ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Том 144, № 1 июль, 2005
А. П. Протогенов*, В. А. Вербус^
НЕОДНОРОДНЫЕ ТОКОВЫЕ СОСТОЯНИЯ В ДВУХКОМПОНЕНТНОЙ КАЛИБРОВОЧНО-ИНВАРИАНТНОЙ МОДЕЛИ ГИНЗБУРГА-ЛАНДАУ
В рамках двухкомпонентой модели Гинзбурга-Ландау рассматриваются границы энергии неоднородных токовых состояний в легированных антиферромагнитных диэлектриках. С использованием формулировки этой модели в терминах калибровоч-но-инвариантных параметров порядка (единичного вектора п, поля спиновой жесткости р2 и импульса частиц с) показано, что в такой сильно коррелированной электронной системе имеется геометрический малый параметр, который определяет степень упаковки в узлах нитевидных многообразий распределений параметров порядка для спиновых и зарядовых степеней свободы. Найдено, что с убыванием степени легирования плотность нитей возрастает, что приводит к переходу в неоднородное токовое состояние с выигрышем свободной энергии.
Ключевые слова: токовые состояния, узлы распределений параметров порядка, инвариант Хопфа.
© 2005 г.
1. ВВЕДЕНИЕ
Легирование пленарных антиферромагнитных диэлектриков нарушает антиферромагнитный порядок и приводит к состоянию, которое предшествует фазе высокотемпературной сверхпроводимости. Это несверхпроводящее состояние характеризуется неоднородным распределением сильно коррелированных спиновых [1], [2] и зарядовых [3]-[6] степеней свободы, а также электронно-дырочной асимметрией [7], [8]. Исследование кооперативного поведения неоднородных систем является в настоящее время одной из наиболее актуальных задач в неабелевой теории поля [9]-[11] и современной физике конденсированного состояния. Целью данной работы является нахождение границ свободной энергии в неоднородных токовых состояниях антиферромагнитных диэлектриков при умеренном уровне их легирования.
* Институт прикладной физики РАН, 603950, ул. Ульянова, 46, Нижний Новгород, Россия. E-mail: alprot@appl.sci-nnov.ru
t Институт физики микроструктур РАН, 603950, Нижний Новгород, Россия
ной
границы ных ди-калибровоч-йжесткос-электронной степень упа-для спи-
w -иров ания
состояние
-орядка, инвариант
антиферро-: высокотемпе-еризуетсянеод-| зарядовых [3]-[6] Исследование ко-I одной из наи-I физике конден-! границ свободной г диэлектриков при
Е ^ : род, Россия.
Для описания пространственных распределений электронных степеней свободы мы будем использовать следующий расширенный (3 + 0)-мерный вариант [12] нелинейной 0(3) сг-модели:
F = Fn + Fp + Fc
= Jd3x[(\p4dkn)* + Hjky
+ ( («%р,)2 - 6р2 + + (¿Р2с2 + Ffk- 2FikHik
(1)
В этом выражении поле единичного вектора п описывает распределения спиновых степеней свободы, а поле импульсов c- J/p2 = a — А, где J - полный ток, содержит парамагнитную (а) и диамагнитную (—А) части. В выражении (1) F{k = diCk — дкС{ и Hik — n-[9,nx9fcii] = did к —дксч. Для простоты потенциал Хиггса в (1) выражен только через две константы Ь и d. Плотность энергии тока (1 /16)р2с2, поверхностной энергии Ffk [13] и диамагнитное взаимодействие —2FikHik полей а и с определяют вклад в токовую часть Fc свободной энергии. Безразмерные единицы для всех переменных приведены в работе [14].
Первое слагаемое в выражении (1) представляет собой энергию гейзенберговского антиферромагнетика, записанную в длинноволновом пределе. Собственная энергия Hfk внутреннего магнитного поля Hi = (1/2)£iks#fcs в длинноволновом пределе [15] определяется средним значением (0|Si [S2 х S3] |0) степени спиновой неколлинеарности на трех узлах квадратной решетки, которая возникает после того, кале электрон удаляется из четвертого узла элементарной ячейки. Эти киральные распределения спиновых степеней свободы являются базисными для формирования более сложных спиновых и зарядовых структур, которые рассматриваются ниже.
Модуляция обменного интеграла, которая дает поле спиновой жесткости (1/4)р2, определяется в выражении (1) уровнем легирования. Спиновая плотность р2 связана с плотностью р\ положительно заряженных вакантных узлов (так называемых "дырок" ) условием р2 + const [16]. Последнее соотношение означает, что плотность определена на пространстве, дополнительном к пространству, где определена спиновая плотность. На основании этого замечания и с учетом структуры распределений спиновых степеней свободы на решетке в работе [17] был предложен низкоразмерный аналог голографического принципа, который приводит к заключению, что распределение состояний с нарушенным антиферромагнитным порядком имеет граничный характер.
2. УЗЛЫ И ЗАЦЕПЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ПОРЯДКА
Нижняя граница свободной энергии
^32тг2|<3|3/4(1-|1,|/|<2|)2
(2)
в случае р = const зависит [18] от значения матричных элементов симметричной матрицы
В этой матрице с а\ = а* и а2 = с* число
Q = [ d3x£ikiaidkai
167Г2 JM
является инвариантом Хопфа, а
- взаимный индекс зацепления [19] полей с и а. При компактификации R3 М = S3 и п б S2 целое число Q € 7гз(52) = Z показывает степень зацепления или заузленнос-ти нитевидного многообразия в трехмерном пространстве, где поле единичного вектора n(x,y,z) постоянно: n(x,y,z) = п. Для двух зацепленных петель Q = 1, для уз-ла-трилистника Q = 6 и т.д.
