МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 1 • 2013
УДК 539.3
© 2013 г. С. Г. ПШЕНИЧНОВ
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ
Рассматриваются динамические задачи, описывающие переходные волновые процессы в линейно-вязкоупругих телах при ограниченности области распространения возмущений и ограниченной ползучести материала. К исходной задаче применяется интегральное преобразование Лапласа по времени и формулируются утверждения о свойствах лапласовых трансформант, облегчающие построение оригинала. Предлагаются соотношения, устанавливающие соответствие между ядрами релаксации, принадлежащими разным классам функций, но при этом влияющими на переходные волновые процессы схожим образом. Представлены результаты, подтверждающие правомерность этих соотношений в определенном диапазоне изменения исходных данных.
Ключевые слова: динамика вязкоупругих тел, волновые процессы, ядра релаксации
1. Введение. Одним из важных направлений в изучении нестационарных динамических процессов в вязкоупругих телах являются аналитические исследования. Однако, несмотря на достижения в этой области (например, работы [1 — 12]), многие вопросы остаются до конца не решенными. Так, требует более глубокого изучения влияние наследственных ядер на переходные волновые процессы в широком временном диапазоне для тел с переменным во времени коэффициентом Пуассона. Важно понять, как на переходный процесс влияет принадлежность вязкоупругих ядер тому или иному классу функций и какие именно параметры ядер проявляются при этом наиболее ярко. В данной работе уделено внимание двум моментам. Во-первых, излагаются теоретические положения, связанные с построением решений нестационарных динамических задач линейной вязкоупругости при ограниченности области распространения возмущений. Во-вторых, предлагаются соотношения, устанавливающие соответствие между ядрами релаксации, принадлежащими разным классам функций, но влияющими на переходные волновые процессы схожим образом.
2. Математическая постановка задачи. Для линейно-вязкоупругого тела, занимающего область й с границей £, запишем уравнение динамики
(А + Д^гаёШуи(х,г) + ДАи(х,г) + Г(х,г) = рд и(Х'г) (2.1)
д г
материальные соотношения
й (х, г) = Д БеГ и(х, г) + Х Шу и(х, г) I, х(хь х2, х3) ей (2.2) граничные условия:
а(х)о(х, г)п + Р(х)и(х, г) = р(х, г), х еЕ, г > 0 (2.3)
и начальные условия
и(х,0) = Ь(1)(х), — (х,0) = Ь(2)(х), х еО (2.4)
д Г
Здесь 6 — тензор напряжений; и, р, Г, Ь(1), Ь(2) — векторы перемещений, граничных воздействий, объемных сил, начальных перемещений и скоростей; п — единичная внешняя нормаль; р — плотность; А — оператор Лапласа; а, в — тензоры второго ранга,
определяющие тип граничных условий; I — единичный тензор ; 1, р. — операторы вида (т = и, 5)
Г
£ = 3[3Ко(1 - ти) - 2Оо(1 - Т)], Д = Оо(1 - Т), ТтЩ = \гт{1 - т£(т)йт
о
где О0, К0 — мгновенные значения модулей сдвига и объемного сжатия; Ти, Т5 — ядра объемной и сдвиговой релаксации. Область распространения возмущений предполагается ограниченной.
3. Задача в изображениях. Применим к (2.1)—(2.3) интегральное преобразование Лапласа по времени, обозначив изображения величин и(х,Г), д(х,Г), Г(х,Г), р(х,Г), Ти(Г), Т\(Г), соответственно, через и(х,s), §(х,s), Р(х,s), Р(х,s), (5), ©5(5). В результате получим задачу в изображениях, включающую в себя уравнение динамики
(Л(^) + М(5))ягаёШуи(х, 5) + М($)Ди(х, з) -
- р 5 2и(х, 5) + р[5 Ь (1)(х) + Ь (2)(х)] + Е(х, 5) = 0, х еО материальные соотношения (3.1)
§(х, 5) = М (5) БеГ и(х, 5) + Л(5)Шуи(х, 5)1 (3.2)
Л(з) = 3[3Ко(1 - ©и(5)) - 2Оо(1 - ©5(5))] , М(5) = Оо(1 - ©5(5))
и граничные условия
а(х)§(х,5)п + Р(х)и(х,5) = Р(х,5), х е Е (.3)
Будем считать, что решение и(х, 5) задачи (3.1)—(3.3) найдено, и установим ряд его свойств, облегчающих построение оригинала и(х, Г). Для этого наряду с задачей (2.1)— (2.4) рассмотрим задачу о затухающих свободных колебаниях того же самого вязко-упругого тела.
