ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 6, 2014
УДК 629.7.023:539.3
© 2014 г. Железнов Л.П., Кабанов В.В., Бойко Д.В.
НЕЛИНЕЙНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНО-ПОДКРЕПЛЕННЫХ ОВАЛЬНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КОМПОЗИТНЫХ ОБОЛОЧЕК ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ И ВНУТРЕННЕМ ДАВЛЕНИИ
Сибирский научно-исследовательский институт авиации им. С.А. Чаплыгина,
г. Новосибирск
Излагается конечно-элементная постановка решения задач устойчивости дискретно-подкрепленных некруговых цилиндрических оболочек, выполненных из композиционного материала, с учетом моментности и нелинейности их докритиче-ского напряженно-деформированного состояния. Используются разработанные авторами конечные элементы оболочки естественной кривизны и балочные элементы подкреплений. Разработан численный алгоритм исследования нелинейного деформирования и устойчивости оболочек. Исследована устойчивость при поперечном изгибе и внутреннем давлении цилиндрической стрингерной композитной оболочки с овальным контуром поперечного сечения. Выявлено влияние внутреннего давления, овальности и нелинейности деформирования, дискретности и неоднородности подкреплений.
Некруговые оболочки, в отличие от круговых, недостаточно исследованы на устойчивость. Большинство решений задач устойчивости некруговых оболочек получено аналитическими методами и, как правило, в линейном приближении без учета моментности и нелинейности докритического состояния оболочек, т.е. в классической постановке.
Рассмотрим дискретно-подкрепленную продольным (стрингерами) и поперечным (шпангоутами) набором некруговую цилиндрическую композитную оболочку, находящуюся под действием неоднородной краевой нагрузки в виде продольной силы N, изгибающего М, крутящего Mк моментов, поперечной силы Q и внутреннего давления q (рис. 1).
Конечный элемент неподкрепленной цилиндрической оболочки. Изложим основные соотношения для конечного элемента неподкрепленной некруговой цилиндрической оболочки, выполненной из композитного материала. В этом случае оболочку можно рассматривать как ортотропную. При выводе основных соотношений воспользуемся разработанным ранее авторами алгоритмом [1].
Разобьем оболочку линиями главных кривизн по образующей на m, а по направляющей — на п частей. Таким образом, оболочку представим набором m х п криволинейных прямоугольных конечных элементов.
Для оболочки используем гипотезу Тимошенко прямой линии. Используя [2, 3], запишем выражения для углов поворотов сечений оболочки
= + ^, ^ = Э2 + = -юя, Э2 = к2( и - Юр), к = 1/Я, (1)
u, x
Рис. 1
где Я — радиус кривизны оболочки, величина переменная; в индексах х, в означают дифференцирование.
Из (1) получаем углы сдвига сечений = 9х — 9Ь уу = 9у — 92.
Используя билинейную аппроксимацию для тангенциальных перемещений и, и и углов сдвига ух, у,, бикубическую аппроксимацию для прогиба и выражения для перемещений элемента оболочки как жесткого целого [1], запишем выражения для полных перемещений точек конечного элемента
и = а1ху + а2х + а3у + а4 + а^у^ + аю У2с,
и = а5ху + а6хе + а7у + а8(у1с + ) - а20х5 + а23с - а24s,
3 3 32 3 3 23 22 2 2 3
w = a9x y + a10x y + a11x y + a12x + a13x y + a14x y + a15x y + a16x + a17xy +
2 3 2 , ч
+ a18xy + a19xy + a20xc + a21y + a22y + a23s + a24c + a6xs + a8(y1s - y2c),
c = cos в, s = sin в, y1 = J^sdp, y2 = -J^cdp,
Vx = a25xy + a26x + a2?y + a28, Vy = a29xy + a30x + a3iy + a32 • В матричной форме (2) имеет вид ii = Pa,
(2)
(3)
где и = {и, и, т, ух, уу}т — вектор перемещений точек срединной поверхности конечного элемента и углов сдвига; а = {аь ..., а32}т — вектор неизвестных коэффициентов полиномов; Р — матрица связи порядка (3 х 32), элементами которой являются множители при коэффициентах а, в функциях (2).
