МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 4 • 2014
УДК 533/6:01:534.13:534.6
© 2014 г. К. Н. ВИШЕРАТИН, М. В. КАЛАШНИК
НЕЛИНЕЙНЫЕ АКУСТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ В ЗАКРУЧЕННЫХ
ГАЗОВЫХ ПОТОКАХ
Построен класс точных решений уравнений газовой динамики с линейной зависимостью компонент скорости от координат и функциональным произволом в распределении плотности (энтропии). С использованием этого класса изучены характеристики акустических колебаний, возникающих при отклонениях закрученного газового потока от стационарного режима цикло-строфического равновесия — равновесия между градиентом давления и центробежной силой. Получено выражение для основной частоты колебаний, согласующееся с измерениями.
Ключевые слова: газовая динамика, закрученный поток, изэнтропические течения, акустические колебания, трубки Ранка.
В механике сжимаемых сплошных сред традиционно исследуются звуковые колебания малой амплитуды, ударные и нелинейные акустические волны. Начиная с основополагающих работ Рэлея, Римана, Ирншоу, этим явлениям посвящена обширная литература [1—4]. Менее полно изучены нелинейные акустические колебания в закрученных газовых потоках. Подобные колебания, в частности, наблюдаются в потоках, создаваемых в разнообразных вихревых газодинамических устройствах, предназначенных для получения холода (трубках Ранка, вихревых камерах) [5—9]. Работа этих устройств сопровождается интенсивным акустическим шумом (свистом). Еще один пример — инфразвуковые колебания, регистрируемые при прохождении атмосферных смерчей (торнадо) [10, 11].
С целью изучения акустических колебаний в настоящей работе строится класс точных решений уравнений газовой динамики с линейной зависимостью от координат для компонент скорости и функциональным произволом в распределении плотности (энтропии). Решения данного класса описывают спирально-винтовые течения в при-осевой зоне вихря и зависят от двух функций, имеющих смысл лагранжевых координат жидких частиц. Эти функции удовлетворяют системе нелинейных дифференциальных уравнений, которая анализируется в работе.
1. Класс точных решений уравнений газовой динамики с функциональным произволом. Движения идеального политропного газа описываются системой уравнений [3, 4]
— + (и, У)и = -1УР, + сНу(р и) = 0, ^ + иУ. = 0 (.1)
дг р дг дг
где и — вектор скорости, р — плотность, Р — давление, . = су 1п(Р/ру) — энтропия единицы массы, у = сР / су — отношение теплоемкостей при постоянных давлении и объеме соответственно (для воздуха у = 7/5). Температура газа определяется из уравнения
состояния Т = Р/(ср - Су )р. Вместо энтропии 5 часто используется величина 0 = Р/ру.
Для осесимметричных движений в цилиндрических координатах г, ф, £ безразмерная форма системы (1.1) примет вид
du _ и_ + 1др _ о dw + 1др _ о (12)
dt r Хр дг dt Хр dz
dv + uu = 0, dP + i d(rup) + d(pw) = 0 d§ = 0 0 = P (1 3)
dt r dt r dr dz dt pY
d = d + ud + wP dt dt dr dz.
u, и, w — соответственно радиальная, тангенциальная и осевая компоненты скорости, X = у M2, M = V/с — число Маха, с = -у/у P0/р0 — скорость звука. Безразмерные температура и давление определяются соотношениями T = 9рY 1, P = 9рY. В качестве масштабов переменных r, t, p, P и компонент скорости приняты соответственно L, L/V, р0, P0, V, где V, L — характерные значения скорости и ее горизонтального масштаба, р0, P0 — постоянные (отсчетные) значения плотности и давления. Система (1.2), (1.3) имеет стационарное решение: u = w = 0,
U_ = -L dP (1.4)
r Xp dr
описывающее закрученный газовый поток в состоянии циклострофического равновесия. Для изучения колебаний в окрестности этого состояния используется построенный ниже класс точных решений системы (1.2), (1.3) с линейной зависимостью компонент скорости от координат. Такая зависимость характерна для приосевой части вихря, где имеет место твердотельное вращение.
