ЖЭТФ, 2012, том 142, вып. 4 (10), стр. 824 828 © 2012
НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ СИСТЕМЫ РЕАКЦИЯ-ДИФФУЗИЯ.
АМПЛИТУДНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Е. П. Земское*
Вычислительный центр им. А. А. Дородницына Российской академии наук 119333, Москва. Россия
Поступила в редакцию 15 февраля 2012 г.
Рассматривается система типа реакция-диффузия с нелинейным диффузионным членом. В рамках нелинейного анализа получены амплитудные уравнения для случаев, когда система обнаруживает неустойчивости Хопфа и Тьюринга. Определены области структур Тьюринга при сверх- и подкритической видах неустойчивости для двухкомпонентной системы реакция-диффузия.
1. ВВЕДЕНИЕ
Уравнения реакция диффузия математически описывают процессы формирования и распространения автоволн и образования диссипативных структур в неравновесных системах [1, 2]. Структуры в таких системах образуются при неустойчивости Тьюринга [3, 4] (Типгщ) в результате потери устойчивости основного состояния системы при достижении управляющим параметром некоторого критического значения. В окрестности критической точки для описания динамики системы вместо исходного реакционно-диффузионного формализма возможно использовать подход на основе так называемых амплитудных уравнений, получаемых в результате слабонелинейного анализа [4 8]. Во многих случаях [3,9,10] однако, коэффициент диффузии не является постоянной величиной. Это может иметь место, в частности, для некоторых химических систем, когда коэффициент зависит от концентраций участвующих в реакции реагентов [3, 11, 12]. Поскольку неустойчивость Тыоринга является диффузионной неустойчивостью, представляется интересным исследовать влияние различных зависимостей коэффициентов диффузии на такую бифуркацию. Целыо настоящей работы является применение слабонелинейного анализа систем реакция диффузия [5] к моделям с нелинейным диффузионным членом [11]. Для простоты и определенности в работе будет использована линейная зависимость коэффициента диффузии от концентрации. Данное исследование пред-
ставляет собой продолжение работы [13]. Таким образом , рассматриваемая реакционно-диффузионная система описывается следующим векторным уравнением:
87
(D + QZ)^
(1)
Здесь '/¿-мерные векторы 2 и Г обозначают соответственно концентрации компонент и реакционные функции, а В + С^ представляет собой матрицу коэффициентов диффузии, в которой В и считаются постоянными величинами.
Амплитудное уравнение, получающееся в результате слабонелинейного анализа системы (1), имеет вид
.'Л Г ОТ
= //1Г + ./infir + Л
ÖR2
(2)
* E-mail: zemskovö'ccas.ru, e.p.zemskovö'gmail.com
в котором функция W = 1Г( Т. I!) является комплексной амплитудой. В работе будут вычислены коэффициенты r/.g и D в случае, когда система обнаруживает неустойчивость Хопфа (Hopf) или Тыоринга [3, 4].
2. СЛАБОНЕЛИНЕИНЫИ АНАЛИЗ
При слабоиелииейиом анализе вводится отклонение (возмущение) X = Z — Zo от положения равновесия Zo, удовлетворяющего уравнению Т?(%1о) = 0. При этом система (1) может быть разложена в ряд следующим образом:
ЗХ
т
= ьх + мхх + ^хх ■
я
дх
дг
с*х
д2х
дг2
(3)
где в разложении удержаны члены до третьего порядка включительно. В линейном операторе
Б
дг2
(4)
матрица Л представляет собой якобиан. Квадратичный МХХ (гессиан) и кубичный NXXX члены имеют вид [5]
(МХХ)т = I ¿ д2р'А7,)
2! ^ д2ф2„ р,<7=1 ' <
ХрХд,
ъ=ъа
(5)
р.ц.гп =1,2,
№ХХ)т = - £
р,<7,8 = 1
д2г,д2ад2я
ъ=ъа
х ХрХдХй, р, (¡, н, т = 1,2,... ,п. (6)
На следующем шаге вводятся новые, скейлинго-вые, временная Т и пространственная Я переменные, связанные со старыми переменными посредством соотношений Т = /¡1 и Я = //1/2г. Мера скейлиига // выбирается как отношение // = = (ф — Фсги)/Фсги* где Ф является управляющим параметром системы с некоторым критическим значением Фсги, при котором система теряет устойчивость. С учетом этого производные по времени и пространству преобразуются как [4]
д_
т
д_
т
и
д_
д_
дг
д_
дг
и
1/2
д_
дя'
(7)
а разложение операторов Н = {Л,М,1чГ} в ряд по степеням // есть [5]
Н = Н0 + //Н1 + //2Н2
(8)
в то время как возмущение X раскладывается следующим образом [5]:
X = //1/'2Х1 + //Х2 + //3/2Х3
О)
Подстановка всех разложений в (3) и компоновка членов с одинаковыми степенями // дает набор уравнений
'д_ .о*
X, = в.
