МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <5 • 2008
УДК 532.546
© 2008 г. Н. М. ДМИТРИЕВ, А. А. МУРАДОВ, А. А. СЕМЕНОВ
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАКОНЫ ФИЛЬТРАЦИИ ДЛЯ ОРОТРОПНЫХ
ПОРИСТЫХ СРЕД
В инвариантном тензорном виде выписаны нелинейные законы фильтрации для ортотропных пористых сред. Уравнения, как это принято в теории фильтрации [1, 2], представляются выражениями, содержащими скорость фильтрации до второй степени включительно. Даны выражения, определяющие нелинейные фильтрационные сопротивления, и показано, что при переходе от линейных законов фильтрации к нелинейным может проявляться эффект асимметрии, т.е. фильтрационные свойства могут быть различными вдоль одной прямой в положительном и отрицательном направлении. Показано, что по сравнению с линейным законом фильтрации для ортотропных сред, когда для задания фильтрационных свойств для трех групп симметрии достаточно лишь одного закона фильтрации, в нелинейных законах проявление анизотропии существенно разнообразнее и каждая группа симметрии описывается своими уравнениями. Рассмотрен комплекс лабораторных измерений по определению фильтрационных свойств в нелинейных законах фильтрации для ортотропных пористых сред.
Ключевые слова: нелинейные законы фильтрации, анизотропия, ортотропные пористые среды, асимметрия фильтрационных свойств.
Из экспериментальных данных известно, что диапазон скоростей жидкости, в котором справедлив линейный закон фильтрации - закон Дарси, связывающий векторные поля скорости фильтрации и градиента фильтрационного давления, ограничен сверху и снизу [3, 4]. Верхняя граница применимости закона Дарси обусловлена проявлением инерционных сил при больших скоростях фильтрации, а нижняя - физико-химическими эффектами взаимодействия жидкости с пористой средой и неньютоновскими реологическими свойствами жидкости [5, 6]. Однако до настоящего времени при построении нелинейных законов фильтрации рассматривались, как правило, лишь изотропные пористые среды. В то же время хорошо известно, что реальные грунты и коллекторы углеводородного сырья обладают анизотропией [4-6]. Поэтому ниже рассмотрены варианты построения нелинейных законов фильтрации для ортотропных пористых сред, которые наиболее часто встречаются на практике.
1. Основные положения и формулы. Макроскопическое описание фильтрационных течений основывается на допущении существования эффективных векторных полей скорости фильтрации (вектора с компонентами w¡) и градиента фильтрационного давления (вектора с компонентами Ур) и наличия связи между ними
У;Р = f¡(Т**Р,Ц,Ха> Та) (1.1)
где р, ц - плотность и вязкость жидкости соответственно, %а - инвариантные скалярные параметры, характеризующие пористую среду и, возможно, жидкость, Та - материальные тензоры, определяющие и задающие симметрию фильтрационного сопротивления.
В теории фильтрации вязкой несжимаемой ньютоновской жидкости в недеформиру-емой пористой среде считается, что свойства жидкости определяются лишь ц и р [2-5], поэтому в дальнейшем будем считать, что симметрия материальных тензоров Та в равенстве (1.1) определяется и задается симметрией порового пространства.
Предположение о линейности зависимости (1.1) приводит к закону Дарси. Обобщение закона фильтрации в рамках предположения (1.1) на случай нелинейных связей для всех групп точечной симметрии было получено в [7-8]. В работах дан общий вид векторных потенциалов и функций, совместимых с симметрией кристаллов и групп симметрии текстур. Однако приведенные соотношения задают потенциалы и нелинейные функции векторного аргумента только в декартовой системе координат. Поэтому в [9], используя базисные тензоры, полученные в [10], все связи были выписаны в общем виде для произвольной системы координат.
Для ортотропных пористых сред (групп симметрии ромбической сингонии ш2:ш, 2:2 и 2 т) общий вид нелинейных законов фильтрации имеет вид [9]
V;р = - у 1 ^ - у2П(2Ю^ - У3М {ш • 2:ш}
Vр = ViP(Ш • 2:ш) - у4Я(2А)¡}Е1}пМткп}щ{2:2}
ViP = - У1Ь1 - У2Я(2а) - УзМ {2 • ш}
где у; - произвольные функции от главных инвариантов, Ь, Д(2а)у, Мц и Еут - базисные тензоры [10]. Соответствующая группа симметрии указана рядом с формулой в фигурных скобках; Vp(m ■ 2 : т) означает правую часть соотношения для группы симметрии т ■ 2 : т.
Выбранные в выписанном представлении базисные тензоры определяются равенствами
°(2к) = ^11 е1 + ^22 е2 + ^33 4 Мц = Д2к)'к°(2к) к,у Ь = е 3>
Е — ^162^3 — ©2 ©1 ©3 + — 63 ©2 + 63 ©1 ©2 — ^1^362
где е; - орты кристаллофизической системы координат, - параметры кристаллографической ячейки, произведения векторов и их степени понимаются как диадные, как и всюду в тексте, по повторяющимся латинским индексам подразумевается суммирование, по повторяющимся греческим индексам суммирование не подразумевается и обозначается в случае необходимости знаком суммы.
Выбранные базисные тензоры содержат много параметров, в частности параметры кристаллографической ячейки, которые в теории фильтрации являются не только лишними, но и неопределимыми. Поэтому, воспользовавшись положением, высказанным в [10], выберем иные базисные тензоры
©1' ©2' ©3, Ь — е3' Е
Введем обозначения а' = е;, тогда общий вид нелинейных законов фильтрации перепишется следующим образом
V ;Р — - /1«!а]™у - /2о2®2]™] - Л«3^ {ш • 2:ш} (1.2)
V ;р — V ;р(ш • 2:ш) -
- /4(й!,1«2«3™^ + «¡Я^х^ + ^к^к) {2:2}
V¡Р — - /1«1 - /2а.а^] - а3 {2 • ш} (1.4)
где а] - компоненты ортов а', /, /* - произвольные функции от главных инвариантов, которые являются линейными комбинациями у.
