ФИЗИКА ПЛАЗМЫ, 2010, том 36, № 3, с. 248-257
ПЛАЗМЕННАЯ ЭЛЕКТРОНИКА
УДК 533.9.951:621.385.69
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ ДИОДА БУРСИАНА. ЧАСТЬ I. УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ РЕШЕНИЙ
© 2010 г. В. И. Кузнецов, А. Я. Эндер
Физико-технический институт им. А.Ф. Иоффе РАН, Санкт-Петербург, Россия Поступила в редакцию 16.07.2009 г.
Изучаются физические явления, характерные для диода Бурсиана — вакуумного диода плоской геометрии с моноэнергетическим потоком электронов. Работа состоит из двух частей. В первой части анализируется устойчивость стационарных решений относительно малых возмущений. Показано, что существует критическое значение плотности тока, ниже которого все стационарные решения с виртуальным катодом, лежащие на ветви В, устойчивы. Во второй части изучаются особенности колебательных решений.
1. ВВЕДЕНИЕ
90 лет назад, изучая вакуумный диод с моноэнергетическим потоком электронов, Бурсиан и Павлов обнаружили, что после того как плотность тока пучка превысит некоторое пороговое значение, ток на коллектор резко падает. Они показали, что это явление связано с возникновением в диоде потенциального барьера, отражающего часть электронов обратно на эмиттер. Барьер получил название виртуальный катод (ВК). Был обнаружен и объяснен гистерезис на зависимости проходящего тока от тока пучка [1]. В литературе предельный ток получил название порог Бурсиа-на, развивающаяся апериодическая неустойчивость — неустойчивость Бурсиана, а само устройство — диод Бурсиана [2].
В последующие 50—60 лет периодически появлялись работы, посвященные теоретическому изучению состояний диода Бурсиана и их устойчивости (см., например, [3—9]). Около 30 лет назад вакуумный диод с направленным потоком электронов привлек к себе более пристальное внимание исследователей в связи с созданием мощных генераторов СВЧ-излучения — виркато-ров, редитронов, отражательных триодов (см., например, обзор [10]). При определенных условиях в диоде развиваются сильно нелинейные колебания. В ходе этого процесса происходит интенсивный обмен энергией между электронами и нестационарным электрическим полем. В результате часть энергии потока электронов передается колебаниям ВК, энергия которых и преобразуется в электромагнитное излучение. В отличие от традиционных СВЧ-генераторов, которые имеют ограничение по мощности, связанное с тем, что они могут работать только с допороговыми токами, СВЧ-генераторы на основе диода с ВК, в
принципе, такого ограничения не имеют, так как работают при токах выше пороговых [11].
Несмотря на значительный прогресс в технике СВЧ-генераторов на основе диода с ВК пока нет ясного понимания физики процессов, протекающих в ходе нелинейных колебаний [12]. Отметим, что в мощных генераторах используют релятивистские электронные пучки. Однако ясно, что для выяснения основных механизмов колебаний и обмена энергией между электрическим полем и частицами можно изучать диоды с нерелятивистскими пучками. Особенно это важно при проведении экспериментальных исследований, где многие проблемы связаны с трудностями диагностики мощных релятивистских пучков. Первые эксперименты по изучению нестационарных процессов в диодах с нерелятивистскими пучками проведены в [13].
В последнее время к диоду Бурсиана проявляется интерес в самых различных областях физики и техники: это генераторы СВЧ-излучения и ускорительная техника [10], ионные диоды в термоядерном синтезе [14], диоды с полевой эмиссией и вакуумная микроэлектроника [15], лазерные принтеры и копировальная техника [16], технологические процессы, связанные с изготовлением полупроводников и полупроводниковых диодов [17], технология изготовления плоско-панельных дисплеев на основе электронной эмиссии из углеродных нанотрубок [18] и т.д. Более подробные ссылки можно найти в [19].
Статья состоит из двух частей. В первой части рассматриваются стационарные решения. Приводятся аналитические формулы для точек бифуркации на ветвях решений. Анализируется влияние размазки функции распределения частиц по скоростям на характеристики диода. Исследуется устойчивость всех типов решений отно-
сительно малых возмущений. Во второй части изучаются колебательные решения, и анализируются характерные для них физические явления.
2. СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ ДИОДА
Будем рассматривать вакуумный диод плоской геометрии, в котором нерелятивистский моноэнергетический поток электронов с концентрацией п0 и скоростью v0 поступает с эмиттера (% = 0) и движется без столкновений в самосогласованном электрическом поле. Коллектор расположен на расстоянии й от эмиттера. Между электродами существует разность потенциалов Фс. При достижении любого из электродов частицы поглощаются.
В плазменном диоде с пучком электронов характерным масштабом является пучковая дебаев-ская длина X в, которая определяется через энергию Щь и плотность тока ]ь электронов, влетающих в межэлектродный промежуток [2]:
Л /т 2 2 4-1/4Ттг3/4 .-1/2 Xв = (2п е ше) Щ ]ь ,
(1)
Щь = ®е^о/2, ]ь = еп^о-Стационарные решения у диода Бурсиана определяются двумя безразмерными параметрами: межэлектродным расстоянием 8 = й/Х в и внешним напряжением V = еФ С/(2ЖА). В дальнейшем будем использовать следующие безразмерные величины: координату £ = %/Хв, время т = 0/А,в, скорость и = v/v0, потенциал п = Ф/(2ЖА)напря-женность электрического поля б = еЕХ в/(2^) и плотность тока у = ]/]ь.
