ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2004, том 30, № 8, с. 722-738
КИНЕТИКА ПЛАЗМЫ
УДК 533.9
НЕРАВНОВЕСНЫЕ ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ
В ПЛАЗМЕ ПОЛУПРОВОДНИКА, ОБЛУЧАЕМОГО БЫСТРЫМИ ИОНАМИ
© 2004 г. С. И. Кононенко, В. М. Балебанов*, В. П. Журенко, О. В. Калантарьян, В. И. Карась**, В. Т. Колесник, В. И. Муратов, В. Е. Новиков***, И. Ф. Потапенко****, Р. 3. Сагдеев*****
Харьковский национальный университет им. ВН. Каразина, Харьков, Украина * Институт космических исследований РАН ** Национальный научный центр "Харьковский физико-технический институт", Харьков, Украина *** НТЦ "Электрофизической обработки" НАНУ, Харьков, Украина **** Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН ***** Мерилендский университет, Вашингтон, США Поступила в редакцию 21.10.2003 г.
Получено решение кинетического уравнения для электронов, рассеивающихся на акустических фо-нонах в твердом теле, и показана связь степенных асимптотик решений с потоками частиц или энергии, возникающими в фазовом пространстве. Для неравновесной твердотельной плазмы с источниками и стоками приведена зависимость параметра неэкстенсивности от потока в фазовом пространстве. Приведены результаты численного моделирования формирования стационарной неравновесной функции распределения в полупроводниках при наличии источника и стока в фазовом пространстве на основе интегралов столкновений Ландау и Фоккера-Планка. Представлены результаты экспериментальных исследований функций распределений неравновесных электронов, формирующихся в твердотельной плазме полупроводников и сурьмяно-цезиевого катода. Показано, что эти функции в исследуемом диапазоне энергий электронов от 5 до 100 эВ имеют степенную зависимость от энергии.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время в связи с развитием мощных источников частиц и излучений постоянно растет интерес к свойствам неравновесных систем. Присутствие источников и стоков в импульсном пространстве может приводить даже в пространственно однородных системах к формированию неравновесных функций распределения частиц, обладающих степенными асимптотиками. Неприменимость в таких ситуациях приближения локального равновесия связана с наличием потоков в фазовом пространстве. В первой части работы изучены асимптотические свойства таких неравновесных состояний и показана их связь с неэкстенсивной термодинамикой Тсаллиса, получена зависимость параметра неэкстенсивности от потока в фазовом пространстве, т.е. интенсивно-стей источников и стоков.
Во второй части работы численно исследовано формирование стационарной неравновесной функции распределения частиц, взаимодействующих с потенциалом отталкивания бесконечного радиуса действия. Столкновительная динамика такой системы исследуется на основе пространственно однородного нелинейного интеграла
столкновений в форме Ландау-Фоккера-Планка, являющегося моделью интеграла столкновений Больцмана. Для численного моделирования используются полностью консервативные разностные схемы.
В третьей части работы приведены результаты экспериментальных исследований формирования неравновесных функций распределения электронов в плазме полупроводников и сурьмяно-цезиевого катода. Изучение функций проводилось методом вторичной электронной эмиссии, индуцированной быстрыми легкими ионами. Приведены формируемые функции распределения и коэффициенты вторичной ионно-электрон-ной эмиссии. Показана их связь с мощностью источника в треке иона.
1. СТАЦИОНАРНЫЕ НЕРАВНОВЕСНЫЕ СОСТОЯНИЯ ЧАСТИЦ С ПОСТОЯННЫМИ ПОТОКАМИ В ФАЗОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Квазистационарные неравновесные состояния систем частиц могут быть изучены с помощью решения кинетических уравнений, учитывающих наличие источников и стоков частиц. Существование степенных распределений частиц по энер-
гии было показано впервые теоретически в [1-4], а экспериментально - в [5-6]. В [1-2] было показано с помощью преобразований подобия, что кинетическое уравнение Больцмана для пространственно однородных систем имеет точные степенные стационарные решения. В [3-4] было показано с помощью прямых вычислений интеграла столкновений Больцмана и Ландау, что степенные распределения
F(E) = AE ,
(1)
где 5 - показатель степени, А - константа, являются стационарными решениями кинетических уравнений, обращающими потоки частиц или энергии в фазовом пространстве в ненулевые константы. Такие состояния частиц подобны колмогоровским спектрам волн в турбулентном состоянии. Причем, эти состояния зависят только от интегральных характеристик источника и стока [4].
В частности, к неравновесным однородным в пространстве системам, имеющим степенные распределения частиц по энергиям, относятся электронные подсистемы полупроводников под воздействием электромагнитного поля с энергией кванта порядка запрещенной зоны [7] или электронная подсистема в металлах, находящихся под воздействием процессов ионизации при движении альфа-частиц в веществе [5].
