РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА, 2015, том 60, № 2, с. 179-185
ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ СИГНАЛОВ
УДК 537.86:530.182
нелинейные процессы в цифровых фильтрах
с квантованием и переполнением © 2015 г. Ю. А. Брюханов, Ю. А. Лукашевич
Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова Российская Федерация, 150000, Ярославль, ул. Советская, 14 E-mail: bruhanov@uniyar.ac.ru Поступила в редакцию 21.05.2013 г.
Рассмотрены процессы в цифровых фильтрах с учетом эффектов квантования при произвольном числе разрядов в представлении чисел и переполнения при периодических внешних воздействиях. Использован метод исследования, основанный на представлении стационарных колебаний в виде инвариантного множества нелинейных дискретных точечных отображений. Расчеты спектрального состава реакции системы и нелинейных искажений сигналов с произвольным периодом выполнены при классическом и модернизированном дискретных преобразованиях Фурье. Приведены результаты расчета процессов в цифровых полосовых фильтрах Баттерворта и Чебышева. Показаны зависимости коэффициента нелинейных искажений от вида кодирования и числа разрядов в представлении чисел, а также от порядка цифрового фильтра. Установлено влияние числа разрядов на вид амплитудно-частотных характеристик фильтров.
DOI: 10.7868/S0033849415020011
ВВЕДЕНИЕ
Цифровые фильтры широко используются в современных системах передачи информации, например, для селекции и усиления сигналов высокой, промежуточной и низкой частоты в радиоприемных устройствах [1]. Специфическими для таких фильтров являются ошибки, обусловленные конечной точностью представления (квантованием) чисел, называемые эффектами квантования, и переполнением разрядной сетки, называемые эффектами переполнения [2, 3]. Влияние этих эффектов наиболее сильно проявляется при использовании арифметики с фиксированной запятой. В общем случае задачи исследования процессов в цифровых фильтрах очень сложны, так как операция квантования и явление переполнения существенно нелинейные.
Если число уровней квантования Ь и связанное с ним число разрядов Я в представлении чисел достаточно велики, то можно использовать линейную модель фильтра и линейную статистическую модель ошибок квантования е(п) [2, 3]. Эти модели основаны на следующих предположениях: во-первых, последовательность значений ошибки является последовательностью выборок стационарного случайного процесса; во-вторых, последовательность значений ошибки не коррелирована с последовательностью точных значений сигнала; в-третьих, ошибки не корре-
лированы между собой (представляют собой белый шум) и, в-четвертых, распределение вероятностей ошибки равномерно во всем диапазоне ошибок квантования. Такой подход используется в большей части работ, посвященных исследованию эффектов квантования в цифровых фильтрах.
Вышеуказанные предположения до некоторой степени произвольны. Приведем примеры, для которых они неверны: например, если на вход системы воздействует постоянный сигнал или гармонический сигнал, дискретизированный с частотой, рационально кратной частоте синусоиды. В первом случае все ошибки будут одинаковы и равны, а во втором они образуют периодическую последовательность.
При другом подходе необходимо использовать малое число разрядов. Отметим, что свободные колебания и колебания при постоянном входном сигнале в цифровых рекурсивных фильтрах первого порядка с различными характеристиками квантователя (сумматора) при произвольном числе Ь исследованы в [4—8]. В работе [9] рассмотрены свободные колебания и колебания при постоянном и периодических воздействиях в рекурсивной системе второго порядка с бинарным квантованием. Методика исследования установившихся процессов в системах дискретного времени с нелинейным сумматором (нелинейность обусловлена эффектами переполнения) без учета
х(п + О)
у(п + О)
к аО N /2(ф)
1/
Рис. 1. Структурная схема нелинейного рекурсивно—нерекурсивного полосового фильтра, реализуемого в прямой форме 1.
