АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 2, с. 160-165
НЕЛИНЕЙНАЯ ^^^^^^^^^^^^^^ АКУСТИКА
УДК 534.213.4:534.222.2
НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ГАЗА В ОТКРЫТОЙ ТРУБЕ ПРИ НЕГАРМОНИЧЕСКОМ ВОЗБУЖДЕНИИ © 2014 г. Л. А. Ткаченко
Институт механики и машиностроения Казанского научного центра РАН 420111 Казань, ул. Лобачевского 2/31 Казанский (Приволжский) федеральный университет 420008 Казань, ул. Кремлевская 18 E-mail: luda_tkachenko@inbox.ru Поступила в редакцию 08.04.2013 г.
Исследованы нелинейные колебания газа в трубе с открытым концом, возбуждаемые поршнем, который приводится в движение кривошипно-шатунным механизмом. Получено нелинейное граничное условие на открытом конце с учетом колебаний на частоте субгармонического резонанса. Рассчитаны первое и второе приближения к колебаниям на фундаментальной частоте и на частоте вдвое ее меньше. Выполнено сравнение теоретических расчетов с экспериментальными данными.
Ключевые слова: колебания, субгармонический резонанс, труба, давление, скорость. DOI: 10.7868/S0320791914020142
ВВЕДЕНИЕ
Исследования вынужденных резонансных колебаний газа в трубах являются актуальными в связи с их большим прикладным значением. С одной стороны, резонансные колебания могут быть полезны, существенно интенсифицируя горение и улучшая тепло- и массообмен. С другой стороны, в области резонансных частот колебания газа в каналах летательных аппаратов и их двигателей могут привести к разрушению не только элементов трубопроводных систем, но и всей конструкции в целом. В основном изучены колебания газа вблизи фундаментальной резонансной частоты [1]. Однако известно, что на частоте колебаний поршня, равной половине фундаментальной, в трубе устанавливаются резонансные колебания, которые получили название субгармонических нелинейных резонансов [2, 3]. Нелинейные резонансы могут возникать как в закрытой с обоих концов трубе [4—7], так и в трубе, один конец которой сообщается с окружающей средой [8—12]. Причину возникновения таких ре-зонансов связывают с квадратичной нелинейностью уравнений движения и нелинейными потерями на открытом конце трубы, если труба открыта с одного конца. В случае, когда колебания газа возбуждаются поршнем, приводимым в движение кривошипно-шатунным механизмом, образование субгармонических колебаний также обусловлено движением поршня не по гармоническому закону. В основном исследовались колебания газа в режиме с образованием ударных волн. Нелинейные колебания газа в безударно-волновом режиме в случае возбуждения криво-
шипно-шатунным механизмом недостаточно изучены.
Целью настоящей работы является исследование нелинейных резонансных колебаний газа, обусловленных негармоничностью движения поршня и нелинейностью на открытом конце.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим цилиндрическую трубу, один конец которой открыт и сообщается с окружающей средой, а второй конец закрыт поршнем, приводимым в движение кривошипно-шатунным механизмом. Смещение поршня х получаемое из известного закона движения для указанного механизма, определяется приближенным соотношением [1]
t„ = lsin — - —cosrot, l < b, p 2 4b
(1)
где I, Ь — длины кривошипа и шатуна, соответственно. В отсутствие внутритрубной нелинейности колебательный процесс в узкой цилиндрической трубе (ЦЯ > 1, Я — радиус, Ь — длина) описывается системой уравнений гидродинамики, которая в акустическом приближении имеет вид
ди др _ р д { ди\ др
Ро — + = '--К
dt dx rdr\ dr
dr
= 0,
5p + p0 Su + Pc A (rv) = 0, dt dx r dr
Poc dT = dp + (rdT
p dt dt r dr\ dr p = P0RT + рад.