Выражая коэффициенты а, через узловые неизвестные, получаем
a = B 1П,
(4)
где и = и Щ 9Ш 92,, Шху^ Ух^ ир Р Щ 9Р 92Р шхур иЬ uи, Ух^ Ууп)Т -
вектор узловых перемещений, углов поворотов, смешанных производных прогиба и независимых переменных; В — матрица порядка (32 х 32).
Подставляя (4) в (3), получаем зависимость перемещений точек элемента от узловых неизвестных u = PB ^ . В каждом узле имеется восемь неизвестных, так что конечный элемент имеет 32 степени свободы.
Нелинейные соотношения Коши для деформаций и изменений кривизн срединной поверхности оболочки имеют вид e = e¡ + en, где
ei = {ex, 62, Бз, Xi, h, Хз> V* Vyen = {e1£2«. £3«. 0, o, 0, 0, 0}T, 6l = ^
£2 = k2( + Б3 = (Ux + Mp), Xl = C9-^ X2 = k(9y)^ Хз = (9y)x,
Б1« = (wx)2/2, 62n = k2( u - )2/2, £3« = -k2Wx( u - ) •
Соотношения упругости для оболочки согласно [3] имеют вид T = De, где T = |Tb T2, T3, M1, M2, M3, Qx, Q2}T — вектор внутренних усилий, моментов и поперечных сил, D — матрица упругих жесткостей
D
B11 B12 0 0 0 0 0 0
B12 B22 0 0 0 0 0 0
0 0 B33 0 0 0 0 0
0 0 0 D11 D12 0 0 0
0 0 0 D12 D22 0 0 0
0 0 0 0 0 D33 0 0
0 0 0 0 0 0 C11 0
0 0 0 0 0 0 0 C22
В11 = Е1Н/(1 - v1v2), В22 = Е2Н/(1 - v1v2), В12 = v2B11, В33 = ОН, С11 = 5/66%, С22 = 5/6ОН, = Е1Н3/12(1 - v1v2), Б22 = Е2Н3/12(1 - v1v2), Б12 = v2D11, = ОН3/12, E1v2 = Е^, где Е1, Е2, О - модули упругости в направлении осей х и у соответственно и модуль сдвига; v1, v2 - коэффициенты Пуассона; Н - толщина оболочки.
Используя решение [1], запишем выражение для потенциальной энергии конечного элемента оболочки П = Ж - V, где Ж - энергия деформации конечного элемента; V - работа внешних сил. Согласно [1]
Ж = - ЦУеЛ = - Ц(ТТе, + Т\)ds = 2 Ц(е^Бе, + в^Беп + еТпВв, + еТпВеп),
V = Я4 Тцds + ¡RTUkdlk + ^^ uk = { U W' 91' 92> Wxy }J
Конечный элемент подкреплений оболочки. Рассмотрим конечный элемент оболочки, подкрепленный стрингерами (рис. 1). Стрингер выполнен из композитного многослойного материала. В этом случае как и для оболочки для стрингера можно применить гипотезу Тимошенко, учитывая малые размеры стрингера по сравнению с радиусом оболочки. Считаем угол сдвига поперечного сечения стрингера совпадающим с углом сдвига оболочки.
Используя гипотезу плоских сечений, запишем выражения перемещений произвольной точки поперечного сечения стрингера
U = ир + zФ^ V = и. + Z9x + xФz, W = w - хф
s
s
s
s
k
где u , ир, wp — перемещения точек центра тяжести поперечного сечения элемента подкрепления в направлении осей x, у, г; Фх, Фу, Фг — углы поворотов поперечного сечения вокруг осей х, у, z.
Используя [4], записываем выражение для деформаций в произвольной точке поперечного сечения стрингера -р = Ер + хХр + ZXpz, где Ер = (ир)х + 2(Ф2 + Ф22), Хрх = (Фг^
Хрг = (Фх^ Хр = (Фy)x, Фх = Фг = -(ир)х.
