РАСПЛАВ Ы
2 • 2014!
УДК 536.421.4
© 2014 г. Д. В. Александров1, И. В. Александрова, А. А. Иванов, А. П. Малыгин, И. Г. Низовцева
НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ ЗАТВЕРДЕВАНИЯ С ОБЛАСТЬЮ ФАЗОВОГО ПЕРЕХОДА
Выполнен нелинейный анализ устойчивости процесса квазистационарного затвердевания с двухфазной зоной. Найдены амплитуды колебаний фундаментальной и боковых гармоник возмущений скорости кристаллизации и концентрации примеси, частота колебаний, параметр надкритичности и средний период слоистого распределения примеси в твердой фазе. Определена область применимости нелинейной теории устойчивости затвердевания с областью фазового перехода.
Ключевые слова: затвердевание, двухфазная зона, динамическая устойчивость, нелинейный анализ.
ВВЕДЕНИЕ
Довольно часто при затвердевании материалов между чисто жидкой и твердой фазами образуется двухфазная зона. Например, это может наблюдаться при отливании слитков, которое происходит через зону двухфазного состояния вещества. Указанная область определяет все основные характеристики процесса кристаллизации. Образование такой зоны является реакцией системы на возникновение неустойчивости плоского фронта [1—5] и появление концентрационного переохлаждения [6—10]. Поскольку в зоне двухфазного состояния наблюдается рост дендритных структур и элементов твердой фазы в виде растущих зародышей, то выделяемая ими скрытая теплота затвердевания приводит к тому, что концентрационное переохлаждение будет частично сниматься. Обычно на практике концентрационное переохлаждение не достигает больших значений и составляет менее 10 градусов Цельсия [11]. При затвердевании жидких сталей, водных растворов или расплавов, в которых присутствуют инородные катализаторы кристаллизации, рост элементов твердой фазы происходит настолько интенсивно, что переохлаждение в двухфазной зоне будет полностью снято [12]. Для таких процессов затвердевания была разработана теория квазиравновесной двухфазной зоны [13—23].
Уравнения, описывающие процессы тепло- и массопереноса в двухфазной зоне являются сложными нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных. Граничные условия к этим уравнениям ставятся на двух подвижных границах, положение которых заранее неизвестно. Таким образом, задача об определении полей температур и концентрации в двухфазной зоне, ее размеров и положения представляет собой очень сложную нелинейную систему теплофизических уравнений. В работах [15—23] определены точные аналитические решения, описывающие квазистационарный режим кристаллизации с областью фазового перехода. Затем были разработаны методы нахождения приближенных аналитических решений для автомодельного и существенно нестационарного процессов затвердевания [24—32].
После определения точных и приближенных решений уравнений квазиравновесной двухфазной зоны возник вопрос об исследовании их устойчивости. Известно, что разные типы неустойчивости ответственны за формирование различных типов неод-
1Отйп.А1ехапдгоу@ши.ги.
нородного распределения примеси в твердой фазе затвердевающих материалов. Так, морфологическая неустойчивость ответственна за образование ячеистых неоднород-ностей [33—36]. Кроме ячеистых структур, в экспериментах наблюдается поперечная примесная слоистость (слоистая ликвация, возникающая в направлении, перпендикулярном затвердеванию). В статье [37] высказана мысль о том, что слоистая ликвация обусловлена неустойчивостью движущегося фронта кристаллизации по отношению к малым возмущениям его скорости. В результате развития неустойчивости в процессе устанавливается новый нестационарный режим направленного затвердевания. Указанная идея подтверждена в [38, 39], а в [40, 41] показано, что динамическая неустойчивость фронта кристаллизации тесно связана с особенностями фазового перехода на фронте. В работе [42] был проведен линейный анализ динамической устойчивости квазистационарного процесса кристаллизации с двухфазной зоной. Эта теория показала, что существуют определенные значения параметров системы, когда процесс затвердевания становится неустойчивым. При этом в областях неустойчивости возможно образование слоистой ликвации примеси, для определения параметров которой необходимо проведение нелинейного анализа.
Теория нелинейной устойчивости берет начало с классических экспериментов [43, 44] по изучению течений жидкости, в которых было показано, что при определенных соотношениях между внешними параметрами процесса возможны разрушение ламинарного течения и, как следствие, формирование турбулентности. Такое явление вызывается разрушением одного режима и отвечает за формирование другого режима течения. В работах [43, 45] показывается, что одно состояние теряет устойчивость и переходит в другое состояние при изменении управляющих процессом параметров системы (бифуркация решений).
