ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 10, с. 1706-1726
УДК 519.633
НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ е-РАВИОМЕРИОЙ СХОДИМОСТИ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ С ДВИЖУЩИМИСЯ ПОГРАНИЧНЫМИ СЛОЯМИ1}
© 2007 г. Г. И. Шишкин
(620219 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16, ИММ УрО РАН) e-mail: shishkin@imm.uran.ru Поступила в редакцию 20.04.2007 г.
Рассматривается сеточная аппроксимация краевой задачи для сингулярно возмущенного параболического уравнения типа реакции-диффузии в области с границами, движущимися в сторону положительного направления оси х. При малых значениях параметра е (параметра
при старших производных уравнения; е е (0, 1]) в окрестности левой боковой границы Sf появляется движущийся пограничный слой. В случае стационарных пограничных слоев классические разностные схемы на кусочно-равномерных сетках, сгущающихся в слоях, сходятся е-равномерно со скоростью O(N_1lnN + N0), где величины N и N0 определяют число узлов сетки по х и t. Для рассматриваемой задачи классические разностные схемы на основе равномерных сеток сходятся лишь при условии N-1 + Nq1 <§ е. Оказывается, что в классе разностных схем на основе прямоугольных сеток, сгущающихся по х и t в окрестности множества slf , сходимость при условии N-1 + N,-1 < е1/2 недостижима. Рассмотрение поперечников, аналогичных
поперечникам по Колмогорову, позволило установить необходимые и достаточные условия для е-равномерной сходимости аппроксимаций решения краевой задачи. С использованием этих условий строится схема, сходящаяся е-равномерно со скоростью O(N_1lnN + N0). Библ. 18.
Ключевые слова: краевая задача для параболических уравнений, возмущающий параметр е, параболическое уравнение реакции-диффузии, разностная аппроксимация, движущийся пограничный слой, поперечники по Колмогорову, е-равномерная сходимость.
1. ВВЕДЕНИЕ
Для сингулярно возмущенных краевых задач хорошо известна проблема разработки специальных сеточных методов, погрешность решений которых слабо зависит от величины параметра е, в частности методов, сходящихся е-равномерно (см. [1]-[4]). В настоящее время достаточно хорошо разработан метод построения е-равномерно сходящихся схем на специальных сетках -сетках, априорно сгущающихся в пограничных слоях (см., например, [2], [5]-[8] в случае уравнений в частных производных и обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [9])). Методы, использующие кусочно-равномерные сетки, сгущающиеся в пограничных слоях, получили достаточно широкое распространение ввиду их простоты и удобства в использовании (см., например, [5]-[8] и библиографию там же).
Заметим, что специальные численные методы для сингулярно возмущенных параболических уравнений практически рассматривались лишь для задач со стационарными пограничными и внутренними слоями. Отметим специфику в построении специальных разностных схем в случае движущихся пограничных и внутренних слоев. Для начальной сингулярно возмущенной задачи с движущимся сосредоточенным источником, в окрестности которого появляется движущийся внутренний слой, в [10]-[12] построены специальные разностные схемы, сходящиеся е-равно-
1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 07-01-00729, 04-01-89007-НВ0_а), Нидерландской организации научных исследований NWO (проект < 047.016.008), Булевского центра исследований по информатике (BCRI) Национального университета Ирландии г. Корк, а также MACSI - Ассоциации по приложениям математики в науке и технике в Ирландии по математической инициативе Ирландского научного фонда (Mathematics Applications Consortium for Science and Industry in Ireland (MACSI) under the Science Foundation Ireland (SFI) mathematics initiative).
1706
мерно. При построении схем в окрестности траектории движущегося источника использовались сетки, сгущающиеся по оси х и не являющиеся прямоугольными. В связи с достаточной сложностью таких схем возникает интерес к методам построения более простых разностных схем, а также к альтернативным численным методам (методам на апостериорно адаптирующихся сетках), сходящимся е-равномерно.
В случае сингулярно возмущенных задач с движущимися пограничными и внутренними слоями исследование условий, являющихся необходимыми и достаточными для е-равномерной сходимости численных методов, представляется актуальной проблемой.
В настоящей работе рассматривается краевая задача для сингулярно возмущенного параболического уравнения типа реакции-диффузии в области с движущимися границами, скорость движения которых направлена в сторону положительного направления оси х. При малых значениях параметра е в окрестности множества Sl - левой части боковой границы - появляется движущийся пограничный слой. Для краевой задачи строится разностная схема, сходящаяся е-рав-номерно.
Заметим, что классические разностные схемы на основе равномерных сеток для задач такого типа сходятся лишь при условии Ы^1 + Ы01 < е, где величины N и N0 определяют число узлов сетки по переменным х и t (см. утверждение теоремы 2). Оказывается, что в классе разностных схем
на основе прямоугольных сеток, сгущающихся по х и t в окрестности множества Sl, не существует схем, сходящихся уже при условии Р01 ~ е, где Р0 - число узлов используемых сеток, Р0 ~ NN (см. утверждение теоремы 3).