Здесь и, V — осевая и радиальная компоненты скорости, р — давление, Т — температура, р — плотность, ц — динамический коэффициент вязкости, X — коэффициент теплопроводности, — универсальная газовая постоянная, х и г — осевая и радиальная координаты, соответственно, I — время, ср — удельная теплоемкость при постоянном давлении, индекс "0" относится к невозмущенному газу. Решение системы (2) ищем методом возмущений. Тогда колебания осевой компоненты скорости газа запишем в виде
и (х, г) = и® (х, г) + и(2) (х, г) + «22) (х, г), (3) где нижние индексы "1", "2" принадлежат колебаниям на частотах ю/2 и ю, соответственно, а верхние индексы означают порядок приближения. Колебания на частоте ю/2 являются нерезонансными и проявляются только во втором приближении. Аналогично колебания давления газа имеют вид
р (х, X) = р« (х, X) + р(2) (х, X) + р22) (х, X). (4) Решая систему уравнений (2) с последующим осреднением по сечению трубы, находим выражения для колебаний давления и скорости газа, входящие в (3) и (4), которые в безразмерном виде представляются как
(5)
(х, t) = r¡k sin (u-k) + iw(k^ exp i (ro,t + , p(k'> (х, t) = -ir¡k cos (u-k) + i'w(k)) exp i (t + y(k)),
где r/k), y(k ^ — модуль и главное значение аргумента безразмерной амплитуды колебаний,
(х, t) = u(k) (х, t)/Со, p¡k) (х, t) = pf] (х, t)/ poco2, = ю/2, ю2 = Ю,
u(k) = ^(1 + pi) + a(k), wk =p(k) Pi,
Со V ' Со
Pi 42\ +
(6)
ет колебания вида (1). Приведем граничное условие к сечению х = 0. Поскольку М1 <§ 1 и М2 <§ 1 в силу I/Ь < 1 для рассматриваемого случая, то выражение (7) можно разложить в ряд Тейлора по степеням х в окрестности точки х = 0:
ди (х, X)
up (х = 0, t) = u (0, t) + хр
дх
+.
(8)
с=0
Удерживая в (8) только первые два члена разложения, получаем
u (0, t) = M1 cos— + M2 sin rot - х
du (х, t)
(9)
х=0
к = ср/сч— отношение удельных теплоемкостей при постоянном давлении и объеме, Рг — число Прандтля, с0, р0 — равновесные скорость звука и
плотность, а(к), Р-к) — константы интегрирования. Предполагается, что реализуются высокочастотные колебания, когда ]{у]р0 ю¡/^ > 1. В этом случае
р;« 1, р(к) < 1, м\к) < 1.
Рассмотрим граничные условия на концах трубы. Колебания скорости поршня находятся дифференцированием (1) по X и в безразмерном виде записываются как
ир (х = хр, X) = М1ео8+ М2 бш го?, (7)
где ир (х = хр, г) = ир (х = хр, г)/с0, М1 = ю//2с0,
М2 = го/2/4Ьс0. Условие (7) выполняется на торцевой поверхности поршня, которая сама соверша-
2 " дх
Теперь рассмотрим граничное условие на открытом конце. В отсутствии акустического излучения связь между давлением и скоростью газа на открытом конце выражается нелинейным двух-параметрическим соотношением [13]
p(L,t) = -0.5p0u2(L,t)[pE - aEsignu(L,t)], (10) где p (L, t), u (L, t) — избыточное давление и скорость на открытом конце, соответственно, aE и р E — эмпирические параметры. Сделаем предположение, что aE = рE, которое подтверждается экспериментом [12], тогда условие (10) становится однопараметрическим. Имеем
p (L, t) = -роа eU 2 (L, t) (11)
в фазе всасывания u (L, t) < 0 и
P (L, t) = 0 (12)
в фазе выброса газа из трубы u(L, t) > 0.
