МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2014
УДК 533.6.011:537.523.3
© 2014 г. А. Б. ВАТАЖИН, К. Е. УЛЫБЫШЕВ, Е. К. ХОЛЩЕВНИКОВА
НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАРЯДКА ЭЛЕКТРИЧЕСКИ ИЗОЛИРОВАННОЙ СФЕРЫ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ С ИОННОЙ КОМПОНЕНТОЙ ПРИ НАЛИЧИИ ВНЕШНЕГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ
Рассмотрен нестационарный процесс накопления заряда на электрически изолированной сфере при ее обтекании турбулентной средой, содержащей ионную компоненту, при наличии внешнего электрического поля. Численное моделирование проведено на основе нестационарных электродинамических уравнений и осредненных уравнений Навье—Стокса (приближение ИА^) с использованием однопараметрической модели турбулентной вязкости. Определены распределения концентрации ионов, электрического тока и потенциала. Проанализированы особенности полученной зависимости потенциала сферы от времени.
Ключевые слова: турбулентный поток, электрически изолированная сфера, ионная компонента, нестационарная зарядка сферы, ламинарная и турбулентная диффузия ионов, потенциал сферы.
В работе [1] сформулирована общая задача о зарядке электрически изолированных тел, попадающих в движущуюся среду, содержащую ионную компоненту (или движущихся в такой среде). Эта задача необходима для понимания процесса зарядки движущихся тел (летательных аппаратов и их элементов) в атмосфере и для правильной организации исследований по зарядке тел небольших размеров в экспериментальных условиях (в частности, зондов).
В [1] была представлена система нестационарных электродинамических уравнений с начальными и граничными условиями и гидродинамические уравнения (для вязкой среды в ламинарном приближении). Численный расчет в [1] был проведен при малых скоростях потока и отсутствии внешнего электрического поля.
В данной работе, которая является продолжением исследования [1], рассматривается проблема зарядки тела (сферы) в условиях, близких к реализуемым на экспериментальных установках, где поток с ионной компонентой создается путем обтекания коронного разряда турбулентной струей [2]. В этом случае имеется сильное внешнее электрическое поле, которое существенно влияет на процесс зарядки установленной в таком потоке сферы.
Представлена соответствующая рассматриваемой постановке задачи система уравнений, в которой учтены наличие внешнего электрического поля и турбулентный характер движения среды. Проведено численное моделирование процесса зарядки сферы в этих условиях и обнаружены новые качественные эффекты.
1. Постановка задачи. Схема осесимметричного электрогазодинамического течения около проводящей электрически изолированной сферы, нестационарная зарядка которой обусловлена введением в поток ионной компоненты, и соответствующая расчетная область представлены на фиг. 1. Сопло, из которого истекает газодинамическая струя, расположено достаточно далеко от сечения АВ выше по потоку. Поэтому сфера 1 находится на участке струи с развитой турбулентностью, и поперечный размер струи превосходит диаметр сферы. Распределение концентрации ионов в сечении АВ моделируется зависимостью п0(у) на фиг. 1. В струю, на небольшом расстоянии
у = h
Ф = Фо
В С 1
_уп- = п0(у) Ф
^^ и = ио(у)
А V, = vffl(y) ^^ф = фЛО 1
Ф = 0
х = L
Б
Фиг. 1. Схема течения и расчетная область
и
оо
от сечения АВ вверх по потоку, вводится коронный разряд, создающий ионную компоненту. На границе ВС концентрация ионов равна нулю, продольная скорость, по предположению, равна своему значению в точке В. Сечения АВ и СБ представляют собой прозрачные для газа сеточные электроды, между которыми задается разность потенциалов фо .
Предполагается, что параметр электрогидродинамического (ЭГД) взаимодействия мал, и распределения гидродинамических параметров не зависят от электрических процессов. Они описываются осредненными уравнениями Навье—Стокса и однопа-раметрической моделью для турбулентной вязкости [3, 4]. До момента t = 0 электрическое поле и заряд сферы равны нулю. В момент t = 0 "включается" разность потенциалов ф0 и задается распределение п0(у) концентрации ионов. Распределение внешнего "невозмущенного" электрического поля в области 2 устанавливается мгновенно, и далее начинается совместный нестационарный процесс развития поля концентрации ионов (вследствие их движения под действием электрического поля, скорости газа и диффузионных эффектов) и индуцированного электрического поля (обусловленного наличием ионов).
Граничные условия формируются следующим образом. На линии АБ задаются условия симметрии. На поверхности сферы ^ выполняется условие прилипания газа. Для электрических величин на задаются условие равенства нулю концентрации ионной компоненты и нестационарное условие, которое вытекает из уравнения, описывающего изменение поверхностного заряда проводящей сферы [1]
± \\<Шnds + \\jnds = о (1.1)
4dt "
s s
Здесь jn и Еп — составляющие векторов плотности электрического тока ] и электрического поля Е на поверхности сферы, направленных по внешней нормали п к поверхности. Переходя в (1.1) к сферическим координатам, находим, что на поверхности сферы выполняется соотношение
П 2 ч
+ jr
е d е = о (1.2)
где 0 — полярный угол.
На границе расчетной области ВС задается линейное изменение потенциала между точками В и С, в которых потенциал равен величине ф0 и нулю, а также предполагается, что турбулентная вязкость сохраняет свое значение в точке В. Помимо указанных выше граничных условий в сечениях АВ и ВС, на них задаются мягкие граничные условия.
