Возбуждаемая при этом практически потенциальная плазменная волна имеет частоту, близкую к юр. Коротковолновая пучковоплазменная неустойчивость может представлять интерес для решения проблем эффективного энерговклада в плазменные колебания и нагрева плазмы [4, 5].
В настоящей работе плазма считается плотной, если выполнено сильное неравенство (2). В такой плазме при черенковской пучковой неустойчивости возбуждаются квазипотенциальные плазменные колебания на частоте ю ~ юр. В качестве иллюстрации рассмотрим конкретный лабораторный пример - круглый металлический волновод с радиусом Я = 2 см, в котором находится трубчатая плазма с внутренним радиусом г1 = 0.7 см и внешним радиусом г2 = 1 см; плазма полностью замагничена сильным внешним магнитным полем, направленным вдоль оси волновода. На рис. 1 в зависимости от юр представлена величина
р = ю-ю ю р '
(3)
юр > Qo,
(2)
в которой ю0 - частота одночастичного черенковско-го резонанса между плазменной Е01 волной волновода и пучком, имеющим скорость и = 2.6 х 1010 см/с
419
3*
Р 1.0г
50
100
150 200
юр, 1010 рад/с
Рис. 1. К пояснению понятия "плотная плазма": зависимость относительной частоты одночастичного резонанса Р от ленгмюровской частоты плазмы.
(у = 2). Для данного волновода пороговая частота О0 ~ 1011 рад/с. Из рисунка следует, что плазма с ленгмюровской частой, всего на порядок превышающей это пороговое значение, уже является плотной.
Дисперсия низкочастотной плазменной Е(
01
волны плазменного волновода в сильном магнитном поле определяется из уравнения следующего вида [6]:
ю2 = Ор = ы2р02(х2),
(4)
где х2 = к2 - ю2/с2, С2(%2) - некоторый геометрический фактор, а кг - продольное волновое число. Если плазма неоднородна в поперечном сечении волновода, то функция 02(%2) является трансцендентной и уравнение (4) оказывается достаточно сложным. При решении нелинейной задачи, когда нельзя ввести понятие частоты ю (или продольного волнового числа кг), соотношение (4) является псевдодифференциальным уравнением [7] для определения вектора электромагнитного поля плазменного волновода. Решение подобного уравнения связано с большими математическими трудностями, однако в случае плотной плазмы подобных трудностей нет. Действительно, при выполнении неравенства (2) частота ю ~ юр. При этом с учетом условия черенковского резонанса
ю ~ кги имеем %2 = ю2 /(м2у2), что позволяет переписать неравенство (2) в виде
22 1% I > к±.
(5)
В самом общем виде удается показать [6, 8], что при выполнении последнего неравенства транс-
цендентная функция 02(%2) близка к единице, что следует также из (4) при ю ~ юр. Поэтому уравнение (4) сводится к элементарному алгебраическому соотношению, а соответствующее псевдодифференциальное уравнение переходит в уравнение гармонического осциллятора. Для нас именно в этом заключен основной упрощающий смысл предположения о большой плотности плазмы: часть нелинейной задачи, связанная с расчетом полей и спектров, решается аналитически. Сказанное сохраняет силу и в случае, когда внешнее магнитное поле отсутствует, с той лишь разницей, что в условиях (5) функция 02(%2) близка к 1/2.