4. Задача о свободных колебаниях. Пусть в отсутствии объемных сил и граничных воздействий тело совершает колебания спустя такое время после их начала, когда характер колебаний практически уже не зависит от способа их возбуждения. Тогда, согласно приближенному подходу [13] в операторах соотношений (2.2), нижний предел интегрирования берется равным -ж и процесс описывается уравнением
- д2и(х Г)
(X + Д^гаёё1уи(х,Г) + ДЛи(х,Г) = р-х(хьх2,х3) ей (4.1)
д Г
материальными соотношениями
д(х, Г) = Д БеГ и(х, Г) + Х Шу и(х, Г) I (4.2)
X = 3[3Ко(1 - Та) - 2Оо(1 - Т3)], Д = Оо(1 - Т)
ТЛО = j Tm(t -т)^(т)dт = j" -n)dn, m = и, s
и граничными условиями
à(x)ô(x,t)n + P(x)u(x,t) = 0, x e Z (4.3)
Представив нетривиальное решение задачи (4.1)—(4.3) в виде u(x, t) = V(x, s) est, s e C получим следующую спектральную задачу
CMs) + M (s))grad div V(x, s) + M(s)A V(x, s) - p s 2 V(x, s) = 0, x eO
S(x, s) = M (s) Def V(x, s) + Л(s)div V(x, s)ï (4.4)
a(x)S(x,s)n + P(x)V(x,s) = 0, x eE
собственное значение s которой определяет частоту и коэффициент затухания свободных колебаний тела. Заметим, что задача (4.4) получается из задачи (3.1)—(3.3), если
принять b(1) = 0, b(2) = 0, F = 0, P = 0.
5. О свойствах решения в изображениях. Выявим связь точек ветвления и полюсов компонент U/(x,s) вектора U решения задачи (3.1)—(3.3) со спектром задачи (4.4).
Утверждение 1. Пусть множество Es собственных значений задачи (4.4) не более чем счетное, а входящие в (3.1)—(3.3) функции ®и(s), ©s(s) и компоненты Pi(y,s), F(x,s), i = 1,2,3 векторов P и F не имеют точек ветвления на C при всех x efi, y eï. Тогда при любом x ей компоненты Ui(x,s) решения U задачи в изображениях (3.1)— (3.3) также не имеют точек ветвления на C.
Доказательство. Пусть утверждение неверно, т.е. существует x0 e Q, такое, что хотя бы одна из компонент Uj(x0,s) имеет точку ветвления s* e C. Это означает, что при обходе вокруг s* по замкнутому контуру, начиная с любой точки s = ç этого контура и заканчивая ею же, соответствующая компонента Uj (x 0, ç) получит новое значение, отличное от первоначального. Таким образом, при s = ç существуют, по крайней мере,
два вектора-решения задачи (3.1)—(3.3) U(1)(x, ç) и U(2)(x, ç), различающиеся при x = x0. Обозначим U(3)(x, ç) = U(2)(x, ç) - U(1)(x, ç). Задача (3.1)-(3.3) линейна, а точки ветвле-
(3)
ния у функций (s), 0s(s), P(y,s), F(x,s) отсутствуют, поэтому U '(x, ç) является решением спектральной задачи (4.4), а поскольку при x = x 0 этот вектор ненулевой, то s = ç является элементом множества Es собственных значений задачи (4.4). В силу произвольности выбора точки s = ç на замкнутом контуре вокруг s* приходим к выводу о том, что множество Es имеет мощность континуума. Противоречие доказывает утверждение.
