ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА, 2004, том 67, № 12, с. 2171-2177
ЯДРА
НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЕ ОПИСАНИЕ НУКЛОН-ЯДЕРНОГО
РАССЕЯНИЯ
© 2004 г. М. М. Мирабуталыбов
Азербайджанская государственная нефтяная академия, Баку Поступила в редакцию 24.12.2003 г.
В рамках квазиклассики в высокоэнергетическом приближении с искаженными волнами на основе трехмерной формулировки в аналитическом виде получено выражение для амплитуды рассеяния протонов промежуточных энергий на атомных ядрах. Как следствие короткодействующего характера протон-нуклонного взаимодействия, процесс рассеяния протона на ядре представляется как сумма однократных рассеяний на каждом нуклоне. С помощью предложенного математического метода получена рекуррентная формула, которая позволяет выразить формфактор ядра, полученный в рамках метода искаженных волн, в виде суммы бесконечного борновского ряда. В результате анализа экспериментальных сечений по упругому рассеянию протонов с энергией 1 ГэВ определены параметры распределения протонов и нейтронов в сферических ядрах 40Ca, 48Ca, 9С^г, ^^Ь, в частности ширина поверхностного слоя нуклонов, среднеквадратичные радиусы распределения плотности протонов, нейтронов и нуклонов. При этом для распределения плотности нуклонов была использована модифицированная функция Ферми.
Бурное развитие экспериментальной техники в последнее десятилетие позволило провести многочисленные опыты по рассеянию протонов на ядрах в области промежуточных энергий налетающих частиц. Оказалось, что при использовании в качестве пробных частиц протонов с промежуточной энергией трудностей в интерпретации экспериментальных данных значительно меньше, чем при использовании частиц меньших энергий. Некоторые эффекты, играющие важную роль при рассеянии частиц низкой энергии, точный учет которых вызывает затруднения, при промежуточных энергиях почти полностью вымирают. В результате механизм реакции становится весьма простым. Процессы взаимодействия нуклонов промежуточных энергий с ядрами, когда их энергия превышает энергию Ферми, а переданные ядру энергия и импульс малы по сравнению с энергией и импульсом налетающего нуклона, позволяют рассматривать рассеяние протона промежуточной энергии на ядре-мишени как последовательность однократных рассеяний с каждым нуклоном, который встречается на его пути. Такой подход позволил развить теорию многократного рассеяния нуклонов на ядрах [1, 2]. Амплитуда рассеяния, полученная в [1, 2] с помощью высокоэнергетического приближения (ВЭП) (У/Е < 1, кЕ » 1, где Е — энергия падающего нуклона, У — ядерный потенциал, Е — область действия потенциала) на основе эйко-нального подхода, справедлива только в области малых углов рассеяния в ^ (кЕ)-1. Проведенные
в рамках этой теории расчеты сечений рассеяния протонов на ядрах показали, что требуется более точно определить фазовую функцию в волновых функциях перерассеянного протона.
В работе [3] был предложен другой подход, в котором с помощью приближенного метода суммирования бесконечного борновского ряда получена амплитуда процесса, справедливая в области больших углов рассеяния в > (кЕ)-1/2. Однако и здесь возникают проблемы при вычислении большого числа фаз рассеяния.
В работе [4] на основе трехмерной квазиклассики в ВЭП авторуудалось единым образом получить амплитуды рассеяния для динамических малых и больших углов рассеяния. Многочисленные расчеты и сравнение зарядовых формфакторов ядер [5] и [6] показали, что полученные выражения для амплитуды рассеяния на основе трехмерной квазиклассики в ВЭП всегда работают с большой точностью.
В настоящей работе поставлена цель на основе квазиклассического подхода получить явное выражение для амплитуды рассеяния и связать его с теорией многократного рассеяния, а также разработать метод вычисления амплитуды рассеяния.
Запишем дифференциальное сечение процесса в общем виде:
2|гттЕ Е
(1(Т
(Ш
2171
Здесь ^ (кг, kf) — амплитуда рассеяния нуклона с импульсом кг и проекцией спина аг при переходе в конечное состояние с импульсом kf и проекцией спина а]; Мг — проекция спина ядра-мишени, а М] — проекция спина ядра отдачи, отличная от нуля в случае неупругого рассеяния,
m ЪрЬ2
Jf Mf
fif (ki, kf ) =
idf (r)v (re )ф(+) (r)
(2)
JiMi
Волновая функция ядерного состояния \JM) зависит от соответствующих координат внутреннего движения £ нуклонов ядра.