РАСЧЕТ КОЛЕБАНИЙ ГАЗА НА РЕЗОНАНСНЫХ ЧАСТОТАХ
Рассмотрим колебания газа на фундаментальной частоте го. В этом случае в (5) следует положить i = 2, к = 1, а граничное условие на поршне, записанное в комплексной форме, примет вид
U2(1) (0, t) = -гМ 2 exp гю t. (13)
Подставляя выражение для U2(1) (х, t) из (5) в (13) с учетом (6) получим
• 2 (1) , sin а2 +
(в
21) cos а21))
1/2
= M2,
(1)
te J(1) = íiaV
tg V2 P21) '
(14)
При точном резонансе а 2^ = 0 и у 21* = п, что дает Г2(1)Р(21) = М2. (15)
Запишем и2(1) (х, X) и р^ (х, X) в действительной форме
Й2(1) (х, X) = -Г2(1)'
sin
+ Г2(1) (р21} - k0хр2) cos
k х (1 + Р2 k0 х (1 + Р2
cos rot +
(16)
sin rot,
Р() (x, t) = r¡
(1)
cos
ko X (1 + Р2
sin №t -
- Г2(1) fp21) - koXp2) sin
ko X (1 + P2
(17)
cos ®t,
Положим, что давление р1(2) (Ь, ?) на открытом конце трубы обращается в нуль, и в этом случае имеем
где к0 = ю/ с0. Из граничных условий на открытом конце (11) и (12) следует, что в первом приближении давление газа на открытом конце равно ну-
р(2) _ k°L р. = 0,
koL (1 + Р1
+ а
(2)
П
2,
лю. Тогда
cos
ko L (1 + Р2
= 0, откуда следует, что
2 2 откуда с учетом k0L (1 + р1) /2 = %/4 получаем
резонанс наступает при
koL (1 + р'2) = П 2.
(18)
а (2) в(2) _ koL R.
a1 _ 4, P1 _— P1.
з(2)
(25)
(26)
Колебания давления и скорости газа на открытом конце при этом принимают вид
«2(1) (Ь, ?) = -г® cos юI,
Таким образом, с учетом р(' < 1 для колебаний на частоте ю/2 имеем
г1(2) = М^л/2, у(2) = -р(2). (27)
Колебания скорости и давления газа на открытом конце запишутся как
—2(1) (L, t) = -r2(1) cos юt, (19) конце запишутся как
p21) (L,t) = -2« (Р2D - koLp2)cos «t. (20) ^(L,t) = ^ cos(f - ^, (28)
Далее рассмотрим колебания газа на частоте ю/2. В этом случае в (5) I = 1, к = 2, а граничное условие на поршне запишется как
й(2) (0, = М1 ехр (ю ?/2). (21)
Подставим (х, ?) в условие (21) и получим соотношения
,(2)
( cos a12))2
sin2 a(2) + (P1' cos a[
V2
tg y(2) =-p(2) ctg a(2).
ТТ(2)<
= M1,
В действительной форме u¡2> (x, t) и p(2) (x, t) принимают вид
U1(2) (x, t) =
(2) • = г sin
ko X (1 + P1
a
(2)
cos (f
■¥1
(2)
- Г1(2) ( - fP1 Icos
ko X (1 + P1
a
(2)
X sin
(2) ■¥1
P1(2) (X, t) = Г(2) (p(2) - k2X P1
x sin
ko X (1 + P1
-a((2)
cos (^ + ^2)
(2)
- г cos
ko X (1 + P1
a
(2)
Sin (¥■
■¥1
(2)
р1(2) (Ь, ?) = 0. (29)
Наконец, вычислим нелинейную добавку в правой части (9), где проводится замена и (х, ?) =
= —«
(x, t)
г(2)
(x, t). Даная добавка содержит чле-
(22)
ны, колеблющиеся с частотами 0, ю/2, ю, 3ю/2 и 2ю, при этом все члены, за исключением колебаний на частоте ю, соответствуют нерезонансным колебаниям. Поскольку интерес представляют только члены, описывающие резонансные колебания, рассмотрим колебания на частоте ю и, сохраняя только старшие члены, запишем
(30)
(23) — (2)
U2(2) (0, t) = - M sin ®t или в комплексной форме
U2(2) (0, t) = M exp fot. (31)
Общий вид u2(2) (x, t) и p22) (x, t) по-прежнему определяется соотношениями (5), где следует положить i = 2, к = 2. Подставляя выражение для
(x, t) в условие (31), находим
,(2)
• 2 (2) , sin a2 +
(в
(2)
(2)\ 2
2 cos a2 I
V2
= Mí = 2
(32)
(24)
(2)
tB ш?) = tg^! tg V2 ^ .
Откуда при a 22) = 0 имеем
r(2)p22) = Mi, ¥22) = 0. (33)
Запишем m22) (x, t) и p2(2) (x, t) в действительной форме:
—2(2) (x, t) = r2(2) sin kox (1 + p2 - Г2(2) (p22) -
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.