АКУСТИЧЕСКИМ ЖУРНАЛ, 2010, том 56, № 2, с. 172-178
НЕЛИНЕЙНАЯ ^^^^^^^^^^^^^^ АКУСТИКА
УДК 537.548
НЕЛИНЕЙНОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С МИКРО- И НАНОМАСШТАБНЫМИ ДЕФЕКТАМИ И ОСОБЕННОСТИ ЕЕ МАКРОСКОПИЧЕСКИХ ПРОЯВЛЕНИЙ
© 2010 г. О. В. Руденко, А. И. Коробов, М. Ю. Изосимова
Физический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова,
119991 Москва, Ленинские горы E-mail: akor@acs465a.phys.msu.ru Поступила в редакцию 30.06.09 г
Обсужден смысл измеряемых в эксперименте нелинейных параметров среды. Подчеркнут различный смысл локальной нелинейности, измеряемой в окрестности дефекта и зависящей от размеров области усреднения, и эффективной объемной нелинейности среды, содержащей множество дефектов. Рассчитана локальная нелинейность при вершине трещины, убывающая с увеличением области, излучающей вторую гармонику. Рассчитана объемная нелинейность твердого тела, содержащего сферические полости. Рассчитана объемная нелинейность среды, содержащая бесконечно тонкие трещины в виде круглых дисков, принимающих при раскрытии эллипсоидальную форму. В расчетах нелинейного акустического параметра использованы классические точные результаты теории трещин.
Установлено, что дефекты надмолекулярной структуры твердых тел приводят к появлению так называемой структурной нелинейности, которая может на 2—3 порядка превышать обычные нелинейности — физическую и геометрическую [1—5]. Однако до сих пор нет общепринятого определения количественных характеристик структурной нелинейности, таких, каким является нелинейный акустический параметр для бегущих волн [6, 7]. Многочисленные эксперименты указывают лишь на тенденцию, не позволяя сравнивать результаты количественно. Однако понимание того, что измеряется в том или ином эксперименте, может создать основу для интерпретации количественных данных, необходимых, в первую очередь, для нелинейной акустической диагностики. Ниже изложена точка зрения авторов относительно путей решения этой проблемы.
Описания надмолекулярных объектов, обнаруживающих нелинейное поведение, приведены во многих статьях и обзорах (смотри, например, [1—5, 8]). Для конкретности ограничимся здесь рассмотрением твердотельной среды, содержащей дефекты в виде трещин. Известно, что острый край трещины является концентратором напряжений [9]. Если вдали от трещины механическое напряжение равно т, то вблизи края оно порядка [10]
т* = т(1 + О), О = ъД/70. (1)
Здесь 21 — длина трещины, г0 — радиус кривизны ее края. Если длина трещины 1 мм, а радиус кри-
визны — 1 нм (порядка нескольких межатомных
расстояний), то коэффициент усиления О ~ 103. Это означает, что сравнительно слабые акустические колебания а (г) в окрестности трещины могут усилиться настолько, что нелинейные эффекты, описываемые функцией т*(г) (это, прежде всего, генерация высших гармоник) станут весьма заметными. Поскольку напряжения при удалении от вершины уменьшаются от значения т*( г) до значения т( г), соответствующего однородной среде т.е. коэффициент О убывает, проявления нелинейных свойств также будут ослабевать. Это означает, что количественная характеристика нелинейности в присутствии одной трещины должна зависеть от координат. Однако локальные измерения на масштабах порядка нанометров можно провести лишь на поверхности — с помощью туннельных или атомных силовых микроскопов. В объеме среды, где находится трещина, это сделать очень сложно. Поэтому нужно понять, к каким макроскопическим проявлениям, наблюдаемым в ультразвуковых экспериментах, может привести нелинейность, рожденная нано- и мик-ронеоднородностями среды.
Пусть зависимость напряжения т от деформации е описывается функцией
= ф(4 (2)
То ^
имеющей линейный участок при малых е/е0, который отвечает закону Гука. В реальных средах
обычно следует учесть наследственные свойства, релаксацию и гистерезис [1—2], однако для простоты зависимость (2) здесь считается алгебраической. Константы т0, ео соответствуют характерным значениям напряжения и деформации в зависимости (2) и служат для нормировки. Из формулы (2) следует
^ (1 + О)
.То
Считая, что напряжение вдали от трещины мало и лежит на линейном участке кривой (2), придем к формуле
— = ± (1 + О) = Ф| — I, — = Ф-
То То Vео) ео
е* „ч-1
— = Ф 1
Е (1 + О )• е То
(3)
е*
ехр
41 + О )■
-1.
(4)
Пусть деформация, вызванная акустической волной, вдали от трещины изменяется во времени по гармоническому закону е = А1ео8(®0. Тогда выражение (4) удается разложить в ряд по гармоникам:
- - I
- — I о
ео
да
л (1 + О )• а
1_То
-1 +
+2£ I,
п=1
-(1 + О )• А
еos(яюt).
Здесь 1п — модифицированные функции Бесселя. Амплитуда второй гармоники, наиболее часто измеряемая в экспериментах, равна
А = 212
Е (1 + О )• А
|_То
(5)
Для слабой нелинейности, когда аргумент функции Бесселя в формуле (5) мал, справедлива приближенная формула
А
2 _ ео
л
2то
(1 + О )• А1
(6)
Логично определить нелинейный параметр локальной нелинейности бо, рассмотрев зависимость (6) вдали от трещины, где О = о. При этом
6 о =
4А = £о Е 2
А12
2 То
(7)
Коэффициент концентрации напряжений зависит от координат. Совместим ось цилиндрической системы координат с линией фронта трещины, а зависимостью от полярного угла при качественном анализе пренебрежем. При этом [10]
О = 241/г ,
(8)
где г > Го — радиальная координата. Поскольку измерение гармоники проводят датчиком конечных размеров, получают обычно усредненные данные
где Е — модуль Юнга. Формула (3) дает нелинейную зависимость деформации е* вблизи трещины от деформации е вдали от нее.