эффектов квантования при периодических внешних воздействиях разработана в [10]. В работе [11] предложен метод исследования периодических процессов в неавтономных системах дискретного времени с квантованием. Метод расчета вынужденных колебаний в нелинейных системах дискретного времени при периодических внешних воздействиях разработан в [12].
Цель данного исследования — анализ нелинейных процессов в цифровых полосовых фильтрах Баттерворта и Чебышева, расчет спектральных характеристик и нелинейных искажений гармонических сигналов, обусловленных эффектами квантования (при произвольном числе разрядов К) и переполнения, для разных способов аппроксимации и кодирования чисел, а также изучение влияния эффектов квантования и переполнения на избирательные свойства фильтров.
Цифровые фильтры реализуются в прямой, каскадной и параллельной формах [2, 3]. Структурная схема нелинейного рекурсивно-нерекурсивного цифрового полосового фильтра, реализуемого в прямой форме 1, изображена на рис. 1. Здесь z—1 — элементы задержки, а^ и Ь1 — умножители в нерекурсивной и рекурсивной частях системы соответственно, блоки /1(ф) и /2(ф) определяют вид характеристик нелинейных элементов — квантователей сумматора и умножителей соответственно, учитывающих и переполнение разрядной сет-
ки. Колебания в таком фильтре порядка О описываются разностным уравнением
( о
У(п + О) = /
X / (о+1-У(п +' -1)) +
V 1=\
+ /2 (о+1-Х(п + I -1)) + х(п + О)),
(1)
где у(п) — реакция системы, х(п) — входное воздействие.
На рис. 2а приведена блок-схема каскадной реализации цифрового полосового фильтра, содержащего О последовательно соединенных каскадов. При последовательном соединении О нелинейных рекурсивно-нерекурсивных цепей второго порядка (структурная схема 1-го каскада приведена на рис. 2б) колебания на выходе 1-го каскада описываются разностным уравнением
Уи(п + 2) = /1(/2(Ьь- уп(п + 1)) + +/2(ЬцУи(п)) + /2(таъУи(п)) + +/2(та1Уи — 1(п + 1)) + /2(таоя Ун — 1(п + 2))). (2)
Здесь а0, а1; и аъ — коэффициенты нерекурсивной части 1-го каскада; Ь1(- и Ь2! — коэффициенты рекурсивной части 1-го каскада; т I — весовой (масштабирующий) коэффициент 1-го каскада, обеспечивающий заданный динамический диапазон; Ую(п) = х(п).
(а)
х(п + 2) #1 Уп(« + 2) н Уи(п + 2) Но У1о(п + 2)
Ун- \(п + 2) У1о-х(и + 2)
ш,
Уи- 1<и + 2)
(б)
а2(
/2(Ф)
/2(ф)
Ун(п + 2)
Рис. 2. Блок-схема каскадной реализации цифрового полосового фильтра (а) и структурная схема г'-го каскада (б).
Ошибки квантования и переполнения связаны с видом характеристик квантователей, которые являются существенно нелинейными, что и определяет характер процессов в цифровых фильтрах. На практике существуют два вида характеристик переполнения квантователей:
с насыщением, описываемая функцией
©( Ф) =
ф, ф< 1, 1, ф> 1, -1, Ф<-1,
пилообразная, где соответствующая функция имеет вид
0(ф) = (ф + 1)(шоё2) -1.
Здесь и ниже полагаем, что для представления чисел используется арифметика с фиксированной запятой и дробными числами. В таблице приведены характеристики квантователей с насыщением для различных способов представления чисел. Здесь q — шаг квантования, [.] — целая часть числа.
