АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2012, том 58, № 1, с. 103-111
НЕЛИНЕЙНАЯ АКУСТИКА
УДК 534.2
НЕЛИНЕЙНЫЕ УПРУГИЕ СВОЙСТВА МОДЕЛИ ОДНОМЕРНОЙ ГРАНУЛИРОВАННОЙ НЕКОНСОЛИДИРОВАННОЙ СТРУКТУРЫ © 2012 г. А. И. Коробов, Ю. А. Бражкин, Н. В. Ширгина
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова, физический факультет, кафедра акустики
119991 Москва, Ленинские горы
E-mail: aikor42@mail.ru Поступила в редакцию 31.05.2011 г.
Исследованы особенности распространения упругих волн конечной амплитуды в модели одномерной гранулированной неконсолидированной среды. Для моделирования использовалась линейная цепочка из 80 стальных шаров диаметром 6.5 мм, предварительно нагруженная внешней статической силой F. Проведен анализ упругих свойств модели, получены теоретические зависимости коэффициентов упругости 2-го, 3-го, 4-го порядков от силы F. Описана экспериментальная установка. Приведены результаты исследований нелинейных эффектов при распространении акустических волн в цепочке: генерации высших гармоник и образования волн комбинационных частот. В исследуемой цепочки шаров обнаружен структурный фазовый переход от одномерной 1-Д к двумерной 2-Д структуре при изменении силы внешнего поджатия шаров F. Полученные результаты анализируются с использованием теории Герца для контактных взаимодействий.
Ключевые слова: неконсолидированные среды, контакт Герца, генерация гармоник, контактные взаимодействия, структурный фазовый переход, коэффициенты упругости второго, третьего и четвертого порядков.
ВВЕДЕНИЕ
Исследование нелинейных эффектов, связанных с наличием мезомасштабных неоднородностей в твердых телах, является интересным и перспективным направлением развития акустики на сегодняшний день. Неоднородности существенно влияют на упругие свойства материалов и приводят к появлению новых физических свойств, которые отсутствуют в однородных телах [1, 2]. Особое положение среди структурно-неоднородных материалов занимают неконсолидированные гранулированные среды, которым постоянно уделяется большое внимание, что связано с их интересными физическими свойствами и широким распространением в природе [3]. Практический интерес для изучения и диагностики вызывают трехмерные структуры, представляющие собой естественные зернистые среды: песок, галька. В работе [4] в лабораторных условиях исследованы медленные акустические нелинейные процессы в гранулированных средах с гистерезисом. В качестве гранулированной среды использовалась гранитная крошка с размером гранул 1—2 см. Для описания процесса распространения и взаимодействия гармонических волн конечной амплитуды в гранулированной среде с гистерезисом использован статистический подход. Для исследования физических свойств гранулированных сред также используются модельные среды, собранные из одинаковых упругих шаров. Генерация второй гармоники в модельной трехмерной гранулированной среде
изучалась в работах [5, 6]. В работах [7, 8] исследовались особенности взаимодействия акустических волн в трехмерной гранулированной неконсолидированной среде: генерация гармоник, релаксация, демодуляция амплитудно-модулированных продольных и сдвиговых волн.
Хорошей моделью для исследования неконсолидированной гранулированной среды может служить одномерная упаковка сферических гранул, теоретический анализ упругих свойств которых проводить относительно просто. Одной из первых работ, в которых было проведено моделирование структурно-неоднородной среды с использованием цепочки шаров, является работа [9]. В ней в длинноволновом приближении для подобных структур было выведено нелинейное волновое уравнение и проанализировано его решение в виде солитона. В дальнейшем, начиная с работ В.Ф. Нестеренко, было выполнено значительное число экспериментальных и теоретических исследований одномерных гранулированных сред, значительная часть которых посвящена изучению солитонов [10, 11].
В работе [12] теоретически изучалось распространение упругих волн в ансамбле зерен, погруженных в жидкость. Было показано, что в системе гранул наряду со структурной нелинейностью, обусловленной контактами границ зерен, при наличии колеблющейся жидкости возникает дополнительная инерционная нелинейность, вызванная ускоренным движением частиц. Экспериментальные
исследования дисперсии скорости упругих волн и ее зависимости от амплитуды волны в одномерной цепочке стальных шаров проведены в [13].
Однако несмотря на большое количество работ, посвященных распространению упругих волн в гранулированных неконсолидированных средах, экспериментальному исследованию распространению упругих гармонических волн конечной амплитуды в одномерных структурах уделено недостаточно внимания. Поэтому целью настоящей работы является исследование нелинейных физических явлений при распространении гармонических упругих волн конечной амплитуды в модели одномерной гранулированной неконсолидированной среды.
УРАВНЕНИЕ СОСТОЯНИЯ ОДНОМЕРНОЙ ЦЕПОЧКИ ШАРОВ С НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ ГЕРЦА
Теоретическое описание упругих свойств неконсолидированных гранулированных сред основывается на задаче о контактном взаимодействии отдельных гранул, описываемом законом Герца [14, 15]. Взаимное сближение центров шаров к при приложении к ним силы Е равно:
h =
9F1
1/3
(1)
абЯЕ*2
где Я — радиус шаров, Е = Е/(1 — V2) — приведенный модуль Юнга, Е — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона материала шаров. Зависимость радиуса контакта шаров г от статической силы сжатия Е имеет вид
= (3FR)
1/3
4E*/
(2)
F
(3)
(4)
в системе шаров. При этом всегда выполняется неравенство е0 >
Раскладывая (4) в ряд Тейлора при е = е0 и ограничиваясь членами, пропорциональными (е^)3, получим уравнение состояния для цепочки в следующем виде:
ст = ст (б 0)+ С26 ~ + - С36 ~2 + - С46~3 + ... . (5)
2!
