Письма в ЖЭТФ, том 101, вып. 12, с. 925-930 © 2015г. 25 июня
Непертурбативное обобщение "золотого правила" Ферми
Б. М. Карнаков1*)
Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", 115409 Москва, Россия Поступила в редакцию 29 апреля 2015 г.
Рассматривается задача о вырывании в-электрона, связанного в короткодействующей яме, внешним не зависящим от времени электромагнитным полем. Получена простая формула для вероятности распада состояния, носящего характер туннелирования электрона. Рассмотрено ее приложение к случаю совместного действия однородных электрического и магнитного полей. Подчеркивается, что в случае сильного магнитного поля имеющиеся в литературе результаты требуют уточнений.
БО!: 10.7868/80370274X15120103
"Золотым правилом" Ферми (первым) называют (см., например, [1,2]) известную формулу для дифференциальной вероятности перехода в единицу времени из начального состояния |«о) с энергией Е^ (в дискретном или в непрерывном спектре) в состояния
I (0)\ - тЧО)
непрерывного спектра ) с энергией в кванто-
вомеханической системе с не зависящим от времени
гамильтонианом
Н = Нп
V
(1)
в первом порядке теории возмущений по V [1-3]:
Mi о "?>) = у >| Vf-^M-r =
2тг
т
К]\По) dpiA0)(Ei°y).
(2)
Напомним, что dv
(0) /
dp to) dE^0); dp -
f f
дифференциальная энергетическая плотность конечных состояний в непрерывном спектре.
Для переходов между состояниями непрерывного спектра формула (2) позволяет рассчитывать дифференциальные сечения процессов столкновения частиц, включая и релятивистскую область энергий (тормозное излучение, фотоэффект и т.д.).
Многочисленными являются применения формулы (2) в случаях, когда в отсутствие возмущения V в системе имеется дискретный уровень (связанное состояние), лежащий непосредственно на фоне непрерывного спектра невозмущенного гамильтониана Но (т.е. система не является одноканальной). Под действием возмущения V, связывающего различные каналы, это состояние становится квазистационарным. В таком случае формула (2) позволяет определить
-^e-mail: karnak@theor.mephi.ru
вероятность w его распада в единицу времени (или связанные с нею время жизни состояния г = l/w и ширину уровня Г = hw). В частности, с помощью этой формулы рассмотрены такие процессы, как излучение атомных систем, эффект Оже, внутренняя конверсия 7-лучей и т.д. [4].
В случае связанного состояния электрона в короткодействующем потенциале Us (г) влияние возмущения на уровень существенно зависит от поведения V на больших расстояниях, где вероятность нахождения электрона экспоненциально мала. Если это взаимодействие является малым, 1^1 <С Й2/тог2, во всем пространстве, то оно приводит лишь к сдвигу уровня, который может быть рассчитан по теории возмущений. Уровень остается дискретным, так как нижняя граница непрерывного спектра по-прежнему Е = 0. Если же V на больших расстояниях опускает эту границу ниже положения уровня (как это имеет место при наложении однородного электрического поля, V = е£г), то рассматриваемое состояние благодаря туннелированию электрона становится квазистационарным. Однако для вычисления ширины уровня формула (2) теории возмущений неприменима. Далее будет получено ее непертурбативное обобщение.
Рассматриваемая одноэлектронная система характеризуется не зависящим от времени гамильтонианом
Н = -^-A+Us(r) + Vf ее Ho+Vf ее Hf + Us(r), (3)
т.е. в системе имеется два взаимодействия, Us (г) и Vf, причем с сильно различающимися областями действия сил. Предполагается, что потенциал взаимодействия Us (г) является короткодействующим с радиусом действия сил rs (Us(г) « 0 при г > rs, кулоновского взаимодействия нет) и в нем имеется
дискретный в-уровень с энергией Е^ = — Ь?к?/2т и волновой функцией фа°\г) в отсутствие Эта нормированная на 1 волновая функция при г > г^ имеет асимптотику
У 27Г г
где Ск ~ 1 — так называемый асимптотический коэффициент, который зависит от конкретного вида из (г); Ск = 1, когда IIв моделируется потенциалом нулевого радиуса [5].
Взаимодействие Vf предполагается таким, что при его включении невозмущенный уровень становится квазистационарным состоянием, т.е. приобре-
п(0)
тает ширину, а также испытывает сдвиг: Ея —>■ ->■ Еа = Ёа - гГе/2. Здесь Ёа = Е^0) + АЕа, где АЕ8 является сдвигом уровня, обусловленным взаимодействием Vf, а Гя - связанное с ним уширение уровня. Энергия (комплексная) Е3 квазистационарного состояния и его волновая функция ф^ определяются из решения уравнения Шредингера:
= Еаф(+\ (4)
удовлетворяющего при г оо условию излучения Зоммерфельда, т.е. соответствующего "уходящим" волнам [6]. Непосредственный аналитический расчет Е8 и Гя согласно уравнению (4) требует конкретизации вида как из (г), так и У^ и возможен лишь в исключительных модельных случаях для последних. Ниже мы рассмотрим случай, когда при определенных ограничениях на и в (г) (см. выше) и Vf возможно приближенное вычисление Е3 и Гя, не требующее точного решения уравнения (4).
Для дальнейших преобразований важны следующие ограничения на V}: взаимодействие считается слабым, \Vf\ <С Й2к2/то, лишь на расстояниях г ^ 1 /к ~ г в, т.е. как в области действия потенциала из (г), так и в области локализации волновой функции невозмущенного состояния. Однако на больших расстояниях никаких существенных ограничений на Vf не накладывается, кроме отмеченного выше важного условия о понижении границы непрерывного спектра на больших расстояниях, так что взаимодействие Vf уже не является малым. Поэтому на таких расстояниях его нельзя учитывать по теории возмущений, как это предполагалось при выводе формулы (2). Тем не менее в данном случае как сдвиг уровня, так и приобретаемая ширина уровня малы по сравнению с энергией связи невозмущенного состояния. При этом ширина уровня экспоненциально мала по сравнению с его сдвигом.
