научная статья по теме НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ КОВАРИАНТНОСТИ ПАРЫ ЛАКСА С ОДНИМ ПОЛЕМ Математика

Текст научной статьи на тему «НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ КОВАРИАНТНОСТИ ПАРЫ ЛАКСА С ОДНИМ ПОЛЕМ»

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 144, № 1 июль, 2005

© 2005 г. С. Б. Лебле*

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ КОВАРИАНТНОСТИ ПАРЫ ЛАКСА С ОДНИМ ПОЛЕМ

Изучается ковариантность по отношению к преобразованиям Дарбу полиномиальных дифференциальных и разностных операторов с коэффициентами, являющимися функциями одного базисного поля, В скалярном (абе левом) случае дифференциал Фре-ше (первый член ряда Тейлора на пространстве продолжения) приравнивается к преобразованию Дарбу с целью установения функциональной зависимости; рассматривается пара Лакса для уравнения Буссинеска. Для пары обобщенных задач Захарова Шабата (с операторами дифференцирования и сдвига) с операторными коэффициентами построен набор интегрируемых нелинейных уравнений вместе с явными формулами одевания. Неабелевы специальные функции выбираются как поля ковариантных пар. Вводятся разностная пара Лакса, комбинация преобразования Дарбу и калибровочного преобразования, а также решения уравнений Нама.

Ключевые слова: преобразование Дарбу, пара Лакса, уравнение Буссинеска, полиномы оператора сдвига, уравнение Нама.

1. ВВЕДЕНИЕ

Рассмотрим некоторый вид форминвариантностности дифференциальных многочленов с учетом связи между оператором

][>0fc

fc=о

и оператором того же порядка, но с новыми (преобразованными) коэффициентами

¿а*[1]0*. fc=o

Будем называть это свойство "ковариантностью" оператора под действием преобразований некоторого вида. Подобный же термин будем использовать и в случае полиномиального оператора сдвига.

"Technical University of Gdan'sk, ul. G. Narutowicza, 11/12, 80-952, Gdan'sk-Wrzeszcz, Poland. E-mail: leble@mifgate.pg.gda.pl

Доказательство ковариантности уравнения

(1)

тности м

голиномиаль-

ЖВ-ТЯЮЩИМИСЯ

ал Фре-к преоб-рассматрива-задач Захаро-коэффици-' форму-ариантных г и калибро-

, полиномы опе-

ьных многочле-

_ентами

[ преобразовав полиноми-

• cz, Poland.

fc=0

с некоммутативными коэффициентами ац по отношению к классическому преобразованию Дарбу (ПД) [1]

^[1] =ф'-аф (2)

включает вспомогательное соотношение (в статье используется сокращенное обозначение ф' = дф = фх) [2]

N

at=dr + [г, <т], г = о-пВп(<т),

(3)

где Вп - дифференциальные полиномы Белла [3]. Соотношение (3) обобщает так называемое отображение Миуры и превращается в тождество, когда а = ф'ф-1, где ф -решение уравнения (1).

При изучении совместно ковариантных комбинаций (абстрактных) производных вводят дополнительные связи для полиномиальных коэффициентов, которые можно классифицировать [4], [5]. В двух словах, при наличии общего утверждения относительно ко-вариантого вида линейного полиномиального дифференциального оператора, который определяет формулы преобразования для коэффициентов, самосогласованность между такими формулами приводит к появлению связей. В скалярном случае конструкции с одним потенциалом для уравнений Кортвега-де Фриза (КдФ) и Буссинеска изучались в работах [5], [6] (см. п. 2.1 данной работы) в применении к высшим уравнениям КдФ и Кадомцева-Петвиашвили (КП) [7].

