ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 10, с. 1701-1705
УДК 519.633
НЕЛИНЕЙНЫЙ ИСТОЧНИК В ДИФФУЗИОННЫХ МЕТОДАХ ФИЛЬТРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ1*
© 2007 г. Г. В. Борисенко, А. М. Денисов
(119992 Москва, Ленинские горы, МГУ, ВМК) e-mail: gborisenko@gmail.com, den@cs.msu.su Поступила в редакцию 14.05.2007 г.
Предлагается алгоритм диффузионной фильтрации изображений, основанный на решении начально-краевой задачи для двумерного уравнения диффузии со специальным нелинейным источником. Библ. 9. Фиг. 10.
Ключевые слова: уравнение диффузии, нелинейный источник, фильтрация изображений.
Алгоритмы обработки изображений, основанные на решении смешанных задач для уравнения диффузии, имеют широкую область применения. Основная идея подобных алгоритмов состоит в том, что решение задачи Коши для двумерного уравнения диффузии с постоянным коэффициентом эквивалентно свертке начального условия с функцией Гаусса. Таким образом, в результате решения задачи Коши с начальным условием /(х, у), представляющим собой исходное изображение, в некоторый момент Т получается сглаженное изображение. Таким же фильтрующим свойством будет обладать и решение смешанной задачи в ограниченной области, на границе которой задано подходящее краевое условие. Так как процесс диффузии локально определяется значением коэффициента диффузии, то, выбирая тот или иной вид этого коэффициента, можно добиться появления у алгоритма свойств, полезных для решения задач, возникающих при обработке изображений. В настоящее время существует большое количество методов диффузионной фильтрации изображений, основанных на выборе различных типов коэффициентов диффузии (см., например, [1]-[7]).
Цель данной работы состоит в том, чтобы показать, что диффузионные методы обработки изображений могут быть модифицированы на основе введения в уравнение диффузии нелинейного источника специального вида.
1. ДИФФУЗИОННЫЙ ФИЛЬТР С НЕЛИНЕЙНЫМ ИСТОЧНИКОМ
Пусть в прямоугольной области О, где О = {(х, у), 0 < х < а, 0 < у < Ь}, задана функция/(х, у), определяющая исходное монохромное изображение. Рассмотрим задачу для уравнения диффузии:
ut = D Au - Qj(x, y; u)u, (x, y) e D, t > 0, u I r = 0, t > 0, Г = Эй,
(1) (2)
и(х, у, 0) = /(х, у), (х, у) е О, (3)
где В1 - постоянный коэффициент диффузии, а функция ^(х, у; и) описывает нелинейный источник. Краевое условие (1) соответствует предположению, что вблизи границы области О нет элементов полезного изображения. Функция ^(х, у; и) определяется следующим образом. Пусть (х, у) -произвольная точка области О. Обозначим через 0(х, у) некоторую малую окрестность точки (х, у). В качестве 0(х, у) можно взять круг фиксированного радиуса с центром в точке (х, у) или квадрат с фиксированной стороной и ориентацией и центром в (х, у). Тогда имеем
Qi(x,y; u) =
1
X J u(s, p, t)dsdp
O( x, y)
24-1
X> 0,
(4)
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 05-01-00231).
1701
1702
БОРИСЕНКО, ДЕНИСОВ
где
и(я, р, г)
и (я, р, г), (я, р )еА , 0, (я, р .
(5)
В качестве отфильтрованного изображения берется решение и(х, у, Т) задачи (1)-(3) в некоторый момент времени Т.
Опишем область возможного применения метода диффузионной фильтрации, определяемого начально-краевой задачей (1)-(3). Пусть исходное изображение /(х, у) представляет собой некоторое полезное изображение, искаженное высококонтрастным шумом. Если для фильтрации подобного изображения применить простой диффузионный метод, определяемый задачей (1)-(3) с в1(х,у; и) = 0, то управляющим параметром алгоритма является только величина Б2Т. При этом большие значения Б2Т, при которых интенсивность шума будет существенно снижена, приводят к искажению полезной информации на изображении. Действие нелинейного источника ^(х, у; и)и состоит в следующем. В тех точках (х, у), в малой окрестности которых содержится много точек полезного изображения, величина интеграла
велика и функция 01(х, у; и) близка к нулю. Следовательно, в этих точках действие источника незначительно. В тех же точках (х, у), в окрестности которых находится только шум, величина интеграла (6) мала и функция 2х(х, у; и) оказывает существенное влияние на уменьшение величины решения и(х, у, г) в точке (х, у), действуя как "отрицательный источник". Положительная постоянная X является параметром фильтра.
Приведем пример, иллюстрирующий результат работы алгоритма, определяемого задачей (1)-(3). При численной реализации данного метода смешанная задача решается на основе неявной разностной схемы из [8]. Значения <2х(х, у; и) вычисляются на предыдущем слое по времени. Для вычисления двукратного интеграла (6) строится кубатурная формула второго порядка аппроксимации с использованием 9-точечного шаблона (см. [9]).
На фиг. 1 приведено исходное зашумленное изображение /(х, у), на фиг. 2 - результат фильтрации, полученный при решении линейной задачи (1)-(3) с ^(х,у; и) = 0, а на фиг. 3 - результат фильтрации, соответствующий решению нелинейной задачи (1)-(3) с 01(х,у; и), определяемой по формуле (4).
В расчетах предполагалось, что интенсивность изображения меняется от нуля до 255, причем ноль соответствует белому цвету. Величина Б2Т в линейном и нелинейном случаях одинакова. Параметр имеет значение X = 0.01. В качестве окрестности интегрирования 0(х, у) выбран квадрат с центром в точке (х, у) и со стороной в три пикселя. Приведенный пример показывает, что нелинейный источник 01(х, у; и)и оказывает существенное положительное влияние на удаление шума.
