АСТРОНОМИЧЕСКИЙ ВЕСТНИК, 2007, том 41, № 6, с. 521-530
УДК 521.1; 521.15
НЕОБЫЧНЫЕ РЕЖИМЫ ВРАЩЕНИЯ МАЛЫХ СПУТНИКОВ ПЛАНЕТ
© 2007 г. Ä. В. Мельников, И. И. Шевченко
Главная (Пулковская) астрономическая обсерватория РАН, Санкт-Петербург
Поступила в редакцию 17.08.2006 г.
Путем анализа характера возможной динамики всех известных к настоящему времени спутников планет найдено, что наиболее необычную структуру фазового пространства возможного вращательного движения имеют два спутника: Амальтея (Ю5) и Прометей (С16). Они единственные, у которых в фазовом пространстве плоского вращения могут присутствовать синхронные резонансы трех разных видов: а-резонанс, ß-резонанс и мода, соответствующая бифуркации удвоения периода а-резонанса. Исследована устойчивость этих состояний относительно наклона оси вращения.
PASC: 95.10.Ce, 96.25.De, 96.25. Vt
ВВЕДЕНИЕ
Наиболее вероятным финальным режимом долговременной эволюции вращательного движения спутников планет является плоское (в плоскости орбиты) вращение в синхронном резонансе 1 : 1 с орбитальным движением вокруг планеты (Goldreich, Peale, 1966; Peale, 1977; Веретенников и др., 1997). В этом финальном режиме ось вращения спутника совпадает с осью, соответствующей максимальному моменту инерции спутника, и ортогональна плоскости орбиты. Действительно, наблюдательные данные указывают на то, что все большие (имеющие радиус более 500 км) спутники планет вращаются синхронно (см. Peale, 1977). Те малые спутники, характер вращения которых известен из наблюдений, также в большинстве своем вращаются синхронно (см. статистические данные в работе (Куприянов, Шевченко, 2006)).
Плоское вращательно-колебательное движение спутника в гравитационном поле планеты описывается уравнением Белецкого (Белецкий, 1965): 2
(1 + e cos f) —- - 2e sin f — +
d/ df (1)
2
+ ro0sin Ф cos ■& = 2e sin f,
где e - эксцентриситет орбиты, f - истинная аномалия, ■& - угол между осью наименьшего главного центрального момента инерции спутника (наибольшей осью трехосного эллипсоида, аппроксимирующего фигуру спутника) и радиусом-вектором "планета - центр масс спутника", ю0 = J3 (B - A)/C -параметр, характеризующий динамическую асимметрию формы спутника, A < B < C - главные центральные моменты инерции спутника.
Исследование уравнения (1) (Торжевский, 1964) показало, что при определенных значениях пара-
метра, характеризующего частоту малых колебаний ориентации спутника относительно положения равновесия, уравнение может иметь два устойчивых 2п-периодических решения, то есть могут существовать два различных режима вращения, синхронного 1 : 1 с орбитальным. Границы областей устойчивости этих решений на плоскости (е, ю0) определены и изучены в работе (Златоустов и др., 1964). В приложении к естественным спутникам планет наличие этих двух разных типов синхронного резонанса впервые отметили Wisdom, Peale, Mignard (1984), анализируя результаты своих численных экспериментов в исследовании вращательной динамики Гипериона (С7).
В работах (Мельников, Шевченко, 1998; 2000) найдено, что в фазовом пространстве вращательного движения Амальтеи (Ю5) присутствуют оба эти режима синхронного вращения, то есть параметры вращательного и орбитального движения Амальтеи таковы, что возможен как тот, так и другой режим. Следуя Мельникову и Шевченко (1998; 2000), мы обозначаем их как a-резонанс и в-резонанс. Посредством вычисления показателей Ляпунова вращательного движения Мельников и Шевченко (1998) показали, что плоское вращение Амальтеи в в-резонансе (в центре резонанса и вблизи него) является устойчивым относительно наклона оси вращения, а ее вращение в окрестности a-резонанса неустойчиво. (Заметим, что терминология "a-резонанс" и "в-резонанс" в этой работе еще не использовалась.) В работе (Мельников, Шевченко, 2000) посредством вычисления и статистического анализа мультипликаторов периодических решений устойчивость вращения Амальтеи в центрах обеих мод подробно исследована на сетке значений инерционных параметров; сделан вывод, что Амальтея не может находиться в a-резонансе. На основании анализа положения Прометея (С16) на диаграмме "е-ю0" Мельников
(2001) показал, что у Прометея, как и у Амальтеи, в фазовом пространстве плоского вращательного движения существуют обе моды синхронного резонанса, при этом а-резонанс у этого спутника, как и у Амальтеи, неустойчив относительно наклона оси вращения.
Ориентация спутника, движущегося по эллиптической орбите, испытывает вынужденные "экс-центриситетные" колебания относительно центра масс (Белецкий, 1965). Амплитуда этих колебаний в нерезонансном случае мала. Если значение ю0 принадлежит области параметрического резонанса (при е ~ 0 параметрический резонанс имеет место для ю0 ~ 1/2 и 3/2), то вращательное движение спутника в синхронном резонансе испытывает бифуркацию удвоения периода: 2п-периодическое решение уравнения (1) теряет устойчивость и вместо него появляется 4п-периодическое решение. Возникают "бифуркационные" колебания, амплитуда которых может быть значительной, с периодом, в два раза большим периода орбитального вращения. Поэтому эффект может быть относительно легко наблюдаемым. В работах (Мельников, Шевченко, 1997; Мельников, 2001) рассмотрен данный бифуркационный режим вращения спутников планет. На основании анализа положения спутников на диаграмме "е-ю0" Мельников (2001) показал, что данный режим вращательного движения возможен у Фобоса (М1), Деймоса (М2), Януса (С10), Эпиметея (С11), Елены (С12) и Пандоры (С17). На близость параметров Януса к условиям параметрического резонанса указывал Gozdziewski (1997).