Примеры нелокальных уравнений (с неабелевыми коэффициентами), интегрируемых методом ПД, рассматривались в работах [1], [8]. Некоторые из них, обзор которых приведен в книгах [9], [10], были недавно обобщены на широкий класс полиномов от автоморфизмов дифференциального кольца [11]. Исследование некоммутативных коэффициентов является более сложным, но и значительно более богатым и многообещающим. Это видно уже с точки зрения симметрийной классификации, изучение которой началось с работ [12] (см. также [13], [14] и обзор [15]). Далее, связь с подходом на основе ПД-ковариантности [16] позволяет построить и классифицировать ковариантные функции для использования их в квантовой [17] и солитонной задачах. Например, имеется класс уравнений вида

-%(Н= [Н,Цр)}, (4)

где Н{р) - аналитическая функция. В квантовой механике операторы риН играют роли матрицы плотности и гамильтониана. Ковариантность уравнений (4) по отношению к ПД установлена в работе [18]. Случаи /(р) = гръ и /(/>) = гр-1 были рассмотрены в связи с приложениями в работе [19]. Следующий шаг к существенно неабелевым функциям, например

ЦХ) = ХА+ АХ, (5)

124

с. б. лебле

[А, X] ф 0, восходит к работам [20], а обобщения изучаются в статье [16]. Дальнейшие обобщения представлены в работе [21], где приведен богатый список интегрируемых уравнений. Этот список частично соответствует результатам работы [13], причем установлена также обычная для техники ПД связь с решениями посредством итерационных процедур или одевающих цепочек.

2. ПАРА ЛАКСА С ОДНИМ ПОЛЕМ ДЛЯ АБЕЛЕВА СЛУЧАЯ

2.1. Уравнения ковариантности. Сначала, как обобщение исследований примера уравнения Буссинеска [5], [22], воспроизведем схему с одним коммутативным скалярным полем. Рассмотрим уравнение (1) с коэффициентами Ьь, к = 0,1,2,3, а коэффициенты ак будем использовать для второго оператора в паре Лакса. ПД для операторных коэффициентов третьего порядка (обобщение Матвеева классического ПД [1]) приводит к соотношениям

b2[l] = b2 + b'3, Ь1[1] = Ь1 + Ъ'2 + ЗЪ3(т', (6)

6о[1] = Ьо + Ь[ + стЪ'2 + ЗЬз(сг(т' + </'), (7)

причем &з не преобразуется. Предположим, что оба оператора зависят от единственной потенциальной функции w. Задача для первого оператора формулируется следующим образом: найти ограничения на коэффициенты Ьз(х,£), b2(x, t), b\ = b(w,t), bo = G{w, t), совместные с правилами ПД (6), (7) для потенциальной функции w, индуцированной ПД для Ь\ или Ь0. Для простоты положим £>з = 0.

Ковариантность соответствующего спектрального уравнения

ЬзФххх + Ь2{х, t)ipxx b(w, Ь)фх -l- G{w, t)ip = Аф (8)

приводит к связи только между коэффициентами bi и Ьо. При исследовании задачи (8) в контексте представления Лакса для некоторого нелинейного уравнения ковариантность второго уравнения Лакса следует учесть с самого начала. Назовем такой принцип "принципом совместной ковариантности" [4]. Форма второго уравнения Лакса фиксирует положение поля w:

ipt = a2(t)ipxx + ai(t)^x -I- тф. (9)

Если рассмотреть уравнения (8), (9) как уравнения для пары Лакса, ПД функции w должно быть совместно с формулами ПД (подобными (6)) для обоих коэффициентов из уравнения (8), зависящих от единственной переменной w. Далее, для задачи (9) обобщенное отображение Миуры (3) имеет вид [2]

' ft = [02 (с2 + fx) + aid + u>] х, (10)

а для спектрального уравнения (8) -

b3(cr3 + Ъохо + ахх) + Ь2(о-2 + ах) + b(w, t)a + G(w) = const; (11)

здесь ф является решением обоих уравнений Лакса.

Предположим далее, что коэффициенты операторов являются аналитическими функциями от ш вместе со своими производными (или интегралами) по х (такие функции носят название функций на пространстве продолжения). Для коэффициента £>1 = Ь(д~1ш,ш,шх,... ,д~1wt,wt,wtx, ■ ■ ■) возникает условие ковариантности для дифференциала Фреше (ДФ) функции Ь на пространстве продолжения. Приравнивая это разложение и ПД, получаем условие

Ь2 + ЗЬ3а' = Ьи1(а'1 + 2а2</ + аа'2) + Ъ+ 2 а2а' + аа2)' + ■■■ . (12)