Воспользуемся интегральной формой уравнения (4) с функцией Грина С^Дг, г') = ¡(Е„1 — Е3 — — iO)~lфlJs(т)фls(т')dl>f оператора Я/, рассматривая
слагаемое — 11{г)ф[+\г) как неоднородный член в правой части уравнения (4) [6]. Здесь фи!{г) и Е1// -система ортонормированных собственных функций (образующих полную систему) и соответствующие им значения энергии гамильтониана Hf. Уравнение
(4) принимает вид (Е8 = Е8 — гГя/2)
^(+)(Г) = _ [--ф (г) х
У Е„; -Еа-10 м
х | ф1}{г<)и8{г<)ф(+\г<)сРг<. (5)
Шириной уровня здесь пренебрегается ввиду ее экспоненциальной малости. Заметим, что влияние как сдвига уровня, так и искажения на расстояниях г < < гд волновой функции ф^ по сравнению с ф^ на вероятность вырывания электрона выступают как поправки. Ниже мы будем использовать их невозму-
п(0) /(0)
щенные значения Ьа и щ ■
Сделаем важное замечание. Возможность вычисления ширины уровня с помощью приближенного уравнения (5) (вообще не содержащего ширину уровня!) связана с тем физическим обстоятельством, что вероятность распада квазистационарного состояния в единицу времени и> = Г/Н совпадает с потоком вероятности го = $ ¿(¿в на больших расстояниях (в пределе г —> оо), который определяется непосредственно функцией фе+\г). На расстояниях г > г^ волновая функция (5) удовлетворяет уравнению Шредингера Hfфi+\r) = Е^0)ф^+\г). Следовательно, в данном случае в формуле (5) при интегрировании по энергии Еи/ (содержащемся в § ..Ль>^ значение интеграла определяется вычетом в полюсе. Поэтому можно заменить 1/(£Ц - - ¿0) ->• 2тг - Е8(0)) и
записать волновую функцию (5) в виде2'
^+>(г) = -2ш I - Е^ф^г)^,
т —у оо, (6)
где введено обозначение
= I ф1{(г)и3(г)фМ(г)сРг. (7)
Контур интегрирования по Еможно замкнуть в верхнюю полуплоскость. Значение интеграла определяется вычетом в полюсе — Ед0"1 — ¿0).
Ниже будет показано, что (Е1/}) при Еи/ = Е^ (на энергетической поверхности вылетающих электронов) имеет смысл парциальной амплитуды распада - амплитуды вырывания электрона в состояние
Ы-
Заметим, что коэффициент =
= —2'К1аг1,!(Е^)8(Е1,! —Е^) в разложении волновой функции (6) определяет распределение вероятностей различных значений квантовых чисел Vf для вылетающего электрона:
(¡ТО,
V}
(8)
Используя известный прием обращения с квадратом 5-функции 62(Е^1 —
, состоящий в заменах 52(Е- Е^У) 5(Е = О)6{Е„, - £#»), (9)
т/2
6(Е = 0) = ( Л= -¡-Т, Т к ' 2-кН .) 2тгН '
—> 00,
(10)
-т/2
приходим к формуле для дифференциальной вероятности вырывания электрона в единицу времени:
(¿«л
9тг
2и
(И)
внешне похожей на формулу Ферми (2) (см. ниже (28)).
Матричный элемент в формуле (7) допускает существенное упрощение:
а^^У) = (^\и3(гМ°1) =
Интегрирование в формуле (11) дает полную ширину уровня
г8 = пюа = (2^)2—/ \ф щ2аР„г (13)
J
Формулы (11)—(13) единообразным способом описывают вероятности вырывания в-электрона из короткодействующей ямы статическими электромагнитными полями различной конфигурации. Их применение особенно эффективно в важном случае однородных полей, когда в уравнении Шредингера с гамильтонианом Hf происходит разделение переменных. В качестве иллюстрации рассмотрим вырывание электрона в параллельных однородных электрическом и магнитном полях. В данном случае удобно выбрать векторный потенциал А = = ^ И х г и воспользоваться цилиндрическими координатами. Тогда в гамильтониане Hf электрона во внешнем поле переменные продольного и поперечного движения разделяются и он принимает вид (далее, как правило, е = Н = те = 1)
И} = Щ+Щ = 1^]ЛШн1+1-ш2нр2+12р1-Ег. (14)
Считаем поля направленными в одну сторону, причем противоположно оси г, заряд электрона —е < О, Е = е£ > 0, шц = еН/тес. Поэтому собственные функции и собственные значения гамильтониана (14) могут быть выбраны в виде (см. §§ 24, 112 в [3],
= 1г
фи}(г) ее фЕ,прт = Фпрт(р)фЕ,(г 1
Е1// — Ег + Е1 — шя
+ о(1т1 —т + 1)
+ Е, (15)
Ь2 Атк
г 1 1 (4 \ г 1
,(0) (А-к2) фМ(г)<Рг = = Ф [~(2Е)^{г + , (16)
ф:М
(12)
Фпрт{Р)
1
р\ац
(ц + пр)\
2^ • 27гn)9!j
1/2
-
ан
Здесь К гд выбрано таким образом, что V) при г < Д еще можно рассматривать как малое возмущение. Поэтому под интегралом (см. (7)) можно положить
ф (г) =
кг
как для свободной частицы. При вычислении интеграла использована формула Грина, а для функции ф^°\г) - е
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.