Утверждение 2. Пусть s-L ^ 0 является полюсом функций Ui(x, s) и их производных по координатам U, j (x, s), U, jk (x, s) (i, j,k = 1,2,3) для всех x e Q и при этом не является особой точкой P(x,s), F(x,s), (s), ©s(s). Тогда sx — собственное значение задачи (4.4).
Доказательство. Рассмотрим окрестность точки s = s-L и обозначим через n наибольший среди порядков полюсов функций Ui, Ui j, U{ jk. Тогда в окрестности sx
вектор U можно записать в виде U(x, s) = H(x, s)/(s - sx)", где компоненты Hi(x, s) векто-
0
ра H вместе с их первыми и вторыми производными по координатам Ht j (x, 5), Ht jk (x, 5) являются аналитическими функциями в окрестности 5 = sx при x sü. После подстановки выражения для U в (3.1)—(3.3) и последующего умножения на (5 - 5Х)" получим уравнение
(Л(5) + M(s))grad divH(x, 5) + M(s)AH(x, 5) - р 5 2H(x, 5) +
+ (5 - 5j"[p(5b(1)(x) + b(2)(x)) + F(x, 5)] = 0, x e ü и граничные условия
a (x) [M (5)Def H(x, 5) + Л(5) divH(x, 5)1] n +
+ ß(x)H(x, 5) - (5 - 5X)"P(x, 5) = 0, x e Z
Совершая предельный переход при 5 ^ 5Х, убеждаемся, что sx — собственное значение, а H(x, 5Х) — собственная функция задачи (4.4).
Замечание 1. В задаче (2.1)—(2.4) предполагается ограниченность области распространения возмущений, поэтому счетность спектра задачи (4.4) вполне естественна. Отсутствие точек ветвления U, (x, 5) в конкретных случаях обычно не очевидно и обнаруживается лишь после ряда выкладок.
Замечание 2. Множество полюсов U,(x, 5) может иметь конечные предельные точки [14], при ограниченной ползучести материала заведомо расположенные слева от мнимой оси [15].
Утверждения легко обобщить на анизотропные и неоднородные тела. Рассмотрим связь исходной задачи (2.1)—(2.4) со статической задачей теории упругости. Пусть помимо ограниченности области распространения возмущений выполняются следующие условия. Хотя бы одно из ядер Tv(t), T5 (t) ненулевое; ползучесть материала ограничена; перемещения тела как жесткого целого исключены; граничные
воздействия и объемные силы таковы, что существуют пределы lim p(x, t) = p(0)(x) и
t
lim f(x, t) = f (0)(x). Тогда существует предел lim u(x, t) = u(0)(x) и, согласно свойствам ла-t t пласовых трансформант
lim 5 P(x, 5) = p (0)(x), lim 5 F(x, 5) = f (0)(x), lim 5U(x, 5) = u (0)(x)
5^0 5^0 5^0
Учитывая это и умножая соотношения (3.1)—(3.3) на s, а затем устремляя s к нулю, обнаружим, что u(0) является решением статической задачи теории упругости с длительными модулями Л(0) = Are, М(0) = :
(А„ + ^)graddivu(0)(x) + u(0)(x) + f(0)(x) = 0, x eQ ä(x)[^ Def u (0)(x) + A „div u(0)(x)I]n + ß(x)u (0)(x) = p(0)(x), x eE
При выполнении указанных условий представленные выше теоретические положения позволяют после проверки соответствующих асимптотических соотношений в окрестностях точек накопления полюсов U,(x, 5) строить решения задач в оригиналах либо в виде рядов по вычетам в полюсах изображений (в случае отсутствия у последних точек ветвления)
u(x, t) = u (0)(x) + £ Res[U(x, ф"'] (5.1)
k S=Sk
либо (как при наличии, так и при отсутствии точек ветвления) в виде
да
u(x,t) = 1 u(0)(x) +1 fRe[U(x,ia>)ei№t]dю, t > 0 (5.2)
2 n J
0
где подынтегральное выражение при ю ^ 0 особенности не имеет.
Пусть f(x, t) = 0 и p(x, t) = p (0)(x) ф('). Когда ф(') = h(t) — функция Хевисайда, формулы (5.1) и (5.2) с помощью свертки позволяют строить решения и при других ф('),
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.