Мы называем это уравнение (первым) "уравнением совместной ковариантности". Оно гарантирует совместность коэффициентов преобразований пары Лакса (8), (9). Сравнение двух преобразований дает следующее выражение для Ь(ии, £) (с произвольным а(£)):

Ь(гМ) = ^ + <*(«)• (13)

Приравнивая разложение £>о = С(...,ги,...) на пространстве продолжения

С?(ш + -I- 2а2(т' -I- аа2) = в(ю) + С^К -I- 2а2а -I- аа2) + ■ • ■ (14)

и ПД (7) того же коэффициента, получаем

г^ + ^ + зЦу+ =

= С^К + 2а2^' + ™'2у + [а« + 2в-1(02^) + д~1(аа'2)1] + • • • .

(15)

Это второе "уравнение совместной ковариантности" также упрощается при а'2 = 0. Заметим, что соотношение (10), использованное в левой части (15), линеаризует ДФ по а. Окончательно получим

гч ЗЬ3и>х

2 а2 ЗЬза'^-1

2 а\

т ЗЬзд 1ги( + 2а| '

(16)

Замечание 2.1. Мы ограничили формулы для ДФ уровнем, необходимым для минимальных потоков. Учет высших членов приводит ко всей иерархии, как в работе [7] для случая КдФ-КП.

126

c.b. левле

2.2. Условия совместности. В случае, когда а'2 = 0, которым мы ограничились, система Лакса (8), (9) приводит к условиям совместности

(17)

£>3t = 2аг&2 — ЗЬза",

&2t = G2&2 + а1&2 — ЗЬза" — 2b2a'i — З^зОд,

bit = a2i>i + ai6i — Ь$а!" — b2a" — ¿»la^ — 3b3a'd — 2Ь2а'0 + 2а2Ь'0, bot = aib'o + аг^о — — &2ао — b3aö'. Связи (16), (17) в комбинации с выражением для 62t дают

ßt = -2ßa[. (18)

Два последних уравнения (с константами, выбранными как 63 = 1, а2 = — 1, Ь'2 = а\ = 0) дают

3b3(wt + aiw)t

Щ

/3b3w \ , b3w"' 3b3aiwt , Збза 1

Это уравнение редуцируется к уравнению Буссинеска (см., например, [9]) при Ь\ = сч = 0, Ь3 = 1,02 = -1.

3. НЕАБЕЛЕВ СЛУЧАЙ. ЗАДАЧА ЗАХАРОВА-ШАБАТА

3.1. Условия совместной ковариантности для общих уравнений Захарова—Шабата (ЗШ). Для уравнения (1) первого порядка (п = 1) с коэффициентами из неабелева дифференциального кольца А (подробности см. в работе [2]) изменим обозначения следующим образом:

= ^ + ид)ф, (20)

где оператор ] € А не зависит от х, у, а потенциал ао = и = и(х, у, £) € А является функцией всех переменных. Преобразованный потенциал имеет вид

й = и+[7,<т], (21)

где а = фхф~\а.ф е А снова является решением уравнения (20).

Предположим, что второй оператор пары Лакса имеет тот же вид, но с другими входящими в него элементами:

фу = (¥ + тд)ф, (22)

где У € А является постоянным элементом, а потенциал т = Р(и) € А - функция потенциала первого уравнения (20). Тем самым принцип совместной ковариантности [4] принимает вид

<2 = и; + [У, а] = Р{и + [У, а\), (23)

откуда непосредственно вытекает, что

Г(и) + [У,<т] = Г(и+[У,<т]). (24)

Таким образом, уравнение (24) определяет функцию Р{и)\ мы по-прежнему называем это уравнение уравнением совместной ковариантности.

мы ограничились,

- 2а2 Ъ'о,

(17)

(18)

02 = -1, Ь' =

36з 01

-2

W

■ (19)

¥

']) при Ьх = а\ =

:абата

зений Захаро-

.шиентамииз , изменим обозна-

(20)

t) € А является (21)

с другими вхо-(22)

- функция по-Е.^риантности [4]

(23)

квему

(24) называем

3.2. Ковариантные комбинации симметрических многочленов. Первым естественным примером является обобщение уравнен

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком