АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ, 2014, том 60, № 4, с. 395-397
^ АТМОСФЕРНАЯ
И АЭРОЕАКУСТИКА
УДК 534.26;542.34
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ ПРИ СХЛОПЫВАНИИ ВИХРЕВОГО ДИПОЛЯ © 2014 г. К. А. Наугольных
Zel Technologies, LLC/Physical Sciences Division, Earth System Research Laboratory NOAA 325 Broadway, Boulder, Colorado 80305 E-mail: konstantin.naugolnykh@noaa.gov Поступила в редакцию 26.12.2013 г.
Излучение звука вихревым диполем уменьшает энергию диполя и меняет распределение вихревой скорости. Происходит относительное смещение компонент диполя. Ранее такой процесс акустической неустойчивости вихря рассматривался применительно к случаю слабого акустического излучения, описываемого волновым уравнением. Особенности акустической неустойчивости при излучении сильно нелинейного звука вихрем рассматриваются в настоящей работе.
Ключевые слова: вихревой диполь, неустойчивость, излучение звука, акустическая нелинейность. DOI: 10.7868/S032079191404011X
ВВЕДЕНИЕ
Вихревое движение является источником звукового излучения. В свою очередь, излучение звука вихрем уменьшает энергию вихревого диполя. Развивается акустическая неустойчивость и относительное движение вихрей диполя [1]. Линейная стадия этого процесса рассматривалась ранее, и было установлено, что одинаковые вихри расходятся [2], а вихри различной интенсивности и знака — сближаются, и происходит коллапс вихрей разного знака [2, 3]. В результате сближения — коллапса вихрей — интенсивность возмущения растет, и эффекты нелинейного звука становятся существенными. Этот процесс рассматривается в настоящей работе методом сращивания асимптотических разложений решения для диполя из точечных вихрей в несжимаемой жидкости и решения нелинейного уравнения Бюргерса в сжимаемой среде. При этом приняты во внимание эффекты цилиндрического расхождения волны и нелинейной эволюции профиля.
а2 = а[х1/(х1 + X 2)]- Энергия диполя определяется интенсивностями вихрей и зависит от расстояния а между ними:
Е = 2проХ1Х 2 1п(а/г). (2)
При этих обозначениях уравнение (1) в области
X > г > а (3)
дает асимптотическое соотношение вида
ф(г, 0,0 - Х1Х2 (а/г)2е(4) 2(Х1 + Х2)
которое можно рассматривать в качестве граничного условия для уравнения звуковой волны. Здесь X — длина звуковой волны. Соответственно радиальная составляющая скорости определяется соотношением [3]
\2 2i(<at-0)
_ дф _ a Х1Х2 а2i(mt-6)
(5)
у(г, 0, ^ = ^ =-—- е
дг 2(Х1 + х 2)г В области малых г радиальная скорость возрастает и нелинейные эффекты становятся заметными.
ВИХРЕВОЕ ПОЛЕ ДИПОЛЯ
Два вихря с интенсивностью соответственно Х1 и х2, (х = Г/2я, Г — циркуляция вихря) и угловой частотой вращения вокруг общего центра ю = = (х1 — х2)/а2, где а — расстояние между вихрями, в несжимаемой жидкости производят поток с потенциалом скорости [4]
ф(г,0,О = г'х11п(гею - а1е'ш) + г'х21п(гею - а2еш). (1) Здесь г и 0 — полярные координаты точки наблюдения, ? — время, в формуле (1) а1 = 4Х2/(Х1 + Х2)],
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ
Распространение звуковой волны конечной амплитуды описывается уравнением Бюргерса для скорости частицы V. В обобщенном виде это уравнение учитывает расхождение сферической или цилиндрической волны и выглядит так [4, 5]:
2
dv , v 6 dv ,д v --+ n---2 v— = b—2.
dr r c0 ду dy
(6)
Здесь г — "медленная" полярная координата; у = = ? — г/с0; ? — время; с0 — скорость звука; п = 1, 1/2, 0 для сферической, цилиндрической и плоской
396
НАУГОЛЬНЫХ
ау
-1.0 -0.5 и 0.5 1.0
1 1 —0.5 - 1 1 ш /
— 1.0 -
— 1.5 Б!
/ >/—2.0 -
/ —2.5 -
[ —3.0 -
Профили распределения скорости частиц в волне: Ш — начальное распределение, DI — нелинейно-деформированный профиль.
или, при г/г0 > 1,
^ = Г(юу\ р + 2о0Г '(ту), (12)
V 0 \г
так что линейно-акустический член цилиндрической волны убывает пропорционально 1/л/Т, а нелинейный член не меняется с расстоянием, нелинейные эффекты компенсируют цилиндрическое расхождение, и этот член — в рамках цилиндрической модели — в дальней зоне вносит основной вклад в излучение вихря.
