АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2007, том 53, № 2, с. 185-190
^=НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА =
УДК 534.2
НЕЛИНЕЙНОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА ЗВУКОМ ПРИ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ ВОЛН С КРАТНЫМИ ЧАСТОТАМИ
© 2007 г. А. М. Гаврилов, А. К. Батрин
Таганрогский государственный радиотехнический университет 347928 Ростовская обл., г. Таганрог, ГСП-17А, пер. Некрасовский 44 Тел.: (86344) 37-17-95; 321-483
E-mail: gavr_am@mail.ru Поступила в редакцию 17.11.05 г.
Рассмотрена роль фазозависимых нелинейных процессов при взаимодействии слабой сигнальной волны с интенсивной накачкой, частота которой кратна частоте сигнала. Определены фазовые соотношения, при которых поглощение звука звуком максимально. Показано, что с ростом соотношения частот роль фазозависимого поглощения быстро ослабевает и может не приниматься во внимание.
PACS: 43.25.Cb, 43.25.Lj, 43.30.Lz
Под нелинейным поглощением звука звуком (ПЗЗ) понимается необратимое уменьшение амплитуды (энергии) волны, называемой сигналом, происходящее в результате нелинейного взаимодействия с другой волной в среде распространения. Именно такой механизм поглощения лежит в основе расчета коэффициента затухания в твердых телах, где уменьшение энергии звуковой волны происходит в результате взаимодействия с высокочастотными тепловыми дебаевскими фононами [1]. Другим примером ПЗЗ может служить поглощение звука внешним низкочастотным шумовым полем в жидкостях и газах [2-5]. Примечательно, что поглощение звука за счет вязкости и теплопроводности, описываемое линейными членами уравнений гидродинамики и теплопроводности, можно считать результатом взаимодействия акустического сигнала с шумом, проявляющегося при микроскопических нелинейных процессах перекачки энергии волны в поступательные и внутренние степени свободы молекул. Считается, что именно ПЗЗ может быть одной из причин аномального поглощения звука в океане [2, 5].
Понимание многих особенностей этого процесса может быть найдено при изучении коллине-арного взаимодействия двух плоских регулярных волн. Примером такого рассмотрения являются результаты теоретического и экспериментального исследования [6, 7] нелинейного взаимодействия мощной низкочастотной (юн < юс) накачки
со слабой сигнальной волной < vн), под-
твердившие наличие значительного дополнительного затухания высокочастотного сигнала. Такое поведение сигнальной волны в присутствии накачки является результатом интенсивной
перекачки ее энергии в волны комбинационных частот.
При взаимодействии высокочастотной накачки (юн > юс) и низкочастотного сигнала в бездисперсионной среде эффективность ПЗЗ значительно ослабевает из-за сильного нелинейного затухания самой накачки, происходящего в результате быстрого превращения ее в пилообразную волну благодаря генерации собственных гармоник [8]. Эта закономерность справедлива только в тех случаях, когда не проявляются фазозависимые нелинейные процессы, эффективность и направление проявления которых определяется соотношением начальных фаз взаимодействующих волн. Роль последних в процессе ПЗЗ может быть весьма значительной и многократно превышать вклад фазонезависимых нелинейных процессов. Рассматриваемая ситуация наблюдается, в частности, при выраженном параметрическом взаимодействии (ВПВ), когда частота накачки вдвое превышает частоту сигнала (юн = 2юс) [9-12].
Целью данной работы является анализ роли фазозависимых нелинейных процессов при поглощении звука звуком в случае, когда частоты сигнальной волны и накачки кратны, т.е. ^ = = юн/юс е N где N = 2, 3, 4, ... Особый интерес представляет зависимость этих процессов от величины частотного параметра К
Рассмотрение задачи проведем на основе уравнения простых волн, описывающего взаимодействие плоских волн, распространяющихся в идеальной квадратично-нелинейной среде без дисперсии. Аналогичный подход для аналогичных задач использован в учебном пособии [13] (см. раздел 5.1). Граничное условие (в точке х = 0) за-
пишется в виде суммы колебаний с частотами сигнала юС и накачки юН:
v(t, x = 0) = vCsin(wCt + фс) + + v H sin (ю Ht + фд ),
V(z0, т) = B sin (ют + Vz0) + + sin (N ют + NVz0 + ф0).
Ф(%) = B sin % + sin (N% + ф0).
Ck(z0) = -j J[ exp (jk^(%)) -1 ]x
Xexp(-jk%) d% =
2 n kz.
J exp(jkz0Ф(%))exp(-jk%)d%.
Подставим в (5) выражение (4)
(1)
Ck (z0) = -2j' J exp{ jkz0[ B sin %
+
где vC, vH и фс, фн - начальные амплитуды и фазы колебательной скорости взаимодействующих волн. Для упрощения дальнейшего анализа введем безразмерные параметры: V = v/vH, B = vC/vH, z0 =
= х(ею vH/ c0) = x/x0, где e - параметр нелинейности среды; c0 - скорость звука в невозмущенной среде; т = (t - x/c0) - время в сопровождающей системе координат.
С учетом принятых обозначений для (1) получаем
V (т, z0 = 0) = B sin (ют) + sin (^т + ф0), (2)
где юс = ю; юн = Nю; ф0 = (фс - ^H) - фазовый инвариант бигармонической волны. Для волн малой амплитуды фазовый инвариант не зависит от времени и пройденного расстояния, однозначно характеризуя фазовые соотношения в спектре и форму бигармонической волны. Заметим, что отношение начальных амплитуд сигнала и накачки в выражении (2) является малым параметром, т.е. B < 1.
На расстояниях, предшествующих образованию разрывов в волновом профиле, поведение бигармонической волны описывается решением в виде неявно заданной функции
+ sin (N% + ф 0) ]}exp (-jk%) d%.