Для того чтобы найти условия, необходимые для е-равномерной сходимости схем на адаптирующихся сетках, исследуются поперечники, аналогичные поперечникам по Колмогорову. Рассмотрение поперечников позволило установить условия, накладываемые на триангуляцию области, как необходимые, так и достаточные для е-равномерной сходимости оптимальных аппроксимаций решений краевой задачи при Р —► где Р - число узлов, используемых в триангуляции (см. утверждения теорем 4-10 и их обсуждения в разд. 6, 7). Из условий, необходимых для е-равномерной сходимости оптимальных аппроксимаций решений в случае криволинейной границы Sl следует, что для е-равномерной сходимости схемы необходимо использовать сетки, являющиеся в окрестности движущегося пограничного слоя существенно анизотропными, согласованными с границей Sl в ее окрестности. Такого типа сетки соответствуют прямоугольным сеткам, сгущающимся в окрестности пограничного слоя для краевой задачи, записанной в системе координат, в которой граница Sl переходит в отрезок прямой, параллельной оси t. С использованием таких специальных сеток строится разностная схема, сходящаяся е-равномер-
но со скоростью 0(Ы-11пЫ + Ы-1).
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ЦЕЛЬ ИССЛЕДОВАНИЯ
2.1. В области О с границей S = О\О, где
О = {(х, t) : р1 (t)< х <р2(t), t е (0, Т]}, (2.1)
рассмотрим краевую задачу для сингулярно возмущенного параболического уравнения
Ьи( х, 0 = ]е -^Ц-д-р (х, t) = /(х, t), (х, t )е О,
[ дх дt(2.2)
и(х, t) = ф(х, t), (х, t) е S. Здесь/(х, (х, 0 е О, ф(х, (), (х, () е £ Р,-(0, t е [0, Т], , = 1, 2, - достаточно гладкие функции, удо-
влетворяющие условиям
f(X, t)|<M, (x, t) e G; |ф(x, t)| <M, (x, t)e S; 0 < vo <(d/dt)ß1 (t)S Vi(t)< v0, mi <ß2(t) - ßi(t)<Mi, (2.3)
t e [0, T], i = 1, 2,
причем ß1(0) = 0, ß2(0) = d; e - параметр, принимающий произвольные значения из полуинтервала (0, 1]; производные ß' (t) определяют скорость движения боковых границ. Считаем, что граница
S состоит из множеств SL и S0: S = S0^SL, где SL - боковая граница, SL = Sl^s2l , S1 и s2l - соответственно, левая и правая границы множества G, S0 - нижнее основание множества G, S0 = S0.
-L
Считаем, что на множестве Sc = S0 ^ S - в угловых точках (0, 0) и (d, 0) - выполнены условия согласования, обеспечивающие достаточную гладкость решения задачи при фиксированных значениях параметра e (см. [13]).
При e —► 0 в окрестности множества S1 появляется движущийся пограничный слой, экспоненциально убывающий при удалении от множества S1 - с ростом x и/или уменьшением t (см. оценку (3.7)).
2.2. Ошибки решений разностных схем, построенных на основе классических разностных аппроксимаций задачи (2.2), (2.1), зависят от величины параметра e и становятся малыми лишь при значениях параметра e, существенно превосходящих "эффективные" шаги сеток по x и t. Так, в силу оценок (4.7), (4.10), классическая разностная схема (4.4), (4.6) (см. разд. 4) сходится при условии (N-1 + N-1 ^ e)
e-1 = о (min [ N, N0 ]), N, N0 —► (2.4)
где величины N, N0 определяют число узлов сеток по x и по t соответственно. При нарушении этого условия решения разностной схемы не сходятся к решению задачи (2.2), (2.1). Условие (2.4) является более ограничительным, чем условие (N-1 <§ e)
e-1 = о( N), (2.5)
а именно условие сходимости классической схемы для задач в областях с неподвижными границами; заметим, что в условии (2.5) ограничения на шаг сетки по t не накладываются.
Таким образом, в связи с отмеченным поведением сеточных решений (аппроксимирующих решение дифференциальной задачи с движущимся пограничным слоем) возникает интерес к построению специальных разностных схем, погрешность решений которых не зависит от величины параметра e. В частности, представляют интерес разностные схемы, сходящиеся при более слабом условии, чем условие (2.4) - условие сходимости решений разностной схемы (4.4), (4.6).
Несомненный интерес представляют условия, накладываемые на строящиеся сеточные аппроксимации задачи (2.2), (2.1), которые являются необходимыми и достаточными для e-равно-мерной (либо близкой к e-равномерной) сходимости сеточных решений.
Далее нам понадобится ряд определений в случае разностных схем на сетках с достаточно произвольным распределением узлов.
Определения. 1. Пусть на множестве En e = En х Ee, где En - подмножество из множества пар натуральных чисел N, N0, удовлетворяющих условию
N,N0 >M0, Ee = {e : ee(0, 1 ]},
определены функции
Vi(NN-1, e), i = 1, 2, Vi(NN-1,e)> 0.
Запись
V1 (N-1, e) = о(V2(N-1, e)) на E.
N, e
означает, что найдется такая точка (М1, А^1, е), для которой выполняется соотношение
(*Г\ N-1, е)[^2(*Г\ N-1, е)]0 при (А"1, А-1, е) — (А"1, А-1, е), (А'1, А^1, е), (А"1, АА01,е)е •
2. Пусть для сеточной функции z(x, г), (х, г) е Оь, - решения некоторой разностной схемы -выполняется оценка
\и
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.