ПРОБЛЕМЫ МАШИНОСТРОЕНИЯ И НАДЕЖНОСТИ МАШИН
№ 3, 2015
УДК 629.039.58
© 2015 г. Садыхов Г.С.1, Бабаев И.А.2
НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ОПАСНЫХ И БЕЗОПАСНЫХ СОСТОЯНИЙ ТЕХНОГЕННО-ОПАСНОГО ОБЪЕКТА
1 Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, г. Москва;
2 ОАО "Радиофизика", г. Москва
Для техногенно-опасного объекта, отказ и восстановление которого в процессе эксплуатации представляет техногенную опасность, доказаны формулы расчета вероятностей опасного и безопасного состояний через характеристики надежности и восстановления объекта. Кроме того, для этих вероятностей установлены непараметрические нижние и верхние гарантированные оценки. Исследована достижимость этих оценок. Для вероятностей опасного и безопасного состояний объекта найдены предельные значения, равные, соответственно, коэффициенту готовности и коэффициенту простоя объекта в процессе эксплуатации.
Постановка задачи. Рассмотрим невосстанавливаемый в процессе эксплуатации технический объект, отказ которого представляет техногенную опасность. Следовательно, вероятность безопасного состояния объекта в момент времени ? равна Рб(?) и удовлетворяет следующему соотношению:
Рб( 0 = Р( О, (1)
где Р(?) — вероятность безотказной работы объекта в течение времени ?.
Другими словами, безопасность невосстанавливаемого техногенно-опасного объекта определяется безотказностью и ее расчет и оценки следует проводить методами теории надежности.
Рассмотрим восстанавливаемый в процессе эксплуатации объект, отказ и восстановление которого представляют собой техногенную опасность.
Примем следующие допущения: будем считать, что восстановление начинается сразу после отказа; возможные состояния объекта в произвольный момент времени ? — это опасное или безопасное состояния; законы распределения безотказных наработок и процесса восстановления произвольные, т.е. непараметрические.
Обозначив вероятность опасного состояния объекта в момент времени ? через Р0(?), имеем
Ро( г) = 1 - Рб (г). (2)
Например, для невосстанавливаемого объекта с учетом формулы (1) получим Р0(?) = Д?), где Л(?) = 1 — Р(?) — вероятность отказа объекта в течение времени ?.
В связи с расчетными формулами (1) и (2) возникает задача: найти или оценить вероятность безопасного состояния в момент времени ? для восстанавливаемого техно-генно-опасного объекта.
Формулы для вероятностей опасных и безопасных состояний. Докажем следующее утверждение.
Лемма. Для вероятности безопасного состояния объекта справедлива формула
Рб( г) = Р( г)е (г)
г
1 + р-^ ах ] р (х) е (х)
0
(3)
где ц(х) — интенсивность восстановления объекта в момент времени х;
е (г) = ехр ) й^ (4)
0
— вероятность того, что объект не будет восстановлен в течение времени t.
Доказательство. Согласно определению — интенсивности восстановления объекта в момент времени t — при Лt —- 0 [1] находим
Рг(( г < п < г + Лг)|п> г) = г)Л г + о (Л г),
где левая часть — это вероятность того, что время восстановления п будет находиться на временном интервале (^ t + Л^ при условии, что исследуемый объект до момента времени t после отказа не был восстановлен. Следовательно, вероятность того, что объект в момент времени t + Лt будет находиться в безопасном состоянии при условии, что он в момент времени t находился в опасном состоянии, согласно теореме умножения зависимых событий, равна при Лt —>- 0
Р1 = Р0 (г )[ц( г )Л г + о(Лг)]. (5)
Точно так же, согласно определению Хф — интенсивности отказов объекта в момент времени t — при Лt —»- 0 имеем [2]
Рг(( г <С< г + Л г)|£> г) = Х( г )Л г + о (Лг),
где левая часть — это вероятность того, что время отказа ^ будет находиться на временном интервале (Л^ t + Л^ при условии, что в течение времени t рассматриваемый объект был безотказен. Отсюда находим вероятность того, что объект в момент времени t + Лt будет находиться в безопасном состоянии при условии, что в момент времени t он находился в этом же состоянии, равна, согласно теореме умножения вероятностей, следующему выражению:
Р2 = Рб (г)[ 1 - Х( г )Л г + о (Лг)], (6)
где квадратная скобка равна, согласно определению интенсивности отказов, вероятности того, что на интервале времени (^ t + Л^ не будет отказа при Лt —»- 0.
Применяя теорему сложения вероятностей, определенных соотношениями (5) и (6), найдем
Рб( г + Лг) = Р0( г )ц( г )Л г + Рб( г)( 1 - Х( г )Л г) + о(Л г). Отсюда с учетом (2) получим
= * г) - (Х( г) + * г ))Рб( г) + ^
Перейдя к пределу при Лt —► 0, найдем следующее дифференциальное уравнение: Рб( г) + (Х( г) + г)) Рб( г) = г). (7)
5 ПМ и НМ, № 3
129
Решая это уравнение при естественном начальном условии Рб(0) = 1, получим искомую формулу (3).
В частности, при ц(?) = 0 из формулы (3), с помощью (4), следует формула (1). Другими словами, если объект невосстанавливаемый, то вероятность его безопасного состояния в момент времени ? совпадает с вероятностью его безотказной работы в течение времени ?, что уже было отмечено выше.
Для дальнейшего изложения понадобится следующее утверждение.
Следствие 1. Для вероятности опасного состояния объекта справедлива следующая формула:
Рб(t) = P(t)Q(t) dx
6W v ^wjp(x)q(x)
P (x) Q (x)
(8)
Доказательство. Используя формулу (3), согласно (2) имеем
P6( t) = 1 - P( t) Q (t)
1 +
Г i+(x) Jp (x) Q (x)
- dx
(9)
0
Так как интенсивность восстановления равна [1] t t t) = -rn, то dx = rJ-d
Q (t)' j P(x) Q (x) j P( t)
Q (t)' j P(x) Q (x) j P( t)d V Q (x
00
Отсюда имеем
tt
Г_1Ф0_dx = —i--1 - f-Mx)_dx,
j P(x) Q(x) P(t) Q (t) jP(x) Q(x)
00
где [3]
Ux) = -Ppixl (10)
V 7 P(x) V ;
— интенсивность отказов.
Подставляя полученное выражение в соотношение (9), получим искомую формулу (8). Следствие 2. Функция, определяемая формулой (8), является решением следующего дифференциального уравнения:
P0( t) + (Х( t) + t)) P0 (t) = X( t) (11)
при начальном условии Po(0) = 0.
Следствие 3. Если X(t) = 0, то P0(t) = 0.
Другими словами, "абсолютное" отсутствие отказов объекта влечет за собой "идеальную" безопасность, так как согласно (2) P0(t) = 1.
Непараметрические оценки вероятностей опасных и безопасных состояний. Справедливо следующее утверждение.
Теорема 1. Для вероятности опасного состояния объекта имеет место следующая оценка:
Po( t )< 1 - P (t), (12)
где P(t) — вероятность безотказной работы объекта в течение времени t.
Доказательство. Так как Q(t)/Q(x) < 1, где 0 < х < t, то из формулы (8) имеем
г
Ро(^X Р(^) ^^
0
Учитывая формулу (10), имеем
г
Ро(г)< Р(г) Г-^дх.
0 Р (х)
Интегрируя правую часть, получим искомую оценку (12).
Следствие. Для вероятности безопасного состояния объекта справедлива следующая оценка:
Pб(t) > P(t). (13)
Из оценок (12) и (13) получим следующие важные для практических приложений оценки:
Po(tr) < 1 - у, P6«r) > у,
где ^ = вир{?|^(/1) > у} — гамма-процентный ресурс объекта при заданном уровне у (0 < у < 1) [4]. Заметим, что доказанные оценки справедливы для любого закона распределения ресурса.
Оценки вероятностей опасных и безопасных состояний стареющих объектов. Будем говорить, что объект стареющий, если его интенсивность отказов (10) как функция времени монотонно растет. Докажем следующее утверждение.
Теорема 2. Для вероятностей опасного и безопасного состояний стареющего объекта справедливы следующие оценки:
Ро(г)< -, Рб(г)> 1 - -, (14)
г г
где г — средний ресурс, здесь
t < г. (15)
Доказательство. Из формулы (8) с учетом того, что при t > х P(t)/P(x) < 1, Q(t)/Q(x) < 1, имеем
Ро
(г) < |Цх)дх. (16)
0
Так как Г Ц(х)дх = - 1пР(г), то, используя оценку для стареющих объектов [3]
0
г
г
г г г
P(t) > е , (t < г), получим I Ц(х)дх < -.
0г
»> е , и <
0
Учитывая это в соотношении (16), найдем оценки (14).
Рассматривая непараметрические оценки (12), (13) и (14), видно, что в оценочных функциях не участвуют характеристики восстановительного процесса. В связи с этим возникает вопрос: насколько это закономерно? Ответом на это служит следующее утверждение [5].
Теорема 3. Если интенсивность отказов объекта Ц(х) тождественно не равна нулю и Р= 1, то существует такое целое число m, для которого справедливо соотношение
5* 131
Иш
а(г - а)
Ро ( г) = т - 1} ( а)
г ^ а( г а)т т!
Из этой теоремы следует, что при t —a имеем \(т -1) (л)
п 1 Ц (а),. -.т , т
Рб(г) = 1--г^Чг- а) + 0(г- а) •
т!
Видно, что вероятность безопасного применения техногенно-опасного объекта в течение достаточно малой длительности сверх времени t = a близка к единице, несмотря на то, что значение интенсивности отказов в этот момент может оказаться большим. Другими словами, при t —- a вероятности состояний объекта зависят только от принимаемых значений интенсивности отказов и не зависят от характеристик восстановительного процесса.
Оценки вероятностей опасных и безопасных состояний интенсивно восстанавливаемых стареющих объектов. Будем считать, что объект интенсивно восстанавливается, если его интенсивность восстановления ц(0 как функция времени t монотонно растет.
Для таких объектов можно избавиться от ограничения (15), доказав следующее утверждение.
Теорема 4. Для вероятностей опасного и безопасного состояний интенсивно восстанавливаемых стареющих объектов справедливы следующие оценки:
Ро( г) < гЦ г) 1 - Р ( -) 0 ( г) , р6( Л> 1 - а( г) 1 - Р ( -) 0 ( -) . (17)
^ ^1п(Р(г)0(г))' бК' у1п(Р(г)0(г))
Доказательство. Для интенсивно восстанавливаемых стареющих объектов справед-
х х
ливы следующие оценки при x < t [6, 7]: Р^) > P(t)', Q(x) > Q(t)'. Учитывая эти оценки и то, что при х < t Ц^) < из формулы (8) получим
(г)< Р(г)0(-)Ц(г) |(Р(х)0(х)) ' дх. (18)
Ро
Так как
|( Р (х) 0 (х ))--дх = г( Р( г ) 0 ( г) ); 1 - -1
-1
- 1п (Р (г) ¿0))
то из (18) найдем искомые оценки (17).
Покажем, что оценки (17) достижимы, т.е. существует такой закон распределения безотказных наработок и такой закон времени восстановления, для которых правые и левые части оценок (17) равны.
Для этой цели положим вероятность безотказной работы объекта, равной
Р( г) = ехр (-Ц г), (19)
а вероятность невосстановления, равной
0( г) = ехр (-ц г),
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.