Последовательность бифуркаций может экспериментально вызвать достаточно сложное, но не турбулентное, течение [45]. Такие бифуркации в приложении к уравнениям переноса могут быть созданы, например, конвекцией [46], вызываемой плавучестью, градиентами поверхностного натяжения [47] и другими причинами. Основная идея нелинейной теории заключается в представлении неизвестной величины в виде разложения в ряд по отдельным гармоникам роста возмущений. Последующее изложение детально демонстрирует этот метод, впервые предложенный в работах [48, 49] применительно к течениям жидкости, [50, 51] применительно к тепловой конвекции и [52] применительно к затвердеванию.
В случае процессов кристаллизации от охлаждаемой границы, плоский фронт часто становится неустойчивым благодаря действию концентрационного переохлаждения. Результатом такого процесса является появление области двухфазного состояния вещества, разделяющей чисто жидкую и твердую фазы. Внутренняя структура такой области представляется достаточно сложной и в общем случае определяется растущими в переохлажденном окружении элементами твердой фазы, выступами преимущественного роста границы фазового перехода, течениями расплава, конвекцией, кинетикой частиц и многими другими факторами. Конвекция расплава может оказывать существенную роль на процесс кристаллизации в случае затвердевания системы, охлаждаемой снизу, когда формируется градиент плотности. В этой ситуации необходимо учитывать взаимодействие трех факторов: конвекции, тепломассопереноса и затвердевания. Такое взаимодействие может полностью (по сравнению со стандартной фронтальной моделью, не учитывающей двухфазную зону) изменять процесс формирования твердой фазы как внутри зоны концентрационного переохлаждения, так и в твердом материале. Примером такого взаимодействия является формирование трубчатых структур в двухфазной зоне. Эти структуры представляют собой локализованные каналы, не содержащие твердого вещества, через которые циркулирует жидкость. Такие каналы наблюдались в большом количестве экспериментов [53—55] (см. также теорию работ [56—58]).
Наблюдения каналов в двухфазной зоне сфокусировали теоретические исследования на основных модах развития неустойчивости. Например, в статье [59] предложена модель двухфазной зоны и проанализирован предельный случай (зона моделировалась как не вступающая в реакции пористая среда). В работе [60] исследована линейная устойчивость конвекции и определены две направленные моды развития неустойчивости. В [61] проведен линейный анализ устойчивости, учитывающий временную зависимость процесса и конвекцию. Здесь также показано, что влияние конвекции в чисто жидкой фазе может считаться пренебрежимо малым. Исследования [60] были развиты в работе [62], где показано, что стабилизирующим является фактор всплытия примеси в жидкой фазе, а две устойчивые конвективные моды могут разделить направление колебательной неустойчивости. Это — первый теоретический анализ в смысле определения колебательных мод развития неустойчивости для модели двухфазной зоны. Нелинейный анализ устойчивости конвекции в двухфазной зоне был изучен только в приложении к устойчивым модам эволюции неустойчивости. В работе [63] такой слабо нелинейный анализ был выполнен для изучения конвекции в двухфазной зоне при вертикальном расположении системы твердая фаза—двухфазная зона—жидкая фаза (снизу вверх). Этот анализ обнаружил возможное формирование нелинейных устойчиво-конвективных состояний в двухфазной зоне. В [64] этот анализ развития неустойчивости был расширен с учетом возможных дополнительных физических эффектов и взаимодействий в двухфазной зоне. Основным результатом проведенного в статье [64] нелинейного анализа устойчивости является определение системы уравнений для амплитуд возмущений, которые допускают возможность реализации колебательной неустойчивости.
Все упомянутые выше работы, посвященные исследованию неустойчивости кристаллизации с двухфазной зоной, безусловно, внесли значительный прогресс в развитие методов нелинейного анализа устойчивости и позволили ответить на ряд важнейших вопросов. Однако эти работы обладают существенными недостатками. Один из них заключается в том, что решения, определяющие основной режим затвердевания, строятся либо численными, либо приближенными методами. Это вызвано тем, что исходная система уравнений и граничных условий, описывающая тепло- и массопере-нос в двухфазной зоне, является чрезвычайно сложной нелинейной системой и имеет две подвижные границы. Другой недостаток: при проведении анализа неустойчивости не возмущается протяженность двухфазной зоны. Однако, как это легко понять, толщина двухфазной области при той или иной реализации процесса всегда будет величиной, претерпевающей возмущения, благодаря возмущениям движущихся границ системы. Настоящая работа, в отличие от цитируемых выше, посвящена построению нелинейной теории с учетом устранения упомянутых недостатков.
НЕЛИНЕЙНЫЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ
Нелинейный анализ кристаллизации с двухфазной зоной, изложенный ниже, базируется на результатах линейной теории статьи [42]. В качестве исходной системы для построения нелинейной теории будем использовать систему уравнений (11), (12) и граничных условий (13)—(18), записанных в безразмерных пере
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.