2. Система уравнений. Гидродинамическая задача об обтекании сферы турбулентным потоком описывается следующей системой уравнений:
ди ди 1 до д Л , чди\ , 1 д | , , лди
и--+ и— =---- + — I (V + vt) — I +--1 у^ + vt) —
дх ду рдх дх\ дх/ у ду \ ду
и ди + и ди = -1 д±+ А (<у + у,) ди) +1 у(у + у,) йи
дх ду рду дх\ дх) у ду ^ ду
дЕ +1 = о (2.1)
дх у ду
и~~~ + у—'- = —I (V + XV,)—^ I + -—I (у(у + XV)—^ I + аОч, -1 'у 2 н "
дх ду дх V дх ) у ду V ду) I
Х = 2, у = 12, ß = 0.34, G =
(, v2 / \2\ / \2
ди\2 + f ди
дх! ^ду
ди | ди
ду дх
с j0.71
vt< 7v : а = 0.28; vt > 7v a = 0.28
Здесь x, у и и, и — осевая и поперечная координаты и компоненты скорости; v и vt — молекулярная и турбулентная вязкости; p — давление, р — плотность, l — кратчайшее расстояние от точки (x, y) до поверхности сферы. Коэффициенты в уравнении для турбулентной вязкости соответствуют модели [4].
Уравнения для концентрации ионов и электрического поля имеют вид [5—10]
e Qk + j + !М. = 0, j = e [(и + bE) - (D + vt)Vщ] dt дх у ду (2.2)
Дф = -4лепь E = -V9 (j = (jx, h), E = (Ex, Еу), и = (и, и))
Здесь щ — концентрация ионов (для определенности однозарядных и отрицательных), t — время, ф — электрический потенциал, e — элементарный заряд, D — коэффициент ламинарной диффузии ионов, b — подвижность отрицательных ионов в электрическом поле. В выражение для плотности электрического тока включен член, соответствующий турбулентной диффузии ионов.
Условия на границах расчетной области ABCD, необходимые для решения систем уравнений (2.1) и (2.2), на основании разд. 1 записываются следующим образом:
х = 0, 0 < у < h щ = п0(у), и = щ (у), и = 0, Vt = Vt0 (у), ф = Ф0
х = L, 0 < у < h: ^ = 0, ^ = 0, d-U = 0, ^ = 0, ф = 0 дх дх дх дх
у = h, 0 < х < L: щ = 0, и = и*, и = 0, vt = v*, Ф = Фо (l - х)
у = 0, 0 < х < L: д-П± = 0, ди = 0, у = 0, 5ф = 0, ^ = 0 ду ду ду ду
Здесь величины с верхним индексом "*" соответствуют точке B.
(2.3)
2
24
200 V,, см2/с
а
б
и, м/с
20
150
16
100
12
0
1
2 у, см 3
0
1
2 у, см 3
Фиг. 2. Распределение скорости потока (а) и турбулентной вязкости (б) в начальном сечении АВ расчетной области
На сферической поверхности граничные условия имеют вид
Потенциал ф„, на поверхности сферы в каждый момент времени однороден; функция ф^ (7) определяется в результате решения задачи. Нестационарным граничным условием на поверхности сферы служит соотношение (1.2).
В начальный момент времени t = 0 сфера обтекается турбулентным струйным потоком, и ее потенциал равен нулю. В этот же момент времени "включаются" внешнее электрическое поле (создается разность потенциалов между сечениями АВ и СБ) и источник ионов, создающий в сечении АВ показанное на фиг. 1 распределение ионной компоненты п0 (у).
Сформулированная задача, описываемая гидродинамическими уравнениями (2.1) для обтекания сферы турбулентным потоком, уравнениями электродинамики (2.2) и граничными условиями (2.3), (2.4), сводится к решению пяти нелинейных эллиптических уравнений относительно и, и, р, ф, V! и параболического (по времени) уравнения относительно щ. Особенности полученной системы уравнений — учет турбулентного характера движения среды, наличие интегрального нестационарного граничного условия (1.2) для определения функции ф„, (7) на поверхности сферы и наличие сильного внешнего электрического поля в уравнениях электродинамики.
Численное решение гидродинамических уравнений проводится в физических переменных и, и, р методом расщепления по физическим факторам [11]. Численное исследование электродинамических уравнений осуществляется так же, как в работах [1, 7].
3. Результаты расчетов. Расчеты проведены при следующих параметрах: Я = 0.5 см, V = 0.15 см2/с, Б = 0.052 см2/с, Ь = 2 см2/(В ■ с), п00 = 107 см-3, к = 3 см, хК = 4 см, Ь = 9.5 см, ф0 = 10 кВ. Скорость и турбулентная вязкость в точке А: и0 = 22 м/с,
vю = 182 см2/с; в точке В: и0 = и* = 12 м/с, V !0 = V 70 = 70 см2/с.
Распределения начальной скорости и турбулентной вязкости в сечении АВ были определены в результате расчета осесимметричной турбулентной струи, истекающей из сопла диаметром 2.8 мм, расположенного на оси х на расстоянии 17 см вверх по потоку от сечения АВ, при скорости потока на срезе сопла 224 м/с. Расчет струи проведен по модели, использованной в [12]. Ширина струи в сечении АВ составляет 3.67 см, что превосходит поперечный размер расчетной области к. Рассчитанные функции и0 (у) и vt0 (у) представлены на фиг. 2, а, б.
и = 0, и = 0, п = 0, V 7 = 0
(2.4)
0
6 7 8 9 х° 10
Фиг. 3. Гидродинамические линии тока при обтекании сферы
0
12
16
Фиг. 4. Линии постоянного безразмерн
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.