Представим распределения радиальной и осевой компонент скорости в виде
u = Лф/ь, w = Z'(t)z0, r0 = R(t)-1r, z 0 = Z (t)-1 z (1.5)
где R(t), Z(t) — некоторые функции времени и штрихом обозначена производная по t. Для распределений (1.5) общее решение уравнений (1.3) имеет вид
и = R(t )-1и o(r), z 0), e = 90(r0, z 0), Р = R(t)-2Z(t)-1p0(r0, z0) (1.6)
где u0, 90, p0 — произвольные дифференцируемые функции. Решение (1.6) для плотности получено интегрированием уравнения неразрывности p = p0(r0, z 0)exp(-j divudt ) с учетом явного выражения для дивергенции поля (1.5).
Подстановка выражений (1.5), (1.6) в уравнения (1.2) приводит к соотношениям
rQÉ\t) --L- "1 + —pi—,—L A. O0PY ) = 0 0 W Л (t) r0 R 2 (t)ZY-1(t) Яр 5rg 0
z 0 Z"(t) + 1 y (90P0) = 0
R2y 2(t)ZY(t) ^P0 dz0
которые удовлетворяются, если u0 = r0 и выполнены соотношения
(00Рс!) = b 2r0P0, (00Рс!) =-я 2z0P0 (17)
X dr0 X dz0
где a, b — произвольные постоянные. При выполнении (1.7) функции R(t), Z(t) удовлетворяют системе обыкновенных дифференциальных уравнений
1 h2 2 R"-Л +—-Т = 0, Z - —a— = 0 (1.8)
R R YZY-1 R 2y-2ZY
описывающей нелинейные акустические колебания в закрученном потоке.
Исключение из соотношений (1.7) 90 путем перекрестного дифференцирования приводит к уравнению в частных производных первого порядка
,2 дро , 2 дро п /1 пч
h + azо^- = 0 (1.9)
dz о дго
с общим решением
Ро = F©, \ = h\2 - a2Zo2 (1.10)
где F © — произвольная функция. Для распределения энтропии при этом из (1.7) следует
9о =p-Y (C + о.5Х{ро©^) (1.11)
где С — константа интегрирования. Выражения (1.5), (1.6), (1.10), (1.11) совместно с уравнениями (1.8) дают класс точных решений системы (1.2), (1.3) с функциональным произволом в распределении плотности (энтропии).
Далее для определенности, рассматривается случай изэнтропических движений
9о = 1. В этом случае из (1.11) следует dp¡) /d Е, = о.5Хро. Интегрирование последнего
у-1 2
уравнения с условием ро(о) = 1 дает ро = 1 + о.5М (у -1)Е,. Таким образом, в изэнтро-пическом случае распределение плотности имеет вид
р = R(t)-2Z(t)-*(1 + о.5М2(у - ОД1/(у-1) (1.12)
распределение температуры квадратично по координатам
T = рY-1 = R(t)2-2уZ(t)1-Y(1 + о.5М2(у - 1© (1.13)
Давление определяется соотношением P = рY, тангенциальная скорость и = R(t) 1го линейно зависит от радиуса.
Функции R(t), Z(t) в изэнтропическом случае также удовлетворяют системе уравнений (1.8). К этой системе присоединяются начальные условия До) = Z(G) = 1, R(0) = в, Z(0) = а. При таких условиях значения безразмерных температуры и плотности при г = z = t = о равны единице. Параметры а, Р характеризуют соответственно амплитуды начальных осевого и радиального потоков: w = az, и = Рг.
