МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 5 • 2014
УДК 532.59:537.2
НЕЛИНЕЙНОЕ РЕЗОНАНСНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ТРЕХ КАПИЛЛЯРНО-ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН НА ПЛОСКОЙ ЗАРЯЖЕННОЙ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ
© 2014 г. С. О. ШИРЯЕВА
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова, Ярославль e-mail: shir@uniyar.ac.ru
Поступила в редакцию 30.09.2013 г.
В аналитических расчетах второго порядка малости проанализировано трехволновое взаимодействие капиллярно-гравитационных волн на однородно заряженной свободной поверхности жидкости. Изучена временная эволюция амплитуд волн, находящихся в состоянии нелинейного резонанса. Показано, что количество трехволновых резонансов бесконечно и что их точные положения для волн конечной амплитуды зависят от начальных условий.
Ключевые слова: нелинейные волны, вторичное комбинационное взаимодействие, поверхностный заряд.
Асимптотическое исследование нелинейных периодических капиллярно-гравитационных волн на незаряженной поверхности жидкости началось около века назад [1, 2]. Через полвека был разработан наиболее эффективный метод их анализа, метод разных временных масштабов [3, 4]. В последующие годы началось исследование нелинейных волн и на заряженной поверхности жидкости, направленное на отыскание соли-тонных решений [5—8]. Было изучено влияние вязкости [9], электрического заряда [10] и его релаксации [11], релаксации поверхностно активных веществ [12], стратификации жидкости [13] и тангенциального скачка поля скоростей на границе стратификации [14] на реализацию нелинейного волнового движения и положения внутренних нелинейных резонансов. Тем не менее вопрос о физических закономерностях межволнового обмена энергией в положениях внутренних нелинейных резонансов, как вырожденных, так и вторичных комбинационных, остался не выясненным. Такое положение дел кажется тем более странным, что для сферической капли [15] и цилиндрической струи [16] идеальной несжимаемой электропроводной жидкости эта проблема снята. Исследованию обмена энергией между волнами в положениях внутренних нелинейных резонансов и посвящена эта работа.
Под нелинейным внутренним взаимодействием волн будем иметь в виду взаимодействие волн, определяющих начальную деформацию, и волн с кратно увеличенным волновым числом, возбуждающихся за счет нелинейности уравнений гидродинамики.
1. Постановка задачи. Пусть имеется бесконечно глубокий неограниченный слой несжимаемой идеально проводящей жидкости, характеризующейся массовой плотностью р и коэффициентом поверхностного натяжения свободной поверхности у. В области пространства, не занятой жидкостью, создается однородное электростатическое поле, вектор напряженности которого E0 направлен перпендикулярно невозмущенной плоской поверхности жидкости. Вся система находится в гравитационном поле g.
Введем декартову систему координат, ось ОХ которой направим вертикально вверх, а плоскость z = 0 примем совпадающей со свободной невозмущенной поверхностью жидкости. Пусть в начальный момент времени поверхность жидкости искажена волновым возмущением конечной амплитуды е и ее форма определяется выражением вида: г = ^(х, 0) = е^ Нроъ (к;х); ^ = 1, к, — парциальный вкладу-й волны; Е — счетное
уеН jeS
множество номеров волновых чисел к, определяющих начальную деформацию. Амплитуду е (обезразмеренную на капилллярную постоянную жидкости 5 = ) будем рассматривать в качестве малого параметра задачи. В качестве второго начального условия примем, что в начальный момент времени скорость движения поверхности равняется нулю.
Неявно предполагаем, что на поверхности жидкости существует волновое движение во всем спектре длин волн весьма малой (тепловой) амплитуды с характерной
высотой гребней -л/ к Т / у, где к — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура [17]. При температурах порядка комнатной тепловая амплитуда для всех жидкостей меньше, либо порядка ангстрема. За счет нелинейного резонансного взаимодействия амплитуды некоторых из этих волн могут увеличиваться.