Для дальнейшего упрощения полученного выражения используем соотношение
exp(y^sin%) = X Jk(nz0)exp(jk%),
тогда
k = -
x
(3)
Для дальнейшего анализа амплитуды сигнальной волны выполним спектральное разложение решения (3). Для этого перейдем от неявной функции Ф к явной, воспользовавшись новой переменной = ют + г0Ф(£). Тогда
(4)
Частота ю является наименьшим общим кратным для частот сигнала и накачки, поэтому период функции и Ф(£) равен 2п. Для функции с периодом 2п спектр выражается известным соотношением [13, 14]
Ck(z0) = -j X Jp (kBz0) X Js( kz0)
p = - ra s = -ra
П
X exp(jsф0) J exp [j(p + sN- k)%]d%.
Здесь
П
| ехр [/(р + sN- к)£]=
-п
Г2п при р + sN- к = 0; [0 при р + sN- к Ф 0.
Для к-й гармоники в спектре распространяющейся в среде бигармонической волны получаем выражение
Ск^о) = -кТ X ,1р (кВг0) к?0) ехр (/Уф0),
р,у =
р + sN - к = 0
которое применительно к сигнальной волне (к = 1) принимает вид
С (¿0) = У J1-NВ^0)^0)ехр(/уф0).
г0
у = -га
Выразив безразмерную величину г0 через координату г = N¿0, нормированную на расстояние образования разрыва в накачке (хРН), получим
C
(z) = -jN X Ji-snÍb 1 JsNexp(jsф0) (6)
(5)
или в вещественной форме записи
vc(z т) Tr ( т)
= V i( ^т) =
v
1-2NN X J1 - sn(^N) Js( Ni sin (юст + SФo ) .
s = -ra
s=-
Учитывая ограничение 0 < г < 1, накладываемое условием идеальности среды, а также следующие из условия задачи соотношения В < 1, N > 2 и быструю сходимость ряда (6), пределы суммирования можно ограничить. Так, в частности, при N = 2 достаточно учесть члены ряда с 5 = (0; 1), чтобы максимальная погрешность в указанном диапазоне расстояний для В < 0.1 и любых значений ф0 не превышала 10-5:
Vi( z,T) = -
Bz
J 1( y J Jo ( fJ sin (®cT) +
(8)
+ J-11"---- J1 Ы sin(юст + Фо)
Из выражения (8) очевидно, что максимальное ослабление сигнальной волны достигается в случае сдвига фаз между первым и вторым слагаемыми на п, что достигается при условии ф0 = 0. При выполнении этого условия для амплитуды сигнальной волны получаем
vi( -) = 4 Ji С ¥
Jolf) - J 'С 2
sin (юс т).
Для N> 3 в силу быстрой сходимости ряда при В < 1 достаточно рассмотреть сумму при 5 = (0; ±1)
v t ч 2 N
V i( z,T) = -----
J il N ) Jо (NJ sin (Юс т)"
+ J1 - N( n) J1 (N) sin (®cT + Ф 0 )
(9)
В выражениях (8) и (9) первое и второе слагаемые описывают влияние фазонезависимых (Ус) и фа-зозависимых (АУс) нелинейных процессов на амплитуду сигнальной волны
УДг,т) = Ус(г,т) - А Ус(г, т), (10)
причем наличие последних приводит к дополнительному ослаблению при условии
ф0 = 0 для N = 2п, п = 1,2,3,...; фо = п для N = 2п - 1.
Проявление фазонезависимого нелинейного поглощения, обусловленного взаимодействием с накачкой и описываемое первым слагаемым в (9) и (10), показано на примере изменения амплитуды сигнальной волны на рис. 1а для В = 0.1. В основе этого процесса лежит отток энергии в волны комбинационных частот (тюн ± юс). При увеличении N влияние накачки на сигнальную волну быстро ослабевает, что можно рассматривать как снижение энергообмена между ними по мере роста соотношения их частот.
Также быстро уменьшается и дополнительное ослабление сигнальной волны за счет фазозави-
симой добавки AVC с увеличением N, рис. 16. Во всех случаях, кроме N = 2, появление фазозависи-мой добавки происходит с запаздыванием по координате, что объясняется инерционным характером образования спектра N-го порядка, содержащего компоненту с частотой юс. Чем больше N, тем дальше от излучателя (для нормированной на xPH координаты) образуется AVC. Этот процесс аналогичен пространственному запаздыванию генерации высших гармоник гармонической волной конечной амплитуды [14] в силу каскадного характера нелинейных процессов.
Отметим особенности рассматриваемых механизмов нелинейного поглощения:
1. фазонезависимое поглощение начинает проявляться в спектре второго порядка вне зависимости от величины N и является результатом взаимодействия волн комбинационных частот юн ±юс с накачкой;
2. добавка AVC, отвечающая за фазозависимое поглощение, появляется с запаздыванием - на этапе генерации в среде спектра N-го порядка и образуется в результате многократной трансформации спектра вниз по частоте, что в силу правила Мэнли-Роу при (N - 1)-м преобразовании частоты очень быстро понижает ее амплитуду.
Для N > 3 поведение сигнальной волны достаточно точно описывается выражением (7) при 5 = 0:
V1 (Z, T) - уЦВ!)Jo(N)sin(®ст), (11)
в котором отсутствует зависимость от ф0. Погрешность при расчетах по (11) для B < 0.1 и z < 1 не превышает 0.15%.
Параметром, характеризующим ПЗЗ, является нелинейный коэффициент поглощения
®с( z) = асо + ас (Фо) = -
1 d vC (z)
v с
dz
пространственные зависимости которого приведены на рис. 1в. Здесь кривыми 1 и 2 по
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.