Волновые функции относительного движения падающих и рассеянных нуклонов, как решения уравнения Шредингера, принимают следующий вид:
ф(±)(k, r) = expji[k • r ^ Ф(±)(к, r)]} , (3)
где искажающий член в фазе
Ф(±)(к,г) = ^ J V(r^ks)ds.
(4)
При вычислении (4) предполагается, что траектории рассеянных частиц есть прямые линии.
Выбирая OZ || k и полагая r = р + kz (где р — прицельное расстояние), искажающий член представим в виде двух интегральных слагаемых [7]:
z
ф(±) (к, Г) = J V (л/р2Ti2) dt ± (5) 0
V(t) - V (л/^+Р
±
т ¥к
dt.
Для вычисления первого интеграла разложим ядерный потенциал V в ряд Тейлора:
где
V(r) и V(0) + ak3r2/2, 1 d2V (r)
a =
k3 dr2
(6)
(7)
r=0
Второй интеграл определяется путем разложения его по степеням прицельного расстояния (р2), при этом ограничимся только квадратичным членом:
m ¥к
V(t)-V (лЛ^П?
dt =
(8)
mp
1 dV , mp4
__fif _ _1_ V
2 пч J t dt 8 пч 0
x I I - X^P]dt = -b(pk)2 + c(pk)A,
t2 dt2 t3 dt
0
где
b =
ОО
m f 1 dV
-—dt,
m
2h2k3 J t dt 0
1 д 2V 1 dV
c = —
8 h2k5
t2 dt2 t3 dt
dt.
(9)
(10)
Таким образом, искажающий член принимает следующий вид:
(11)
ma 2П?к
(k p2z + k z /3) t b(pk)2 + c(pk)4
Учитывая, что r = p + kz и p _L k, запишем (11) в векторном виде:
Ф(±)(М) = -^П0)(к-г)- (12)
ma
(k • r)(3k2r2 + (k • r)2) t
2 Н2к
Т Ь[г х к]2 ± с [г х к]4.
Пользуясь свойством сферической симметричности ядерного потенциала, из статического уравнения
V2V(г) - k2V(г) = 4п^р(т) (13)
для коэффициента разложения потенциала получаем
а = + (14)
3k3
Здесь 7 = ^ = 0.08 — константа связи, определяемая из эксперимента по нуклон-нуклонному рассеянию [8]; р(г) — распределение плотности нуклонов в ядре; ко = тпс/Н, его обратное значение соответствует радиусу действия ядерных сил.
При вычислении V(0), Ь и с в искажающем члене (12) предполагается, что искажение происходит в мезонном поле точечного источника (нуклона) в ядре — в потенциале притяжения типа Юкавы. Ядерный потенциал при этом принимает следующий вид:
т) = 40«
0
0
0
0
+ / р(х£)хе-к°хйх
Теперь в рамках ВЭП, пренебрегая потерей энергии падающего нуклона ДЕ ^ Е (где Е = = К2к2/(2т)) и полагая |кг| = |к/| = к, можем записать:
ф/ )Ф(+ = exp [¿я • г + ¿Ф(г)]
Подставляя (20) в (19), для амплитуды рассеяния получаем следующее выражение:
= I е^'-г'упсК(\г'\)(1г', (21)
где я' = к — к' — импульс передачи падающей частицы нуклону мишени. Искаженный нуклон-нуклонный потенциал при этом принимает вид:
(16)
здесь я = кг — к/ — импульс, переданный ядру мишенью,
уиск (г) = v(r)exp —
гт
Ш
уйг'
(22)
Ф(г) = • г - к» • г) - — х
12Е
(17)
Учитывая в (18) фурье-преобразование у(|г|) из (21), для ядерного потенциала получаем
х (3к2г2(к • г — к/ • г) + 2(к • г)3 — 2(к/ • г)3) - у= — — Ь([г х кг]2 + [г х к/]2) + с([г х кг]4 + [г х к/]4).