Главная цель настоящего исследования - выяснить, какие спутники планет, исходя из современных данных, могут находиться в перечисленных необычных режимах вращения, и каковы предполагаемые характеристики этих режимов у реальных спутников.
Для полной выборки спутников планет с известными инерционными и орбитальными параметрами мы определяем всех возможных кандидатов на нахождение в а-резонансе, в в-резонансе и в режиме, соответствующем бифуркации удвоения периода движения в а-резонансе. Используется база данных о параметрах естественных спутников планет (Коирйаиоу, 8ЬеусЬеико, 2005). Также мы изучим устойчивость вращения спутников в этих режимах относительно наклона оси вращения.
СИСТЕМА КООРДИНАТ И УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
Мы рассматриваем движение спутника относительно его центра масс при следующих предположениях. Спутник представляет собой несферическое твердое тело, движущееся по эллиптиче-
ской орбите вокруг планеты. Планета считается неподвижной гравитирующей точкой. Предполагается, что размеры спутника много меньше радиуса орбитального движения, а его масса много меньше массы планеты. Форма спутника задает главные центральные моменты инерции A < B < C относительно главных осей инерции a > b > c соответственно. Динамика относительного движения в плоской задаче (при вращении/колебании спутника в плоскости орбиты) определяется двумя параметрами: м0 = J3 (B - A)/C, характеризующим асимметрию формы спутника, и е, эксцентриситетом его орбиты; а в пространственной -тремя: A/C, B/C и е. Положение спутника на орбите определяется эксцентрической аномалией E или истинной аномалией f Угловые скорости выражены в единицах среднего движения, расстояния - в единицах большой полуоси эллипса орбиты. Один орбитальный период соответствует 2п единицам времени.
Используется та же инерциальная система координат, что и в работах (Wisdom, Peale, Mignard, 1984; Мельников, Шевченко, 1998; 2000). Она определена исходно в перицентре орбиты спутника следующим образом: ось x направлена по вектору "перицентр орбиты спутника - планета", ось y параллельна вектору орбитальной скорости в перицентре, ось z ортогональна орбитальной плоскости и дополняет систему до "правой". Ориентация спутника относительно осей системы координат Oxyz задается путем его воображаемых поворотов на углы Эйлера 0, ф, у из положения совпадения главных осей инерции a, b, c с осями системы координат до их реального положения в следующей последовательности: сначала делаем поворот на угол 0 вокруг оси z, затем на угол ф вокруг оси a и, наконец, на угол у вокруг оси b.
Выпишем динамические уравнения Эйлера (Белецкий, 1965; Wisdom, Peale, Mignard, 1984):
A ^ - ®b®c(B - C) = B - ®c ®a ( C - A ) = C^ - MaMb(A - B) =
-3^Pr(B - C),
-3— ya(C - A),
3GGMaP(A - B).
(2)
Здесь G - универсальная гравитационная постоянная; M - масса планеты; юа, юь, юс - проекции
вектора угловой скорости ю на оси a, b, c; r = a (1 -- ecosE) - расстояние "спутник - планета", где a -большая полуось орбиты; а, в, у - направляющие косинусы главных осей инерции относительно направления на планету.
Кинематические уравнения Эйлера и выражения для направляющих косинусов имеют вид (Wisdom, Peale, Mignard, 1984):
dÖ . . , dó = —-—cos ф sin w + —--cos w,
a dt Y dt Y
d Ö .
roh = — sin ф + —Jh dt Y At
d w
dt
(3)
dÖ , dф .
юс = d-cos ф cos w + -Jd-sin W,
a = cos (Ö - f) cos w -sin (Ö - f) sin ф sin w,
ß = -sin (Ö - f) cos ф, (4)
Y = cos (Ö - f) sin w + sin (Ö - f) sin ф cos w,
Правые части динамических уравнений Эйлера (2) (представляющие собой проекции гравитационного момента) записаны здесь в приближенном виде: в них отброшены величины порядка (р/r)2 и выше, где р - средние размеры (радиус) спутника, r - радиус орбиты. В этом приближении можно считать (см. Маркеев, 1990), что центр масс спутника движется по кеплеровской орбите. Таким образом, мы пренебрегаем весьма малыми возмущениями орбиты, обусловленными враща-тельно-колебательным движением спутника относительно его центра масс.
В случае плоского вращения (ф = у = 0) уравнения Эйлера (2), (3) сводятся к уравнению Белецкого (1) без каких-либо дополнительных предположений; см. вывод в книгах (Белецкий, 1965; Маркеев, 1990). Далее для расчета пространственной вращательной динамики используются уравнения (2), (3) и (4).
РЕЖИМЫ СИНХРОННОГО ВРАЩЕНИЯ
Параметр (О0
Чтобы определить возможность нахождения спутника в каком-либо режиме синхронного вращения, необходимы данные о величине параметра ю0.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.