Система (1.8) представляется в лагранжевой или гамильтоновой формах. Лагранже-ва форма имеет вид
d дL^ дL^ _ о d dLíe дLíe _ о
dt dR dR ~ ' dt dZ' dZ ~
где лагранжиан L* = a 2 R '2 - о .5b 2Z '2 - a 2 R ~2 + (y- 1)-1a 2h 2R 2~2yZ . Из этой записи следует закон сохранения "энергии" dE/dt = о, E = Rdbe/dR + Zdbe/dZ - L*, или
E = a 2 R '2 - о.5Ь 2 Z '2 + a 2 R "2 - (y- 1)-1a 2h 2 R 2-2y Z(1.14)
2. Радиальные колебания. Газодинамический вариант задачи Кеплера. Рассматривается случай a = а = о, когда отсутствует зависимость от осевой координаты z и составля-
ющая скорости w = 0. В этом случае = 1 и система (1.8) сводится к одному уравнению
Я" -Л + = 0 (2.1)
я3 я2''-1
с начальными условиями Я(0) = 1, Я '(0) = р. Соответствующее точное решение системы (1.2), (1.3)
и = Я '(Ого, и = Я(ггЧ, р = Я(0~2(1 + 0.5М2(у- 1)Ь2г02)1/(у-1) (2.2)
описывает радиальные колебания в закрученном потоке с твердотельным вращением. Это решение можно получить и непосредственно, рассматривая одномерный вариант системы (1.2), (1.3) для изэнтропических движений, зависящих только от времени и г [10]. При у = 2 данный вариант сводится к уравнениям теории мелкой воды [1, 4].
При всех у ф 2 уравнение (2.1) имеет стационарное решение (положение равновесия) Я = Я* = Ь1/(у_2), которое отвечает состоянию циклострофического равновесия (1.4). Входящий в (2.1) безразмерный параметр Ь2 представляет собой отношение градиента давления (правая часть (1.4)) к центробежной силе в начальный момент времени t = 0. Этот параметр характеризует степень отклонения начального состояния от состояния равновесия. Значение Ь2 = 1 соответствует ситуации с начальным равновесным состоянием, на которое наложен радиальный поток и = р г. Если Ь2 Ф 1, в начальный момент циклострофическое равновесие нарушено.
Формально математически уравнение (2.1) совпадает с уравнением, описывающим движение частицы единичной массы в центральном поле с эффективным потенциалом и(Я) [12]
Я" + = 0, U(R) = -Ц- -d (2.3)
dR 2R2 Як
где d = b 2/2(у - 1), к = 2(у -1) (эффективный потенциал есть сумма центробежного потенциала 1/2R2 и потенциала силы). Значение к = 1 (у = 3/2), в частности, отвечает знаменитой задаче Кеплера о движении в гравитационном или кулоновском поле [12, 13]. Из закона сохранения энергии для уравнения (2.1)
E(t) = 0.5R'2 + U(Я) = const, E(0) = 0.5р2 + 0.5 - d
(редуцированная форма (1.14)), вытекает неявная формула для решения t = = JdR/V^E - U(R)). Характер поведения решения определяется структурой потенциала U(R), которая зависит от у. При 1 < у < 2 (газы) в положении равновесия R потенциал имеет минимум, при у > 2 — максимум, при у = 2 — экстремума нет (фиг. 1). В физически наиболее важном случае 1 < у < 2 значение потенциала U(R) в точке
минимума Umin = 0.5(у - 2)R* /(у - 1) < 0. Как и в задаче Кеплера [12], при r ^ 0 график потенциала U(R) ^ ж, а при r ^ да приближается к нулю со стороны отрицательных значений. Отсюда следует, что при E(0) < 0, т.е. выполнении условия
b2 > (у-1)(1 + Р2) (2.4)
0.4 Щ(К) 0
-0.4
-0.8
0 2 4 К
Фиг. 1. Графики потенциала и (Я) для значений у < 2, у = 2, у> 2 (1—3)
решение финитное (периодическое): Ят;п < Я(г) < Ятах, где , Ятах (точки поворота) — корни уравнения V (Я) = Е. Финитным решениям отвечают колебания с пери-
Ятах
одом г* = — V(Я)). При Е > 0 решение инфинитно: Я(г) ^ го при г ^ да.
Ятт
Условие существования колебаний (2.4) допускает интерпретацию в терминах баланса сил — направленной к оси вихря силы градиента давления -р VР и направленной от оси центро
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.