К2
(2п)2 ¡10
егя''(г-х) ¡ммЫ)р(хОйя'йх.
(23)
За время пролета быстрого протона через ядро можно пренебречь изменением положений нуклонов в ядре. Рассеяние происходит в основном вперед — на малые углы. Рассеиваемый нуклон последовательно взаимодействует с несколькими нуклонами ядра, которые встречаются на его пути. Поэтому, вследствие короткодействующего характера нуклон-нуклонного взаимодействия, рассеяние нуклона на ядре можно записать как последовательность однократных рассеяний. Учитывая это, ядерный потенциал представим как интеграл составляющих взаимодействий у(|г — х|) падающей частицы с отдельными нуклонами рассеивающего ядра:
у (г£)=/ у(|г — х|)р(х£)йх. (18)
Так как энергия связи нуклонов ядра мала по сравнению с энергией налетающего протона, то эффектами связи нуклонов можно пренебречь и выразить потенциал нуклон-нуклонного взаимодействия через амплитуды рассеяния на свободных нуклонах, которые определяются из решения уравнения Шредингера [1]:
/™(к',к) = / е-гк'^у(\г'\)фк(г')йг',
П (19)
где ¡0 = ШрШм/(тр + тN) — приведенная масса, тр — масса падающего протона, mN — масса нуклона в ядре-мишени.
Волновая функция падающего нуклона при этом имеет вид
фк (г) = exp
гт
¿к • г — I у(р + кг')йг' К2к I
Здесь для нуклон-нуклонной амплитуды выбирается следующая параметризация [9, 10]:
= (24)
Подставляя (16) и (23) в (2), производя при этом замену переменных и = г — х, а также используя в фазовой функции разложение
Ф(и + х) = ф(х) + УФ(и + х)„=ои + ..., (25) для амплитуды рассеяния получаем
¡г/ (Я) = —
К
2
ег(Чэф-q')■ufNN (я') х (26)
(2п)2 ¡0
х ег[Фх+ф(х)] М/ Р(х£) | ^Иг)йийя'йх,
где
яэф = я + VФ(u + х)и=о. (27)
Теперь, выражая р(х£) через радиальную переходную плотность ядра рь(х):
М/ РШ^Мг) = (28)
= ^ Рь(х)У/ы (^ЬМгМ и М/ ), ьы
после интегрирования для дифференциального сечения получаем
(29)
где формфактор
Рьы (я) = / ег[я'х+ф(х)^ (яэф )рь(х)У/ы (х)йх.
(30)
<Ь_ _ ( к2 У 127/ + 1 ул
(Ш ^ \4ттЁ) 2 2^ + 1 + 1
4 7 г ьы
Г
г
г
Таким образом, задача вычисления сечения сводится к вычислению формфактора (30).
Выделим из искажающего члена в фазе малый параметр 7 и перепишем формфактор в следующем виде:
= гка^—^ [ J(q,x)pL(x)Y£м(x)dx,
4п
(31)
здесь
J(q, x) = exp[iq • x - ^2q2 + i7Xi(x) + 72X2(x)]
(32)
Xi (х) = (Ф(х) + 2iqe2 V$(u + x)U=o)/7
X2(x) = -02(V^(u + x)U=o)2/7 2
Разложим J(q, x) в ряд по степеням 7 ^ 1:
те
J (q, x) = £ 7nJn(x). (33)
n=0
Запишем производную выражения (32) по 7 в виде dJ(q, x)
д7
= [iXi(x) + 27X2(x)]J (q, x). (34)
В то же время, разлагая (34) в ряд по степеням 7 и сопоставляя его с производной от (33) по 7, получаем следующую рекуррентную формулу:
(п + 1),1.п+1 (х) = + (35)
+ 2х2(х)-1и-1(х), п = 1,2,3,...,
где
Ji(x) = ixi(x)Jo(x),
(36)
4п
где
ОД = 1 + iФ(x) - 2в2qV$(u + x)\M=o -- Ф2^)/2 - 2i^2q$(x)V$(u + x)|ад=о +
целью выбираем следующую систему координат: OZ || q, где q = \q\
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.