АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 4, с. 368-375
НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА
УДК 534.222
НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ИНТЕНСИВНЫХ ВОЛН В СРЕДАХ ТИПА БИОТКАНЕЙ И ГЕОСТРУКТУР СО СЛОЖНОЙ ВНУТРЕННЕЙ ДИНАМИКОЙ
РЕЛАКСАЦИОННОГО ТИПА © 2014 г. О. В. Руденко1, 2, 3, 4, 5
1Физический факультет Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова 2Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского 3Институт общей физики им. А.М. Прохорова РАН 4Институт физики Земли им. О.Ю. Шмидта РАН 5Blekinge Institute of Technology, 37179Karlskrona, Sweden E-mail: rudenko@acs366.phys.msu.ru; oru@bth.se Поступила в редакцию 26.02.2014 г.
Изложена универсальная схема конструирования нелинейных интегро-дифференциальных моделей для описания интенсивных волн в средах со сложной внутренней динамикой релаксационного типа. Приведены примеры таких сред. Описаны различные формы ядер. Указаны случаи, в которых модели могут быть упрощены путем их сведения к дифференциальным или дифференциально-разностным уравнениям с частными производными. Получены интегральные соотношения для количества движения и энергии, переносимых волной. Найдены точные решения. Использован метод отображений для получения приближенных решений и анализа решений в виде разностных соотношений.
Ключевые слова: нелинейность, интегро-дифференциальные уравнения, релаксация, ядро, поглощение, дисперсия, точное решение, ударная волна.
DOI: 10.7868/S0320791914040169
ВВЕДЕНИЕ
Процесс распространения волны можно рассматривать как причину модуляции во времени и в пространстве внешних термодинамических параметров среды. Одновременно возмущаются и равновесные значения внутренних параметров. Волна при этом теряет часть своей энергии на возбуждение внутренних "степеней свободы" [1]. Неравновесные процессы приближения к новому равновесному состоянию происходят с собственными характерными временами, отличными, вообще говоря, от времен изменения внешнего акустического поля. Поэтому энергия, помимо потерь на внутреннее трение, возвращается в волну с задержкой по фазе, что изменяет скорость распространения волны и дополнительно ослабляет ее. Нелинейность обычно приводит к рождению новых частот волнового спектра, и картина взаимодействия волновых и внутренних движений среды становится еще более сложной.
Первые работы по нелинейным волнам в ре-лаксирующих средах принадлежат Поляковой, Солуяну и Хохлову [2—4]. Первые численные расчеты проведены Лапшиным и его коллегами —
математиками школы Бахвалова; результаты опубликованы в [5].
В этих работах, следуя теории второй вязкости Мандельштама—Леонтовича (см. [1]), рассматривалась релаксационная кинетика приближения единственной "степени свободы" ^ к своему равновесному значению происходящего с характерным временем 10:
dq _ dt
0
t0 '
(1)
Используя кинетическое уравнение (1), с учетом малых нелинейных членов в уравнениях гидродинамики, удалось получить связь между приращениями давленияр и плотности р следующего вида (см. формулу (8) [3] или [6]):
d +1
dt t0
Р =
d +
dt t
i] (p + (E- 1)p2)- ^ P. (2)
0 J t0
Здесь m = (c2 - c0 )/
c2 -
сила релаксации , ха-
рактеризуемая разностью квадратов высокоча-
„ 2 „ 2 стотной и низкочастотной с0 скоростей звука.
В работе [7] (см. формулу (2) [7] или [6]) было по-
казано, что дифференциальную связь (2) можно представить в интегральной форме:
= dр + (е- 1)р2 -m0 Jр(f)
exp
t -1'
dt'. (3)
I 0 V
—да
Подстановка этой связи в уравнения гидродинамики позволяет получить для описания эволюции волновых пучков следующее интегро-диф-ференциальное уравнение ([8], формула (1)):
д_
дт
др dz'
с0р0 5т
b
д2р
2со3р о 5т2
m д Гд р 2c0 дт дт'
exp
т - т
d т'
о У
(4)
* а
Здесь е, Ь — нелинейный и диссипативный параметры среды, г — координата вдоль оси пучка, А ± — лапласиан по поперечным координатам, т = I - (г/с0) — время в системе координат, сопровождающей волну.
В [6] обращено внимание на необходимость замены для сред с дисперсией обычных степенных разложений (например, возмущения плотности в ряд по степеням возмущения давления) более общими функциональными рядами типа Вольтера—Фреше. Это хорошо известный факт для механики наследственных сред и нелинейной оптики, однако в нелинейной акустике соответствующие уравнения не использовались. Подробный обзор проблем, связанных с переходом к функциональным "определяющим соотношениям" от обычных алгебраических "уравнений состояния", дан в лекции [9], а также кратко обсужден в [10].
В общем случае частотная зависимость появляется как у линейных, так и у нелинейных модулей упругости. В акустике и нелинейность, и линейную дисперсию почти всегда можно считать слабыми, поэтому дисперсия нелинейных модулей — эффект более высокого порядка малости [6]. С учетом этого обстоятельства мы предложили нелинейные члены не менять, а экспоненциальное ядро ехр ?0) в уравнениях типа (4) заменить ядром более общего вида К (%/?0) (см. также исторический обзор [11]). Возможны иные формы ядер для другой внутренней кинетики, когда процесс приближения к термодинамическому равновесию не является релаксационным или однородным во времени. Такие случаи рассмотрены ниже.