Рассмотрим другой вариант нелинейного источника. Вследствие того что в приведенной постановке коэффициент 01(х, у; и) всегда больше нуля, нелинейный "отрицательный источник" действует в каждой точке изображения. Соответственно, наряду с уменьшением интенсивности высококонтрастного шума предложенный диффузионный фильтр уменьшает и интенсивность полезных объектов. В некоторых случаях при больших значениях Т этот эффект может приводить к снижению контрастности изображений. Чтобы избежать потерь интенсивности объектов при фильтрации и увеличить контраст, модифицируем алгоритм, выбрав функцию, определяющую нелинейный источник, в следующем виде:
(6)
0( х, у)
оху/
где и (я,р, г) имеет вид (5), а функция Я(£) такова, что верно следующее:
ВД> 0, г е [0, 2о), ВД < 0, г е [г0, 21 ], ВД = 0, г й[ 0, 21 ].
НЕЛИНЕЙНЫЙ ИСТОЧНИК В ДИФФУЗИОННЫХ МЕТОДАХ ФИЛЬТРАЦИИ
1703
Фиг. 1.
Фиг. 2.
Фиг. 3.
Величина определяется как значение квадрата интеграла (6) по области, в которой все точки имеют максимальную интенсивность. Другими словами,
J u(s, p, t)dsdp
\2
Ю (x, y)
< Z1 V( x, y )e Q.
Рассмотрим действие функции Q2(x, y; u) в алгоритме диффузионной фильтрации изображений. В тех точках (x, y) области Q, где 0 < (J U(s, p, t)dsdp)2 < Z0, имеем Q2(x, y; u) > 0. Следо-
J о(x,y)
вательно, в них располагаются "отрицательные источники". При фильтрации член Q2(x, y; u)u будет существенно уменьшать интенсивность в таких точках. Величина параметра Z0 определяет порог отсечения шума. Варьируя значение этого параметра, можно делать алгоритм более или менее чувствительным к зашумленности фильтруемого изображения f(x, y). В то же время если величина интеграла в окрестности некоторой точки лежит в интервале Z0 < (J^ ^ u(s, p, t)dsdp)2 < Zb то
считаем, что эта точка принадлежит полезному объекту. Функция Q2(x, y; u) в этом случае неположительная, а значит, в рассматриваемой точке либо расположен "положительный источник", либо Q2(x, y; u)u = 0. Это соответствует тому, что полезные объекты на изображении усиливаются или остаются без существенных изменений. Вид функции R(z) является управляющим параметром данного метода.
Результаты работы фильтров можно проиллюстрировать на следующем примере. На фиг. 4 представлено исходное зашумленное изображение. На фиг. 5 и 6 приводятся результаты фильтрации методами, основанными на решении задачи (1)-(3), с функциями Qi(x, y; u) и Q2(x, y; u), определяемыми (4) и (7) соответственно.
Функция R(z) была выбрана в виде
R(z) = A cos(BX2z)(1+ X2z), z e [0, (2288)2], R(z) = 0, z £ [0, (2288)2]. Значение параметра D2T одинаково. Параметр X = 0.001 для обоих методов, A = 3, B = 0.009.
2. АНИЗОТРОПНЫЙ ДИФФУЗИОННЫЙ ФИЛЬТР С НЕЛИНЕЙНЫМ ИСТОЧНИКОМ
Линейный фильтр (1)-(3) с Q1(x, у; и) = 0 является самым простым диффузионным фильтром. При фильтрации он не учитывает информацию ни об интенсивности объектов, ни о направлении контуров. Существует класс изображений, на которых полезными объектами являются достаточно тонкие и поврежденные линии. Для их фильтрации нужно использовать алгоритмы, учитывающие локальные направления линий. Одним из наиболее эффективных алгоритмов обработки таких изображений является анизотропный диффузионный фильтр, предложенный в [6]. Этот фильтр построен таким образом, чтобы уменьшать диффузию в направлении, перпендикулярном линиям, тем больше, чем сильнее выражена их граница. С другой стороны, диффу-
1704 БОРИСЕНКО, ДЕНИСОВ
Фиг. 4. Фиг. 5. Фиг. 6.
зия вдоль границы продолжается, фильтруя шум без разрушения контура. Чтобы использовать при фильтрации информацию о направлении линий, в качестве коэффициента диффузии выбирают матрицы специального вида.
Анизотропный алгоритм диффузионной фильтрации описывается следующей задачей:
щ = Шу (Н( и )хУ и), (х, у) е О, г > 0,
и|г = 0, г > 0, Г = ЭО, (8)
и (х, у, 0) = /(х, у), (х, у) е О. Коэффициент диффузии выбирают в виде матрицы, зависящей от решения
Н( и) =
.2 , л2
и х + и у
ё (IV и|2) и2 + иу (ё (|У и|2) - 1) йхйу
22
(ё(IVи\ ) -1)йхиу их + ё(IVи| )и
где
ё (5) =
1
1 + 5 / М
М> 0,
и(х, у, г) = [ [и(р, г)ехр( ———5 ) +2(у—— ]dsdp, а> 0,
па ^ ^ V а '
я
а и (5, р, г) определяется формулой (5).
Этот фильтр сам по себе уже является достаточно эффективным, однако добавление в него нелинейного источника помогает дополнительно улучшить его свойства. Несмотря на то, что в анизотропном фильтре размытие границ мало, оно все-таки происходит. При этом с увеличением времени фильтрации из-за нечеткости контура скорость размытия увеличивается. С другой стороны, сглаживание вдоль повреж
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.