2. Рассмотрим эволюцию гармонического начального возмущения, созданного в момент времени г = 0 в волноводе, в котором находятся тонкие в поперечном сечении полностью замагни-ченные плазма и релятивистский электронный пучок. Будем исходить из основных нелинейных уравнений работы [9], которые при условиях (1) и (5) в случае релятивистского электронного пучка принимают вид:
2
а у
йг
р
= -IIX] 1 [8рпРрп + юипРъп\ехр(1иур) - к.с. к
2 | п
п = 1 ^
^ ъ
V1 - VЪ/с
IX] п[§ъпРъп + ю2?пРрп]ехр(туъ) - к.с. к
п = 1 1 '
(6)
йуъ ,
а = ^
Здесь кг - волновое число начального гармонического возмущения, ур(г, у0) = кг2р(г, 20), уъ(г, у0) = = к21ъ(г, г0), у0 = кг2й, 2р(г, 20) и 2ъ(г, 20) - координаты электронов плазмы и пучка, находившихся при г = 0 в точке г0, vъ(г, г0) - скорость электрона пуч-
~2 „ 2 ~2 „ 2 ка, сор = дрюр , соъ = дъюъ, юъ - ленгмюровская частота электронов пучка, 8р и Бъ - площади поперечных сечений плазмы и пучка, gpn - величина, находящаяся в правой части уравнения (4), gЪn -пучковый аналог величины gpn, а дп - параметр, определяющий связь между волнами плазмы и волнами пучка. Система уравнений (6) учитывает нелинейное возбуждение гармоник основного на-
0
чального возмущения - волн с волновыми числами пк1, а п = 1, 2, ... - номер гармоники. Безразмерные амплитуды гармоник плотности плазмы и пучка определяются формулами
2п
= 1 [ ехр(_гпуа)йуо, а = р, Ь. п J
(7)
3. Вводя безразмерные переменные и параметры:
/ =3 й V ь _ и
т = 48ы У г, п = % ——
,р
1
% кги М 2 4ЯыУ-3
% = .-Мо = 2~2 У
(8)
.ы У
с2 Ки
Поясним, что в рамках уравнений (6) и плазма, и пучок описываются нелинейно. Описание это полностью эквивалентно описанию систем заряженных частиц в модели кинетического уравнения Власова. Сами уравнения (6) получены из уравнений Максвелла-Власова известным в плазменной релятивистской СВЧ-электронике методом интегрирования по начальным данным [10].
В случае плотной плазмы, как это следует из разъяснений по поводу дисперсионного уравнения (4), с хорошей точностью для всех гармоник
22 можно положить ярп = юр (и аналогично яЬп = юЬ).
Мы этого не делаем, чтобы не ограничивать общность рассмотрения. Мы не конкретизируем здесь также и параметры связи волн qn. По порядку величины, в случае плотной плазмы, можно
считать, что q1 ~ Б,1 ехр(-2юри_1у-1 |гЬ - гр |), где Б, - площадь поперечного сечения волновода, а |гЬ - Гр| - расстояние между пучком и плазмой в поперечном сечении (считаем, конечно, что |гЬ - гр| Ф 0, иначе экспоненциальный множитель в выражении для q1 обращается в единицу). Если плазма плотная, то параметр q1, в силу неравенства (2), мал; величины qn, п > 2, еще меньше. Малость параметров связи qn является вторым, наряду с требованием высокой плотности плазмы, основным предположением настоящей работы. При qn = 0 система (6) распадается на две независимые части -плазменную и пучковую. Поэтому при малых qn можно говорить о слабом взаимодействии между пучком и плазмой. В плазменной СВЧ-электро-нике этот случай называют взаимодействием в режиме коллективного эффекта Черенкова [2, 3, 6, 8]. Дальнейшая задача заключается в аналитическом решении сложной нелинейной системы (6). Применяться для этого будут предложенные в [11-13] методы разложения траекторий и импульсов электронов (детальное изложение этих методов имеется в [8]). Разложения будут осуществляться вплоть до кубично нелинейных членов. При этом в исходных уравнениях (6) достаточно ограничиться учетом только двух первых гармоник с п = 1, 2.
и представляя координаты электронов пучка в виде
Уь = + у(Уо, г), (9)
преобразуем систему (6) к следующей форме:
»2 3 2 (
й у р = Д
йт2 = _ 2 Ь1п
+
Урп т
&Ь 1
2
юьqn , . й ч +-рп ехр (_гп%т)
.Ь1
ехр (ту„) _ к.с.
йу-1 < 1_11,
йт м
р
(10)
х
. Ьп
йр г
I = _4 Мх
юpqn й ч"
рп + Чр— ррп ехр(гп%т)
ехр (гпу) _ к.сЛ.
Здесь р - импульс электрона пучка, а
2п
рп
= 1 I" ехр(_гпу)йу0 п J
(11)
Следуя далее методам разложения траекторий и импульсов представим ур, у и р в виде:
2
Ур = Уо + ,р(т) + 2 арп(т) ехр (гпуо) + к.с. ],
п = 1
2
У = Уо + ^ь(т) + - аьп(т)ехр(гпуо) + к.с.], (12)
п=1
2
р = 1_ 8(т) + 2 Ап(т)ехр (гпуо) + к.с. ].
Здесь функции ,р(т) и ,Ь(т) описывают изменени
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.