Рассмотрим теперь решение уравнения Бюр-герса, удовлетворяющее граничному условию F(юy) в точке г = г0 и соответствующее сильным нелинейным эффектам. Уравнение простой волны эквивалентно характеристическому уравнению
юу = -zW + Г_1(ю у), (13)
где ^—1(юу) — функция, обратная F(юy). В размерной форме это уравнение принимает вид
волны соответственно; е = (у + 1)/2 — нелинейный параметр, где у = (дс 2/др)Др0/сд) + 1, р — плотность жидкости, индекс 0 указывает на равновесное значение величины; Ь — диссипативный коэффициент. В случае большого числа Рейнольдса,
Яе = еу/с2Ью > 1, где ю — круговая частота возмущения, диссипативным членом уравнения Бюргерса можно пренебречь, и получаем следующее уравнение в нормированном виде:
дw __ W еж = 0
(7)
дz ду
Для цилиндрической волны члены этого уравнения определяются соотношениями
z = 2а о
— -1
Ж(юу) =
(8)
^ о V —о
где а0 = 6Мкг0, М = Vс0 — число Маха, и к = ю/с0. Распространение расходящейся цилиндрической волны конечной амплитуды, заданной функцией Дюу) в точке г = г0, определяется уравнением простой волны:
Ж (ю у) = Г (ю у + zW). (9)
Рассмотрим сначала случай, когда нелинейные поправки малы и это уравнение приближенно может быть представлено в виде разложения
Ж(юу) « Г(юу) + zWF'(юу), (10)
где штрих обозначает производную функции Дюу). В размерном виде получается уравнение
— = Г (иу) + 2а0
V л —0
Г (иу)
(11)
Два члена в правой части уравнения определяются соответственно нелинейным эффектом и граничным условием. Особенности распространения нелинейного звука определяются безразмерным коэффициентом ст0 = еМкг0, который указывает, насколько нелинейный эффект, пропорциональный еМ, накапливается в процессе распространения. С уменьшением г0 скорость частиц V увеличивается (см. (5)) и число Маха растет. Решение (14) дает профиль волны юу^ /у0) на различных расстояниях г/г0 при заданном ст0. В качестве примера рассмотрим излучение вихрем звуковой волны, заданной граничным условием (5) и представленной на рисунке в виде функции безразмерной скорости и = V/у0 от безразмерной координаты юу. Начальное распределение скорости частиц и нелинейно-деформированный профиль представлены на рисунке кривыми Ш и Б1.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Излучение звука приводит к уменьшению энергии вихря, соответствующему изменению вихревого поля диполя и развитию акустической неустойчивости [1]. Линейная теория процессов акустической неустойчивости и эволюции вихрей, опубликованная в литературе, показывает, что в результате неустойчивости одинаковые вихри расходятся [2], а вихри различной интенсивности и знака — сближаются и происходит коллапс вихрей разного знака [3, 4]. В результате коллапса вихрей интенсивность возмущения растет, и эффекты нелинейного звука могут стать существен-
АКУСТИЧЕСКИМ ЖУРНАЛ том 60 № 4 2014
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ ПРИ СХЛОПЫВАНИИ ВИХРЕВОГО ДИПОЛЯ
397
ными. Этот процесс рассматривается в настоящей работе методом сращивания асимптотических разложений решения для диполя из точечных вихрей в несжимаемой жидкости и решения нелинейного уравнения Бюргерса в сжимаемой среде. При этом как эффекты цилиндрического расхождения волны, так и нелинейной эволюции профиля приняты во внимание. Показано, что линейно-акустический член цилиндрической волны убывает пропорционально 1/л/Т, а нелинейный член не меняется с расстоянием, так как нелинейные эффекты компенсируют цилиндрическое расхождение. В рамках цилиндрической модели этот член в дальней зоне вносит основной вклад в излучение вихря.
В заключение отметим, что процессы акустической неустойчивости обсуждались в Акустическом журнале в основном применительно к излучению звука струями (см. [8] и цитируемую в ней литературу). Об истории создания использованных выше нелинейных моделей подробно рассказано в историческом обзоре [9].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Broadbend E.G., Moore D.W. Acoustic destabilization of vortices // Philos. Trans. R. Soc. London Ser. A. 1979. V. 290. P. 353.
2. Кляцкин В.И. Звуковое излучение системы вихрей // Изв. АН СССР. ФАО. 1966. Т. 6. № 2. С. 87-92.
3. Копьев И.Ф., Леонтьев Е.А. Об акустической неустойчивости аксиального вихря // Акуст. журн. 1983. Т. 29. № 2. С. 192-198.
4. Гряник В.М. Излучение звука линейными вихревыми нитями // Изв. АН СССР. ФАО. 1983. Т. 19. № 2. С. 203-206.
5. Milne-Thomson L.M. Theoretical Hydrodynamics. Macmillan Company: New-York, 1957. Ch. 13.
6. Наугольных К.А. Поглощение звуковых волн конечной амплитуды / Мощные ультразвуковые поля. Под ред. Розенберга Л.Д. М.: Наука, 1968. 268 с.
7. Руденко О.В., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975. 287 с.
8. Копьев В.Ф., Беляев И.В., Зайцев М.Ю., Копьев В.А., Фараносов Г.А. Акустическое управление волнами неустойчивости в турбулентной струе // Акуст. журн. 2013. Т. 59. № 1. С. 19-30.
9. Руденко О.В. К 40-летию уравнения Хохлова-Забо-лотской // Акуст. журн. 2010. Т. 56. № 4. С. 452-462.
АКУСТИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ том 60 № 4 2014
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.