/ = 1.2....
(Ю)
Здесь Ьо = Л о + ТУд2/дг2, где якобиан нулевого порядка вычисляется исходя из уравнения (8) применительно к якобиану как Л о = Л 1^=0, а первые три правые части (10), отвечающие соответственно правым частям при членах со степенями у/1/2, // и //3/2, имеют вид В1 = 0 (дает линейное уравнение для возмущения первого порядка Х1),
В, = 2Б
д2Х! дгдя
• М0Х1Х1 (дХ1
V дг
с*х
&2Хг дг2
(Н)
в, =
дх,
^1X1 +Б
д2Х,
2Б
д2х2
дт дя2 дгдя
+ 2М0Х1Х2 + N0X1X1X1 +
2С*
дХг дх2
дг дг
с*х
д2х2
с*х
+ 20, д2х.
дХг дХг
дг дя + 2ЦХ
д2х,
(12)
дг2 " дг2 дгдя
В последнем выражении якобиан первого порядка вычисляется также исходя из (8): Л1 = (с13/с1(1)11=о.
Кубическое амплитудное уравнение получается из условия разрешимости [14] для третьего порядка разложения [51, и*в!,1) = о, где и* обозначает левый собственный вектор (вектор-строка) матрицы Ьо, а верхний индекс "1" при Вз показывает, что удерживаются только члены с первой гармоникой. Дальнейшие шаги требуют знания конкретной формы возмущений, которая зависит от типа неустойчивости. В системах реакция диффузия основными типами являются неустойчивости Хопфа и Тыорин-га [3, 4].
2.1. Неустойчивость Хопфа
Для неустойчивости Хопфа, возникающей при достижении некоторого критического значения частоты и)с, возмущение первого порядка представляется как [5]
XI = ииУШо' + /2 = -1, (13)
где и есть правый собственный вектор (вектор-столбец) матрицы Ь0, а черта сверху обозначает комплексное сопряжение. Здесь необходимо помнить, что собственные векторы зависят от параметров системы (1), но не зависят от г,1,Я и Т.
Возмущение второго порядка содержит нулевые, первые и вторые гармоники, т. е. [5]
Х2 = У0 + Ую™*' + У2е2'и1°1 +
+ У1е~1ш°'+У2е~21ш°'. (14)
Е. П. Земсков
ЖЭТФ, том 142, вып. 4(10), 2012
При этом векторы V являются функциями амплитуд IV и IV и не зависят от г и Т. Они могут быть найдены из уравнения для второго порядка разложения (10) с правой частью (11).
Поскольку возмущения Х1 и Х-2 но зависят от г, правые части (11) и (12) становятся равными соответственно
В2 = MQXiXI,
(15)
Таким образом, амплитудное уравнение имеет следующие коэффициенты:
т/ = U*JiU,
(22)
по структуре совпадающий с формулой в случае неустойчивости Хопфа, но в силу пространственной зависимости Ьо при неустойчивости Тыорпнга имеющий отличные собственные векторы, и
В, =
дХг
' ат
• JiXi
D
a2Xi dR2
2M0XiX2 + N0X1X1X1. (1G)
Отсюда видно, что результаты совпадают с формулами, полученными Курамото (Кигапкйо) [5], если в последних провести замену В В, т.е. получается амплитудное уравнение
= '/И" + .#П2И- + Р^г (17) с коэффициентами
V = и*г>и,
д = 2и*М0иУ0 + 2и*М0иУ+ + Зи*^1ЛШ, // = и* «II и.