Уменьшение нижней границы в выражении (2) по сравнению со случаем с = 0 [20] определяется инвариантом L g Z. Этот эффект возникает из-за последнего диамагнитного слагаемого в выражении (1). Вклад этого слагаемого столь значителен, что полностью уничтожает энергию Fc и сокращает часть энергии Fn. Квазиодномерный характер распределения п(х, у, г)-поля в выражении (1) при с = 0 распространяется и на поле р2(х, у, z) [17]. Конфигурации поля р в виде полосок и петель и в этом случае являются наиболее выигрышными.
Запишем плотность свободной энергии в выражении (1) в виде
/ = (дкр)2 + 14в(р) + (Fik - ад2,
где Veff = -begp2 + (d/2)p4, abeff = Ь- (1/16)с2 - (1/4)(3^п)2. Из выражения для энергии Veff следует, что квазиодномерные распределения поля р существуют лишь в том случае, когда beg > 0. В противоположном случае (¿>eff < 0) минимум свободной энер-ги соответствует конфигурациям с малыми значениями функции р. Поэтому в общем случае состояние с конечным значением поля импульсов с характеризуется конкуренцией неоднородных параметров порядка и, си р, между которыми имеются нелокальные корреляции вследствие запутанности их одномерных распределений. Заметим, что это заключение согласуется с одним из основных утверждений работ [21], [22] о том, что неоднородные токовые состояния нельзя описать с помощью функционала Ландау с обычным векторным параметром порядка. В нашем случае существование неоднородных токовых состояний возникает из-за нелинейного взаимодействия нескольких параметров порядка1^ п, с и р на уровне их уравнений движения. Аналогичное заключение можно
В размерности (2 + 1) нелокальное взаимодействие между электронами можно описывать, используя статистические калибровочные поля Черна-Саймонса а а, которые индуцируют сильные корреляции фаз фермионных квантовых состояний на больших расстояниях. В этом случае матрица kij переплетения мировых линий в действии Черна-Саймонса
/i jj /* 3 ¿7
= ^ ] d XEap-fdadpaj
5= -И-
!М
пропорциональна матрице Кар, описывающей степень заузленности полевых конфигураций в (3 + 0)-мерных системах.
сделать исходя из решеточного описания токовых состояний в так называемой шахмат-но-упорядоченной потоковой фазе [23], рассматривая сильные корреляции зарядовых и спиновых степеней свободы в приближении среднего поля.
3. НЕОДНОРОДНЫЕ ТОКОВЫЕ СОСТОЯНИЯ
Основой модели (1) является компактный характер поля п, который приводит к одномерным распределениям его в виде узлов [24]-[29]. Чтобы проанализировать общий случай при с ф 0 и р ф const, прежде всего запишем энергию Fn при р — const, с = 0 и Xi —» Xir в виде
Fn — J dzx [<?i(c>fcn)2 + g2H?k] = + R/r),
где г - масштабный множитель, R = у/д2/gi , а д\, - константы связи. Из этих выражений видно, что характерный размер узла в минимуме энергии Fn, будучи равным R, пропорционален р~1.
С возрастанием уровня легирования /з2, т.е. с убыванием р2, радиус R ~ 1 /р растет, достигая некоторого критического значения Rcr. Начиная с этого радиуса конфигурации поля п, образующие узел, становятся неустойчивыми [30] по отношению к масштабным преобразованиям. Это означает, что узлы с размером, большим, чем Rcr, кол-лалсируют с образованием локализованных структур вблизи точек стереографической проекции R3 —> S3. Это явление становится ключевым при сравнении различных вкладов в свободную энергию (1) в неоднородном токовом состоянии при достаточно малых значениях р2.
Следовательно, при достаточно малой плотности р2, т.е. при достаточно высоком уровне легирования р2, начиная с конечного значения плотности р2, для описания сильно коррелированных зарядовых и спиновых степеней свободы можно ввести малый параметр, определенный соотношением Ro /R- Здесь Ro - корреляционная длина распределений п- и с-полей, имеющая смысл толщины нитей, для которых определены конфи-
о
гурации этих полей. Типичное значение Ro имеет порядок 10 А, т.е. равняется трем-че-тырем постоянным решетки. Поскольку параметр Гинзбурга в этом случае много меньше единицы, можно использовать приближение среднего поля (1). Предположим, что Ro < R < Ясг,и сравним уменьшение свободной энергии (1) из-за диамагнитного члена —2FikHik с возрастанием ее из-за члена (дкр)2- Если вклад диамагнитного члена —2FikHik имеет порядок cq/Rq, где со - амплитуда поля импульса с, то оценка максимального вклада слагаемого (дкр)2 дает 1 /(RRq)2. Очевидно, что выигрыш должен быть также больше, чем вклады от других слагаемых в последних скобках в выражении (1), т.е. от поверхностного слагаемого F2k ~ c2/R-o и от собственной энергии тока р2с2 ~ F2k(Ro/R)2. Объединяя неравенства, мы видим, что при а = (Ro/R)2 < 1и при конечном значении импульса в области
а/До < с0 < 1/До
(4)
даже в состоянии с неоднородным распределением плотности р2 свободная энергия может из-за диамагнетизма оказаться меньше, чем при с = 0. Здесь степень а упаковки нитей в трехмерном пространстве является искомым малым параметром в
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.