За прошедшие 40 лет уравнения типа (4) много раз применялись для решения конкретных задач. Интерес к таким моделям заметно вырос в последние годы, особенно в связи с использованием интенсивных волн в биологических тканях и исследованием нелинейностей геофизических сред (см., например, [12—19]). Однако математиче-
ский аппарат, основанный на нелинейных инте-гро-дифференциальных уравнениях, до сих пор считается среди акустиков некоторой экзотикой. Возможно, это связано со сложностью аналитического решения таких уравнений. Методами теории групп показано, что они небогаты симметриями, и, следовательно, число физически интересных точных решений весьма ограничено [20].
С другой стороны, согласно данным Web of Knowledge "Research Fronts 2013: 100 Top Ranked Specialties in the Sciences and Social Sciences", направление "Boundary value problems of nonlinear fractional differential equations" (http://sciencewatch. com/) является сегодня наиболее цитируемым в области математики. Интересно, что дробные производные обычно понимаются в смысле Ри-мана—Лиувилля (Riemann—Liouville):
К u)
д u
dtа
1 д" [ u (s, x)ds
Г(n -a)dt" \t - s)
\ a+1-n'
т.е. имеется в виду довольно частный вид ядер.
ОБЩИЙ ПОДХОД И ФОРМЫ ЯДЕР
Ниже кратко излагается схема получения различных нелинейных интегро-дифференциаль-ных моделей, более простая и универсальная по сравнению со способами, использованными ранее в цитированных работах. Линеаризованные уравнения гидродинамики (движения и непрерывности) для малых возмущений давления р и плотности р сводятся к одному уравнению:
л dp Ар
(5)
Дополним уравнение (5) следующей связью между параметрами р и р:
2 Со
sp coVo
(6)
Здесь с,1 — запаздывающие члены, зависящие от законов приближения каждой из "внутренних степеней свободы" среды к термодинамическому равновесию. Последовательный учет кинематической нелинейности уравнений движения и непрерывности усложнит схему наших рассуждений, но приведет к таким же результатам. Формально кинематическая нелинейность учтена путем замены коэффициента (е — 1) при нелинейном члене в формуле (3) на коэффициент е в формуле (6).
В частности, в теориях типа "второй вязкости" Мандельштама—Л еонтовича [1] единственный отличный от нуля "внутренний параметр" ^ подчиняется релаксационному уравнению
ds±+s± = _ midi
dt tt c2 dt
Здесь т, — безразмерное число, характеризующее "силу" релаксации, ^ — характерное время релаксации. В отличие от уравнения (1), которое описывает "свободный" процесс релаксации к равновесному состоянию, уравнение (7) описывает "вынужденный" процесс в поле переменного внешнего (акустического) давления. Кроме того, здесь — это разность между текущим значением 1-го внутреннего параметра и его равновесным значением.
Использование кинетического уравнения (7) автоматически обеспечивает выполнение принципа причинности в модели (5)—(7). Это непосредственно следует из записи (7) в интегральной форме:
в выражениях (9)—(11) следует заменить следующим интегралом:
I
т1 ехр
— \т {г1 )ехр [--] ¿^ = т0К I —I.
к: V ^)
(12)
Здесь для ограниченных при £, = 0 ядер без потери общности можно считать К(0) = 1, а константам т0, г0 придать смысл эффективной "силы" и времени релаксации для нового ядра (12). При этом "сила" релаксации определяется условием нормировки функции распределения времен:
<' <') = - т I ехр (-£-
{-11 =
(8)
7< 1 ехР [-7} (
с0 ¿г
Из последнего выражения видно, что состояние среды ^г(?)в фиксированной точке в данный момент времени определяется значениями давления р ({ - £,) в предшествующие моменты времени.
Используем связь (2), (3) в интегральной форме:
2
С0
ер
С04Р0
-2I т 1
ехр
{_ ] ¿р ¿И'
¿{. (9)
Подставляя (9) в (5), придем к интегро-диффе-ренциальному обобщению нелинейного волнового уравнения:
1 д2 (
др - - ¿2 с0 дг
2
ер
2
с0 р0
1 д
2
С0
2
с0 дг
I т11 ехр ^ ({ Ь
(10)
Для волновых пучков с осью г в приближении квазиоптики из уравнения (10) получается следующее упрощенное уравнение:
д дх
др е р др__к д!.
дz Сцр0 Эх 2с0 Эх2
I т 1(
ехр
V ^
р(г %
(11)
= * А ^
т0 =
11т (г уи.
{0
Очевидно, что если функция распределения времен релаксации т(1) есть сумма дельта-функций вида (г - ), соответствующий интегральный член в квадратных скобках уравнения (11) будет иметь вид
2 Ж X N
2" £21 т/1 ехр I- ¿1 р (г^ 2с0 Эх J г
V ^
(13)
2с0 Эх2
1К (А) р (г
: V{0)
Отметим, что формулу (12) можно рассматривать как преобразование Лапласа:
тпг 0 К
V 0 /
да
1 т (()ехр (14)
(сравните с (4)). Соответствующее уравнение для плоских волн получается приравниванием нулю выражения в квадратных скобках (11).
Если внутренняя кинетика описывается непрерывным спектром времен релаксации, сумму
Приведем примеры типичных ядер релаксационного типа. Функция распределения времен релаксации т(0, которая обращается в ноль при г = 0 и г ^ да, и соответствующее ей ядро имеют вид
т(
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.