Для проведения расчетов и оценок конкретизируем зависимость (2) с помощью функции
Ф(х) = 1п(1 + х), Ф-1(х) = ехр(х) - 1, в общих чертах правильно описывающей тенденции в поведении нелинейных свойств. При этом формула (3) приобретает вид
22. —
ЕА1
V 2то у
(1 + О )2
(9)
Вычислим среднее по некоторому объему с характерным размером Я, обозначенное в (9) чертой сверху:
(1 + О)2 = 2
т>2 2
Я - Го
гёг-
(10)
Подставляя (10) в (9), найдем выражение для нелинейного параметра, определенного формулой (7):
£ = £о
, + Го
1 +Я + ^ _
3 (Я + Го) ((Я + у1гь)' я
+
8/
+ Го
(11)
Как видно, величина нелинейности зависит от размера области усреднения, производимого при измерении амплитуды второй гармоники. Если этот размер минимален, Я = Го, из (11) получается максимальное значение
е = е о
1 + 2. —
о/
Вдали от вершины трещины, при Я » Го, величина нелинейного параметра е (11) с ростом расстояния Я уменьшается и стремится к бо (7).
Измерения высокой локальной нелинейности в окрестности одиночной трещины проведены в работах [11, 12].
Другая ситуация возникает в том случае, когда в образце имеется много трещин и нужно оценить их суммарный вклад в увеличение нелинейности среды. Очевидно, при этом нужно найти амплитуду второй гармоники, излучаемой всеми тре-
е
е
е
е
щинами в единице объема среды. Иными словами, нужно проинтегрировать выражение (9) по объему, малому по сравнению с длиной волны, и отнести к величине этого объема:
п —
EA1
V 2то J
1 i('+®
dV.
(12)
Когда трещин нет и О = 0, из формулы (12) получается прежнее выражение (7) для нелинейного параметра б0 однородной среды. При наличии ансамбля трещин
_ 4A _ _ ><2 _ Ai
)(l + п( + G2 )dv). (13)
Tik =
0 l 0 с Tik 3 T11aik
((
■ ткпп
i+5a -in,
7 - 5ct \r 2 о \ 15
"зT H)
—3—(Го)
7 - 5a\r!
о 1 о \ 15
T 1тППтППк T 11ППк ) _ ч
3 /2(7 - 5a)\r
\2
a -
10
, i о s 1 о2 \ 15
+ \(lmn1nmOik - — T11®ik))-5^
-5+7 i 1 - 2a-((
1 о
3T11
1 ( 2\r
(aik - 3nnk)
В формуле (13) n — число трещин в единице объема, а интегрирование ведется по области пространства, в которой возникают напряжения от одной трещины. Предполагается, что трещин не очень много и они слабо влияют друг на друга.
Трудности предложенного подхода состоят в том, что известные координатные зависимости коэффициента концентрации напряжений типа (8) справедливы лишь вблизи трещины. При подстановке этих зависимостей в формулу (13) получаются расходящиеся интегралы. Тем не менее, известен один пример, для которого описанная выше схема расчета может быть реализована полностью. Этот случай соответствует полостям сферической формы. Разумеется, концентрация напряжений вблизи сферической полости гораздо меньше, чем вблизи трещины с острым краем, но полученный для сфер результат иллюстрирует идею и может послужить основой для качественных обобщений.
Итак, в основе дальнейших расчетов лежит решение задачи о напряжениях, возникающих в твердом теле при наличии в ней сферической полости (рис. 1). Считаем, что вдали от полости на-
0
пряжение есть Tik, а полное напряжение в присутствии полости равно Tik. Вектор n направлен из центра сферы в точку наблюдения, го — радиус сферы, a — коэффициент Пуассона окружающей среды. Решение задачи, полученное Р. Саусвел-лом (R. Southwell) и Дж. Гудьером (J. Goodier) и частично отраженное в книгах [13, 14], имеет довольно громоздкий вид:
Пусть среда подвергается однородной деформации, как показано на рис. 1, и вдали от полости отлична от нуля только одна компонента тензора
деформации т °zz. Тогда, полагая i = k = z, nz = cos 0, на поверхности сферы r = го имеем
15
7 - 5 ст
о .2. Тzz sln 1
sin U -
1 + 5ст'
1о J
(15)
Видно, что напряжение на сфере равно нулю вдоль направления приложения силы — оси г, т.е. при 8 = 0, и максимально в поперечном направлении. При 9 = п / 2 оно равно
= 3 (9 - 5a) т о 2(7 - 5a) zz
(16)
Формула (16) совпадает с результатом, приведенным в книге [14] (см. последнюю формулу задачи 12, §7). Распределение напряжений (15) в зависимости от азимутального угла показано на рис. 1, где области большего напряжения соответствует более светлая область контурного графика. Усиление напряжений, согласно (16), для сферической полости невелико; например, для меди
(ст = 0.35) тгг/т« 2.1. Оно значительно меньше, чем для трещины с острым краем (1).
Для произвольных расстояний от центра сферы из решения (14) следует:
= 1 + G,
(17)
_ (4 - 5a) + 3(11 + 5a)cos20 - 75cos
4л/ \3
G = v. ^ „ ^ +
+
2(7 - 5a) 3(3 - 3!cos2 0 + 35cos4 б)
(18)
2
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.