Зададимся целью проследить эволюцию заданного возмущения во времени и проанализировать физические особенности нелинейного резонансного взаимодействия капиллярно-гравитационных волн.
Будем решать задачу в модели потенциального движения жидкости, в рамках которого поле скоростей и (г, г) определяется гидродинамическим потенциалом у (г, г): и(г, ?) = Vy(r, 0 Электрическое поле будем характеризовать электрическим потенциалом Ф (г, г): Е(г, г) = -УФ (г, г). Математическая формулировка задачи в терминах гидродинамического и электрического потенциалов примет вид [10]
Ду(г, г) = 0; Дф(г, г) = 0 (1.1)
д г^(г, г) + 2 (((г, г), Уу(г, г)) = -Р(г, г) - (1.2)
7 : у (х, г, г) ^ 0; г ^да: -УФ(г, г) ^ Е 0 (1.3)
г = % :Ф (г, г) = 0 (1.4)
-д г $ (х, г) + д г У(г, г) -д х^(г, г)д х$ (х, г) = 0 (1.5)
' д (х, г)
р - Раш + ^ (Ф(г, г), УФ(г, г)) + уд
> + (д х^ (х, г))
Л
= 0 (1.6)
t = 0: $ (х,0) = Б X к'00&(к'х); д г $ (х,0) = 0 (1.7)
УеН
где Рагт — атмосферное давление; Р(г, г) — гидродинамическое давление; £ех — диэлектрическая проницаемость внешней среды. В выписанной краевой задаче (1.1) — уравнения Лапласа для искомых потенциалов; (1.2) — интеграл Коши—Лагранжа уравнения Эйлера; (1.3) — условия на плюс-минус бесконечности для гидродинамического и электрического потенциалов; (1.4) — условие эквипотенциальности поверхности жидкости; (1.5) и (1.6) — кинематическое и динамическое граничные условия на свободной поверхности; (1.7) — начальные условия.
Все рассмотрение проведем в безразмерных переменных, в которых р = у = g = 1, сохраняя за всеми безразмерными физическими величинами прежние обозначения.
Масштабы обезразмеривания (отмеченные индексом "*") следующие:
Р* = л/рёУ ~ 268 г/см сек2
и* =
4у VР3ё5 « 0.0044 см/сек; у* = 4У 7Р3ё? « 0.0012 см2/сек
Е* =
^рёу ® 16.4 г1/2/сек см1/2; Ф* = ^/уТРё ~ 4.4 г1/2 см1/2/сек
2. Решение задачи. Представим искомые функции в виде разложений по степеням малого параметра е
полагая их зависящими от разных временных масштабов: Т0 = г, Т = в?. При этом производная по времени будет вычисляться по следующему правилу:
Очевидно, что в силу линейности уравнения Лапласа должны выполняться для функций каждого порядка малости в отдельности
ау1 (г, г) = 0, (г = 1,2), дфу (г,г) = 0, (у = 0,1,2)
Граничные условия на +<» примут следующий вид:
г ^ -да: у (г, г) ^ 0
г : -УФ0 (г) ^ Е0вг, Фу (г,г) ^ 0, (у = 1;2)
Не выписывая краевые задачи различных порядков малости и их решения (это подробно сделано для четырех порядков малости в [10]), подчеркнем, что сама математическая процедура не сложная, стандартная, а детали отыскания решений можно найти в [10]. Решения для формы поверхности ищем в виде
Е, у (х, Т0, Т1) = а у (Т0, Т1) ехр (¡кх) + а у (Т0, Т1) ехр (-¡кх)
где амплитуды а у (Т0, Т1) ищем в виде
ау (Т), Т1) = С (Т) • ехр(-;Т0ю) + С (Т1) • ехр(;Т0ю)
С (Т1, к) = а (Т1, к) ехр [¡Ь (Т1, к)]
где а (Т1, к) и Ь (Т1, к) — вещественные амплитуда и фаза.