2.2. Неустойчивость Тьюринга
В случае неустойчивости Тыоринга с соответствующим критическим волновым вектором кс возмущения имеют схожий со случаем Хопфа вид:
X, = UliV1' '' + Uir. d
(18)
Х-2 = V0 + Vieik'r + V2e2ik°r Ti
Vie-ik<r + V2p-2ik'r. (19)
Теперь в силу их зависимости от г второй порядок разложения дает следующие результаты:
д = 2и*М0иУ0+2и*М0иУ++Зи*]Ч0иии-
- А-;2и*ду0и - А-2и*с*у+и. (23)
Фактически, все Q-вклaды в (23) обеспечиваются членом С^Х2(<92Х1/<9г2) из (12), поскольку вклады для первых гармоник в членах 2Ц(дХг/дг)(дХ2/дг) и ЦХ^д^/дг2) взаимно уничтожаются, а два квадратичных по Х1 члена
2СКдх1/дг)(дх1/дщ и 20,х1(д2х1/дгдщ но
содержат первых гармоник вообще.
3. ДВУХКОМПОНЕНТНАЯ СИСТЕМА
В этом разделе анализ будет применен к произвольной двухкомпонентной системе в случае неустойчивости Тыоринга. Матрицы Б и С) в настоящей работе полагаются диагональными, т.е. система описывается следующими уравнениями:
ди д2и ¿5 ди
— — /'| (II. с) + иц——г + С^Ц— и — от огг иг \ от
до д20 д ( дг<
— = ((./,(.•) + £>22 -ГТ + Ч22ТГ ''ТГ от огг иг \ от
Собственные векторы имеют вид
(24)
U =
а
U* =
1
1 + ад
(1 ,f))e
гксг
(25)
где
а =
Lï 1
¿21
L%2
L%2
-11 "vi ¿11 "iv
in in • fi f 0 in (-Q)
L%2
L%2
V0 = — 2 J q 1 Mo U U11Ф' |2 = V,)|H*|".
(20)
Г 0 _ r 0
<r~rt il r>
h2 П Л
«. 1 -' inr ' n
m. 11 = 1.2.
(27)
У2 = _(Л0 ^4А-2Е>)-1(М0ии -
- 2А-2С*ии)И"2 = У+И"2. (21)
Вектор VI и, как следствие, Т> определяются особо, что будет продемонстрировано для случая двухкомпонентной системы ниже.
Здесь Jjjf :j элементы якобиана Jo, a 6mn = 1 при m = п и 6тп = 0 при m ф п. Следовательно,
Du = D11 + Qni/o, D 22 = D22 + ¿?22<'(ъ
где i/o и t'o удовлетворяют равенству Fi (i/o, t'o) =
= F2(U0,V 0) = 0.
Поэтому возмущения могут быть записаны как
X! = ( = ) [ИУ*°Г + , (28)
Х2 =
«о
и1 ] гксг
Ьг '
„2гксг
с.с. (29)
и из уравнения (11) для второго порядка можно найти коэффициенты
1
«о = Ьо =
I
«2 =
(1е1 Л о 1
Сл .7.?, — ( г-> ) |И
(1е1 Л,
«о|И"
Ст-2 - ) |И'|2 = ¿о|И'|2
(30)
1
(С1Ф22 - С2Ф12) И'"2 = а2И'":
сЫ Ф
Ь2 = (Ст2Фц - СпФ21) И"2 = 6.1 Г
(31)
сЫ Ф
где
(32)
(7—1 рии , I рт _ о ;.2 о
и„ — 2 п т п т 2 "
П --I 2 (I /' . I О! /' ;
и элементы матрицы Ф есть
Ф —г — 41- Г) Л
^ш» — •-'тп 4"с1/вв|%П'
В формулах 1%"'" обозначает вторые частные производные функций по переменным « и и, вычисленные при критическом значении управляющего параметра, т.е. при //. = 0. Коэффициенты щ и ¡>1 связаны посредством соотношения
ШсБц д\¥ ШсаГ)22 д\¥ ащ — и 1 =-^--= -—--(33)
•Л02 дВ
Ь%, дН
где были введены обозначения
91 = (Р^+аР^'+вЕГ+авЕ^'^СЫх х («о+«2 )+(Е1и1'+пЕ1'1'+вЕГ+пвЕР' -
~ + ¿2), (37)
С)2 = Е1иии + вЕ?ии + За(Е1ии1' + вЕ?и1') + + Зп'2(Г1""" + + п3(Е1'1'1' + ¡Щ
Используя выражение (36) для д, можно найти области существования структур Тыоринга. Знак д при этом определяет сверхкритическую (д < 0) и подкритическую (д > 0) неустойчивости Тыоринга. В частном случае при линейных реакционных функциях 1*1 и 1<2 коэффициент д становится равным
.9 =
1 + ав
Тогда
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.