2. Нелинейные законы фильтрации для оротропных пористых сред. Соотношения (1.2)-(1.4) задают общий вид нелинейных законов фильтрации для ортотропных пористых сред. Для того чтобы получить явный вид нелинейных законов фильтрации необходимо задать вид функций/, /* .
Обычно в теории фильтрации для изотропных пористых сред [1, 2] нелинейный закон фильтрации (формула Форхгеймера) представляется выражением, содержащим скорость фильтрации до второй степени включительно. Поэтому для представления функций от инвариантов в законе (1.2) можно положить
/а = йа + 1а4а"'а = 1 2 3 (2.1)
где йа и 1а - экспериментально определяемые константы.
Представив компоненты вектора скорости фильтрации в виде ^ = где м - модуль вектора скорости фильтрации, я; - компоненты орта, задающего направление вектора скорости, равенство (2.1) можно переписать в виде /а = йа + 1а |созуа|м и записать явный вид нелинейного закона фильтрации (1.2) иначе
3
V ;Р = - X (йа + 1а |сОвУ аМ^ (2.2)
а = 1
Для изотропных пористых сред значения коэффициентов й и I принимаются равными й = -, I = вР
где к - проницаемость, в - безразмерная константа, определяемая экспериментально.
Для ортотропной пористой среды, очевидно, необходимо ввести значения параметров вдоль каждого главного направления тензора коэффициентов проницаемости
й = - I = в -Р-
"а и > 'а На г— ка ыка
Тогда равенство (2.2) в проекции на кристаллофизические оси принимает вид дР = Ма - Ра^^^к1!008Ча' а = 1 2 3 (2.3)
Полученный результат (2.3) формально сводится к тому, что формула Форхгеймера расписывается для каждого главного направления со своими фильтрационными параметрами.
В законе Дарси 1/ка = га, где г а - фильтрационное сопротивление. Появление трех коэффициентов Ра показывает, что введение подгоночного коэффициента является искусственным и логичнее ввести Я а = Ра/Лк[ - второй коэффициент фильтрационного сопротивления.
В этом случае равенство (2.3) в проекции на кристаллофизические оси принимает вид
дР -
д x,
-- V-rawa - PRa|cosYa|wwa> a-l> 2> 3 (2-4)
Для нелинейного закона фильтрации (1.3) нужно дополнительно определить функцию /4. Функция стоит множителем при нелинейном слагаемом. Поэтому ее можно определить так же, как и I а
/4 = Р Я4
и закон фильтрации (1.3) в кристаллофизических осях перепишется в виде
Iz = lz(m • 2:m) - рRWWY
-Р = dp (m • 2:m) - pR4wewy, a, p, у = 1, 2, 3 (2.5)
где индексы a, в, у образуют циклическую перестановку из чисел 1, 2, 3.
Для нелинейного закона фильтрации (1.4) нужно дополнительно определить функцию f * . Функция стоит множителем при а3 и содержит линейную и квадратичную части
/з = f3ajwj + f4a3a3wjwk f 4 = p R4
где функция f3 определяется равенством (2.1). В этом случае нелинейный закон фильтрации в кристаллографической системе координат запишется в виде
dp = dp(m • 2:m) - pR4(a3w; fa^ a = 1, 2, 3 (2.6)
о pa о pa
3. Анализ фильтрационных свойств в нелинейных законах фильтрации для ортотроп-ных пористых сред. В рамках линейного закона фильтрации все три группы симметрии ортотропных фильтрационных свойств описываются одним законом фильтрации и неразличимы между собой. С увеличением скорости фильтрации и нарушением закона Дарси каждой группе симметрии соответствует свой закон фильтрации. Рассмотрим, в чем состоит различие фильтрационных свойств в уравнениях (2.4)-(2.6).
В анизотропных сплошных средах физические свойства зависят от направления. Поэтому в кристаллофизике для связей между векторными полями вводится понятие свойства вдоль заданного направления, которое для теории фильтрации определяется равенством
V; ПН;
Г(П) = (3.1)
где r(n) - фильтрационное сопротивление в направлении орта н, задающего направление вектора скорости фильтрации, n; - компоненты орта.
Из определения (3.1) следует, что направленное фильтрационное сопротивление в законе фильтрации (2.4) задается равенством
3
r (n ) = Х( ra COs2 Ya + p Ra| COS yJ 3 wj (3.2)
a = 1
r(n) = r(n)(m • 2:m) + 3pR4cosy 1cosy2cosy3w (3.3)
p3
r(n) = r(n)(m • 2:m) + 3-R4cos y3w (3.4)
Анализ выражений (3.2)-(3.4) показывает, что фильтрационные свойства в равенствах (3.3) и (3.4) проявляют асимметрию вдоль направлений, для которых cosy1cosy2cosy3 Ф 0 и cosy3 Ф 0. В самом деле для этих направлений r(n) Ф r(-n).
Сечения указательных поверхностей (3.2) и (3.4) приведены на фиг. 1 и 2 соответственно. Проявление эффекта асимметрии в равенстве (3.3) аналогично представленному на фиг. 2.
Z
Фиг. 1. Сечение поверхности фильтрационных свойств плоскостью для равенства (3.2)
Фиг. 2. То же, что на фиг. 1, для равенства (3.4)
4. Эксперимент
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.