В степенных решениях кинетического уравнения Больцмана, полученных в [1-4], показатель 5 зависел лишь от степени однородности потенциала взаимодействия частиц. В этих работах были также проанализированы как дисперсионные свойства плазмы со степенными распределениями электронов, так и ионизационное равновесие в таких неравновесных стационарных состояниях. В [8, 9] было показано, что наличие двух компонент функции распределения: равновесной и неравновесной приводит к существованию плазменных колебаний с линейной дисперсией. Наличие таких плазменных колебаний может быть существенно для многих взаимодействий в плазме полупроводника, в частности, для плазмонного механизма сверхпроводимости [10].
1.1. Основные уравнения
Представляет интерес изучить примеры, в которых может быть явно прослежен эффект воздействия источника на отклонение функции распределения от равновесия.
Точные решения уравнений Больцмана для пространственно-однородного газа в случае специальной модели столкновения (газ максвеллов-ских молекул) для релаксации к термодинамическому равновесию впервые были получены в [11], обобщение на неравновесный случай было сдела-
но в [12]. Обратим внимание на то, что метод, изложенный в [11], был обобщен на широкий класс степенеподобных межмолекулярных потенциалов [13].
Можно также строить математические модели для интеграла столкновения в кинетических уравнениях таким способом, чтобы кинетические уравнения, с одной стороны, становились более поддающимися аналитическому анализу и, с другой стороны, все еще сохраняли некоторые из существенных свойств (присущих полным нелинейным уравнениям) типа законов сохранения и Н-теоремы [11, 14].
В настоящей работе исследуются особенности стационарных неравновесных распределений частиц в системах с источниками и стоками для взаимодействия электронов с фононами в твердотельной плазме. Внимание концентрируется на эволюции их состояний, но не во времени, а при изменении параметров неравновесности (потока) системы.
Для описания кинетики электронов используем пространственно-однородное нелинейное (за счет учета квантовой статистики) кинетическое уравнение с источниками и стоками [15]
f = dt
1
4 п v
2 д
-П{ f, v} + v).
v
(2)
Для изотропной среды удобно сделать замену переменной i = v 2/2, F(e) = 4п V2i f (72!) (здесь v -скорость частицы, нормированная на среднюю скорость частиц v0r в начальном состоянии).
Рассмотрим важный класс источников - источники, которые локализованы в пространстве энергий S+(i) = Q;£;5(i - £). Стоки часто используются в форме Sje) = v(i)F(i). Воспользовавшись этими моделями, запишем выражение, которое описывает источники и стоки, в виде
W(i) = S+ (!) - S-(!). (3)
Для заряженных частиц, взаимодействующих с фононами, выражение для потока в кинетическом уравнении имеет особенно простой вид:
П({f }, v) = D(v)fv + F(v)f (v)(1-f(v)), (4) о v
где выражения для коэффициента диффузии D(v) и силы сопротивления F( v) для движения частиц в фазовом пространстве имеют степенную зависимость от энергии электронов и приведены для различных случаев в [16]. В области постоянного потока P уравнение для стационарной функции распределения (для указанного выше типа взаимодействия) имеет вид
. !£+f - f ' = pv
(5)
№ 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1.7
3.3
5.0
6.7 Е/Ер
Рис. 1. Функции распределения электронов, рассеивающихся на акустических фононах, при Т = 0.1Ер. Кривые соответствуют Р = -0.81 (1), -0.4 (2), -0.1 (3).
где Т)(е) =
В (8)
. После замены /(8) = -
dy(8)
Р (8)
это уравнение преобразуется ние второго порядка
2
х2а у(8) + Т Р
у(8) ¿8 линейное уравне-
а 8
а 8
+ -5 у (8) = 0.
(6)
1.2. Результаты решения уравнения (6)
Общее решение уравнения (6) имеет следующий вид:
у (8) = с 1 а/-;!-! + с 2
12 Т о.
Ч 2 Т0
V
= 1 - 4 • (7)
4 Т
* (
где 1г(1) и Кх(1) - функция Бесселя первого рода мнимого аргумента и функция Макдональда соответственно. Константы интегрирования определяются из условия сшивки с равновесным решением в областях вне инерционного интервала.
Для прояснения влияния на вид функции распределения электронов в твердом теле степени неравновесности (интенсивности источника) приведем графики численного решения кинетического уравнения для нескольких возрастающих значений Р.
На рис. 1 приведены результаты решения кинетического уравнения для случая рассеяния электронов на фононах с температурой Т0 = 0.1ЕР (ЕР - энергя Ферми). С ростом интенсивности источника, как видно из приведенного рисунка, неравновесная часть функции распределения возрастает.
Характер временной эволюции функции распределения продемонстрирован на рис. 2-4. На
4.0
Е / ЕР
Рис. 2. Поверхность, представляющая зависимость функции распределения от времени и энергии при Р = -0.4.
рис. 2 и 3 показана эволюция функции распределения и потока частиц в фазовом пространстве к своим стационарным значениям при наличии источников и стоков определенной интенсивности. Как видно из рис. 3, в конце эволюции по времени образуются области с квазипостоянным по энергии потоком в фазовом пространстве. Из рис 3 и 4 видно, что в области постоянства потока образуют-сяквазистепенные участки на функции распределения. Области нулевого потока (см. рис. 2, 4)
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.