Индекс х за скобкой означает дифференцирование.
Выразим перемещения точек центра тяжести элемента стрингера через перемещения точек срединной поверхности оболочки. Учитывая, что для элемента стрингера Фу = 9у, получаем согласно рис. 1 выражения для перемещений центров тяжести стрингера ир = и + ер9у, ир = и + ерЭх, wp = w.
Нормальные и касательные напряжения связаны с осевой и сдвиговой деформациями зависимостями ср = Еер, тр = Оур.
Запишем выражения для усилий, моментов и поперечной силы стрингера Тр = |I1 apds, Ц , Мрг = || , Ох = || , Нр = || ТрР А, где |
М
р — расстояние от
центра тяжести поперечного сечения до произвольной точки поперечного сечения стрингера.
Интегрируя получаем усилия, моменты и поперечную силу
Рр = С Ер, Мрх = СхХрх + Сх;Хр;, Мр; = С;Хр; + Сх;Хрх,
бх = СРр^х, Нр = СкХр. Здесь согласно [3]
С = Е¥, Сх = Е1Х, С; = ВТ7, Сх7 = Е1Х7, Ск = ОТк,
(5)
¥ =
= ||&, Тх = fy2ds, Т; = ^z1ds, Тх; = ||х^, 1к = ||р^-
Запишем (5) в матричной форме Tp = Dpep, где Tp = {Тр, Мрх, Мру, Мрг, Орх}Т,
ep {Ер, Хрх, Хрг, Хр, 9х} ,
°р =
С 0 0 0 0 о Сх Сх; 0 0 0 Сх; С; 0 0 0 0 0 Ск 0 0 0 0 0 ОЙ
Энергия деформации конечного элемента стрингера имеет вид Жр = - Г
2 л
1Трер<Ир.
Алгоритм решения задачи. Запишем вариационное уравнение Лагранжа для элемента подкрепленной оболочки 8П = 8 Ж + 8Жр — 8У = 0, где 8 — знак вариации.
Варьируя по узловым перемещениям конечного элемента, получаем систему нелинейных алгебраических уравнений относительно узловых перемещений конечного элемента. С учетом условия совместности узловых перемещений элементов и гранич-
Л'
Л'
Л'
Л'
Л'
ных условий получаем систему нелинейных алгебраических уравнений относительно узловых перемещений всех конечных элементов оболочки
Ku' - Q = 0, (6)
где K — матрица жесткости оболочки получается суммированием матриц жесткости отдельных конечных элементов с использованием матрицы индексов [5]; Q — вектор обобщенных узловых сил оболочки.
Для решения системы (6) воспользуемся методом Ньютона—Канторовича [6], уравнение которого имеет вид
H(u;)A = Q - G, u;+! = u; + a, (7)
где H — гессиан системы, элементами которого являются элементы второй вариации потенциальной энергии деформации подкрепленной оболочки; G — градиент потенциальной энергии деформации.
Решение системы (7) получаем следующим образом. Задаем небольшое значение параметра нагрузки. За нулевое приближение принимаем решение линейной задачи. Выполняем итерационный процесс, обеспечивающий сходимость решения с заданной точностью. Далее нагрузку увеличиваем. За нулевое приближение берем решение с предыдущего шага по нагрузке. Выполняем итерационный процесс и т.д. На каждой итерации решение системы линейных алгебраических уравнений отыскиваем методом Краута [7] с использованием LTDL разложения матрицы H на диагональную и две треугольные матрицы.
Определив компоненты вектора узловых перемещений u', найдем все компоненты напряженно-деформированного состояния оболочки по приведенным формулам. Критическую нагрузку определяем как предельную по расходимости итерационного процесса при резком возрастании перемещений в отдельных узлах конечно-элементной сетки, или как бифуркационную с использованием энергетического критерия устойчивости, согласно которому равновесное состояние устойчиво, если 82П > 0. Это условие требует положительной определенности гессиана H или положительности всех диагональных элементов матрицы D в LTDL разложении матрицы H. Изменение какого-либо коэффициента матрицы D на противоположный означает потерю устойчивости оболо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.