3!
Здесь С2 (во) = (!)__ = ^ (=0 )"2. С, (80) = Щ =
= | (=0 )-"'2). С4 Ы = =-1 (в 0 )-"'" - эф -
фективные коэффициенты упругости 2-го, 3-го, 4-го порядков в одномерной цепочке шаров. При проведении эксперимента удобнее контролировать статическую силу Е. Значения коэффициентов упругости в уравнении (5), выраженные через статическую силу Е, приложенную к цепочке, будут иметь вид:
С2 е=N = — р^/. (6)
у } ЫЕ0 я \4Е*ЯV
Сз (F) = 1д 2
vös у Е|
= (д а) = Eli 3F
п \4E*R2
-(1/3)
(7)
С4 о-ЕПУЕ?) ■ <8>
Полученные соотношения (6)-(8) справедливы для исследуемой системы шаров при упругой деформации в области контакта шаров. Проведенные оценки показывают, что деформации в области контакта остаются упругими при силе Е < 120 Н.
При экспериментальных исследованиях мы ограничились интервалом изменения внешней статической силы 0.3 < Е< 6 Н, в котором герцевская нелинейность исследуемой цепочки максимальна. Зависимости эффективных коэффициентов упругости 2-го, 3-го, 4-го порядков в цепочке шаров, определяемых герцевской нелинейностью, от статической силы Е в указанном интервале приведены на рис. 2. Как видно из рис. 2, коэффициент упругости 2-го порядка С2 изменяется в пределах (0.2 — 1.2) х х 109 Па и увеличивается при увеличении приложенной к цепочке силы пропорционально Е^3. Аналогичный коэффициент, определяемый упругостью кристаллической решетки, для различных марок сталей лежит в пределах (2.5—2.7) х 1011 Па и практически не зависит от внешней силы Ев указанном выше интервале ее изменений. Коэффициент упругости 3-го порядка С3 в цепочки шаров уменьшается с 8 х 1012 Па до 1 х 1012Па пропорционально Е—1/3). Эти величины примерно на порядок больше коэффициентов упругости 3-го порядка, определяемых
Зависимость силы Е от величины сближения центров шаров к определяется законом Герца:
_ -Е*4я¿3/2 3 .
При отрицательных значениях разности смещений центров к0 шары расходятся, не деформируясь, и сила Е равняется нулю. При положительных значениях этой разности сила Е зависит от нее как к3/2. С увеличением силы сжатия Е радиус контакта шаров г увеличивается (2) и нелинейность в области контакта уменьшается.
Рассмотрим линейную цепочку одинаковых шаров, нагруженную внешней статической силой Е. Воспользовавшись (3), получим уравнение состояния для одномерной цепочки взаимодействующих шаров:
= е== -Е* (М3/2 = -Е* ез/2
S nR 3п \R 3п где s = (h/R) = (h0 + h) /R = s0 + s _ — общая деформация, s0, s„ — статическая и переменные деформации
r
2(Я-И)
Рис. 1. Взаимодействие.сферических тел.
С2, Па 1.2Е9 1Е9 8Е8 6Е8 4Е8 2Е8
С2 - ^
0
-5.0Е+16
-1.0+17
-1.5Е+17
-2.0Е+17
-2.5Е+17
-3.0Е+17 С4, Па
С3, Па 8Е12
7Е12
6Е12
5Е12
4Е12
3Е12
2Е12
1Е12
С3 - ^
5 6 Н
2
1-
12
¥, Н 8
56 Н
С4- 1/¥
Рис. 2. Зависимости эффективных коэффициентов упругости 2-го, 3-го, 4-го порядков, определяемых герцевской нелинейностью, от статической силы
ангармонизмом кристаллической решетки. (В различных марках стали численные значения этого коэффициента находятся в пределах (3-6) х 1011 Па [17]). Коэффициент упругости 4-го порядка С4 при увеличении / уменьшается по абсолютной величине с 2.5 х 1017 Па до 5 х 1016 Па пропорционально 1//. Как видно из приведенных оценок, коэффициенты упругости 3-го и 4-го порядков в цепочке шаров, определяемые герцевской нелинейностью, по крайней мере на порядок больше нелинейности обусловленной ангармонизмом кристаллической решетки. Поэтому в дальнейшем при анализе нелинейных явлений в цепочке мы не будем учитывать последнюю нелинейность.
УПРУГИЕ ВОЛНЫ В ОДНОМЕРНОЙ ЦЕПОЧКЕ ШАРОВ С НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ ГЕРЦА
Для описания распространения упругих волн в неконсолидированной цепочке шаров в длинноволновом приближении, когда длина волны X > 2Я, воспользуемся уравнением движения:
д2Н _ да р дг2 " дх
(9)
и уравнением состояния (5). В случае распространения волн малой амплитуды из решения систе-
1
2
3
4
3
4
4
piezoceramic transducers
synchronization —*■
1.7 mm
Generator Rigol ^
P 'amplifier f" -П-Behringer
transmitting transducer receiving transducer
ЬшшшшТ
Oscilloscope Hewlett-Packard
M
amplifier Robotron
д
Spectrum
Banalyzer
о э-
Рис. 3. Схема экспериментальной установки.
мы уравнений (5), (9) фазовая скорость упругих волн в цепочке определяется выражением:
Vph=ш f1f F "
(10)
4 П3
^ -kR ро
M 3 П где
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.