Из динамического граничного условия несложно получить эволюционное уравнение для амплитуд а (Т0, к)
где Е0 (г, к) — громоздкая функция неоднородности, явный вид которой для данного изложения не существенен. В первом порядке малости Е0 = 0.
5 (х, г) = 6 ¡51 (х, Т0, Т1) + е2^2 (х, Т0) + 0(Е3) у (г, г) = Б у 1 (г, Т0, Т1) + £ v2 (г, Т0) + 0(£3) Ф (г, г) = Ф0 (г) + 6 Ф1 (г, Т0, Т1) + Е2Ф2 (г, Т0) + 0(Е3)
д г = дт<1 +гдТ1 +0(е2)
дТ0,Т0а (Т0, к ) + ю (к)2 а (Ть к) = /0 (г, к)
Эти волны вступают в резонансное взаимодействие при определенных соотношениях между их частотами и волновыми числами, когда для трех волн р, q, п выполнится одна из двух групп соотношений [18]
кр + kq = кп
кр - kq = кп
При этом можно говорить о вторичном (поскольку обнаруживается лишь в аналитических расчетах второго порядка малости) комбинационном резонансе [19].
3. Трехволновое резонансное взаимодействие. Рассмотрим внутренние нелинейные вторичные комбинационные резонансы трех волн: ю(пк) = ю[(п - т) к] + ю(тк), где п и m — целые числа, причем п > т. Резонансное соотношение для волновых чисел при этом выполняется автоматически. Введем параметр расстройки а, характеризующий величину отклонения соотношения между частотами от точного резонанса. Перепишем соотношение частот в виде ю(пк) = ю[(п - т) к] + ю(тк) - е • а(к, ш). Подчеркнем, что параметр расстройки а зависит от волнового числа k и параметра w (плотности поверхностного заряда), поскольку при варьировании этих параметров изменяются частоты волн, уводя соотношение между ними от положения точного резонанса.
Учитывая явный вид выражений для частот [10]
ю (к) = к3 + к - шк2, ш ^^
4п
и избавляясь в точном резонансном соотношении от радикалов путем двукратного возведения в квадрат, придем к следующему соотношению между волновыми числами k, параметром w и номерами п и m
>(к) = V к3 + к - wk2, w = fs^íl, ю(пк) = ^^W~ñk}
к4m (п - m) [9п2 - 4m (п - m)] - 4k2[(n - m) + да2] + 4 = = 4wnk[2k2 (n - m)m -1]
Видно, что при фиксированных n, m и w положения резонансов по переменной k изменяются непрерывно в связи с непрерывным изменением величины. Другими словами, количество внутренних нелинейных вторичных комбинационных резонансов между капиллярно-гравитационными волнами бесконечно.
Для изучения трехволнового вторичного комбинационного резонанса общего вида ю (пк) = ю[(п - m) к] + ю (mk) запишем эволюционные уравнения для амплитуд каждой из взаимодействующих волн. Выделяя в условиях исключения из этих уравнений се-кулярных слагаемых вещественную и мнимую части, получим систему из шести дифференциальных уравнений
2ю ( mk) a (T, mk) [b (71, mk)] + a (71, пк) a [71, (п — m) k] x
x di [пк, ( п — m) k] cos {71c + b (71, пк) — b (71, mk) — b [71, (п — m) k]} = 0
2ю (mk) 571 [a (71, mk)] - a (71, пк) a [71, (п - m) k] d2 [пк, (п - m) к] x
x sin (71c + b (71, пк) - b (71, mk) - b [71, (п - m) к]} = 0
2ю[(п - m) к] a [71, (п - m) к] д? {b [71, (п - m) к]} + a (71, пк) a (71,mk) x
x d2 (пк, mk) cos {71c + b (71, пк) - b (71, mk) - b [71, (п - m) к]} = 0
2ю[(п - m) к] 57 {a [71, (п - m) к]} - a (71, пк) a (71, mk) x
x d2 (пк, mk) sin (71c + b (71, пк) - b (71
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.