1. РЕАКЦИЯ ПОЛОСОВОГО ФИЛЬТРА НА ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ВОЗДЕЙСТВИЕ
Используя метод исследования нелинейных процессов в неавтономных системах дискретного времени [11], преобразуем уравнения колеба-
ний (1), (2) в уравнения состояний. Для прямой формы 1 получим выражение
У1 (п + 1) = У1+1(я), I = 1,...,О - 1,
С о
У о (п + 1) = ¡1
о+1- I(п)) ■
(3)
V (=1
+ /2(аО+1-1х(п - 1 + 0) + х(п + О)
а для последовательного соединения О каскадов второго порядка уравнение (2) примет вид
(4)
Уи(п +1) = Уъ(п), ( Уи(п + 1) = ¡1(11(ЪцУ21(п)) + + 12ФъУи(п)) + /2(ША21Уи-1(п)) + + /2(шац У2,-1(п)) + /2ШаШ У21-1(п + 1))). Здесь I = 1,2,..., О; у2((п + 1) — реакция г'-го каскада; Ую(п) = х(п).
С позиций теории многомерных точечных отображений [13] уравнения (3) и (4) описывают нелинейное дискретное отображение некоторой точки У(п) О-мерного пространства в точку У(п + 1), т.е.
У (п + 1) = Р (7 (л)), (5)
где Ш — функция последования. При периодическом воздействии ключевым для расчета стационарного режима является соотношение
р(у*(т - 1)) = у*(0), (6)
где У*(п) — последовательность инвариантных (неподвижных) точек дискретного отображения,
Способы представления чисел и вид характеристик квантователя
Представление чисел
Характеристика квантователя /(ф)
код
аппроксимация
аналитическое выражение
график
Прямой (обратный)
Усечение
д[ф/д] при ф| < 1, ф при |ф| > 1
/(ф)
1 г-
2д Ч
1 -2ч
Ч о -ч
-2Ч
-1
Ч 2ч 1 ф
Прямой (обратный)
Округление
д[ф/д + 1/2 81§п ф] при |ф| <1, 81§п ф при |ф| > 1
/(Ф) 1 г-
2Ч Ч
1 -2Ч -Ч
Ч 2ч 1 ф
/(Ф) 1 - ЧГ
Дополнительный
Усечение
Ф + 1
2Ч
1
Ч J
при —1 + д < ф < 1 — д, 1 — д при ф > 1 — д, — 1 при ф < —1 + д
1 + Ч
Ч 1 1 -
-Ч о Ч
1 - Ч Ф
-Ч'
1
1 + Ч
Дополнительный
Округление
ф+1+1
/(ф) 1 - Ч
2Ч
1
I Ч 2_ при —1 + д/2 < ф < 1 — д — д/2, 1 — д при ф > 1 — д — д/2, — 1 при ф < —1 + д/2
Ч 1 Ч 1 - 2ч | 1
-Ч о Ч 1
1 Ч
_1 -1 + Ч
- 1 1-
д
Т = ТС/ТД, ТС — период входного воздействия (сигнала), ТД — период дискретизации, Т — целое число, Т > 2.
Применительно к рекурсивно—нерекурсивной системе порядка О, реализуемой в прямой форме 1, согласно уравнениям состояний (3) это означает выполнение системы равенств
y(0) = y+iT- 1), i = 1,...,G- 1,
f G
Уо (0) = fi
X ЪЬУв+i-i (T -1))
V i=1
+ fi(aG+1-ix(T - 2 + i) + x(T -1 + G)) 1.
(8)
2. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ И НЕЛИНЕЙНЫЕ ИСКАЖЕНИЯ СИГНАЛА
Для нахождения спектрального состава реакции фильтра применяется дискретное преобразование Фурье (ДПФ). При этом для целых норми-
(7)
Эти соотношения вместе с уравнениями (3) позволяют определить значение УО(0) = УО* (0). Далее, опять используя (3), определяем все необходимые инвариантные точки от УО (1) = У* (1) до УО (Т — 1) =
= У*( Т — 1).
Соответствующие выражения получаем согласно (4) и для последовательно соединенных О цепей второго порядка:
У1(0) = У2,(Т - 1), <У2,(0) = /ШЬиУя(Т -1)) + < + М^уАТ -1))
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.