Для стационарных состояний диода Бурсиана при V > -1 /2 характерны распределения потенциала (РП) с одним минимумом 0 > Пт ^-1/2, лежащим внутри межэлектродного промежутка: 0 < ^т <8. В этом случае напряженность электрического поля у эмиттера б0 > 0. При б0 < 0 или С,т = 8 реализуются монотонные РП. При V < —1/2 в точке где потенциал становится равным — 1/2, все электроны пучка отражаются, так что в промежутке £ т - С - 8 электронов нет. В этом случае реализуется режим полного отражения электронов, и потенциал монотонно убывает с ростом координаты.
В [1] было впервые показано, что в некотором интервале значений 5 в диоде Бурсиана с V < —1/2 при одних и тех же значениях 5 и V существуют три решения, причем по крайней мере одно из них всегда является решением с отражением электронов: в точке ^ = Ст высота потенциального барьера |пт| становится равной энергии электронов на эмиттере, т.е. 1/2. Это и есть решение с
ВК. Часть электронов пучка в точке ^ = Ст отражается от ВК и возвращается обратно на эмиттер. В результате конвекционый ток на коллекторе оказывается меньше входящего тока. В математической модели функция распределения электронов по скоростям (ФР) выбиралась в виде 8-функции. В этом случае возможность "расщепления" пучка электронов в точке отражения оправдана тем, что в реальных устройствах поступающие с эмиттера электроны всегда имеют небольшой разброс по скоростям. Для количественного описания частичного отражения электронов от ВК в стационарном режиме Бурсиан ввел коэффициент отражения электронов г, равный количеству отраженных электронов, деленному на число электронов, летящих с эмиттера. Тогда безразмерная плотность тока на коллектор, т.е. доля электронного потока, прошедшего за точку отражения, ] = 1 — г.
В стационарном случае систему уравнений, описывающих поведение плазмы в диоде, т.е. уравнения неразрывности, движения частиц и Пуассона, можно свести к одному обыкновенному дифференциальному уравнению 3-го порядка (см., например, [20]):
С = (1 + г)0(С г - О + (1 - г)0(С - С г).
ат
(2)
где т — время пролета электрона от эмиттера до точки ^, а £ г — положение точки отражения, с граничными условиями
с (0) = 0, й С (0) = 1, А £ (0) = -е0, (3) ах йт
где б 0 — напряженность электрического поля на эмиттере. Момент отражения тг и координата точки отражения ^ г определяются в ходе решения задачи (2), (3). В этом случае для РП п(0 будет иметь место параметрическое представление с т в качестве параметра.
Для режима с частичным отражением электронов от ВК при заданной величине б 0 левее точки отражения (т < тг) имеем
у 1 + г з е 0 2 , с =-т —0 т + т,
6 2
1/2 п 1 + г 2 ,, П = 2 -1), и = т -е0Т +1,
а правее этой точки (т > тг) —
с = с г + (т-тг)3,
6
1 / 2 , ч 1 - г, \2
п = ^(и -1), и = —(т-Тг) .
(4)
£о
Зг 2М
2
2.5 1
2
25
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 5
Рис. 1. Области существования решений различного
1/2
типа на плоскости {в 0,8}, 51 = 1 / 3, 52 = 2 /3 [20].
Здесь
т r =
1 + r
1/2
г = 1 ' Zr 3Tr
(6)
а коэффициент отражения г связан с напряженностью поля на эмиттере 8 0 соотношением
г = в2/ 2 -1. При этом л/2 <8 0 < 2. В режиме без отражения электронов г = 0, и решение задачи (2),
(3) во всем межэлектродном зазоре описывается
формулами (4) с г = 0. У этих решений 80 < л/2. Время пролета электрона через зазор (Т) и 8 0 определяются из граничных условий
с(т,г0) = 5, п (Т,е0) = V. (7)
В режиме с полным отражением электронов РП левее точки отражения определяется по формулам (4) с г = 1, а правее этой точки потенциал изменяется линейно:
П (Z) = -1 / 2 - (в 0
■4)" 2( Z-
Z r).
(8)
При этом значения параметров точки отражения т г и £ г, а также 8 0 однозначно определяются из условия остановки электрона в точке отражения и граничного условия на коллекторе:
2 , 1 а у 1 3 8 о 2 ,
т Г -8 0Т r + 1 = 0, Z r = 3 Т r - "2°Т r +Т r
V = -1 2
( 8 0
■4)17 2( 5-
(9)
■Z r).
С использованием формул (4)—(9) в [20] проведена классификация стационарных решений в диоде. Показано, что все эти решения принадлежат к одному из четырех типов: решения без отражения электронов (г = 0), решения с частичным
I
III
2.0
5
Рис. 2. Зависимость напряженности электрического поля у эмиттера от величины межэлектродного зазора для стационарных решений. Кривая I — V = 0
(SBF = 23/2/3, 5 scl = 4/ 3), II - -0.4, III - 0.2. 1 - normal C branch, 2 - overlap C branch, 3 - B branch.
отражением 1-го и 2-го рода (0 < r < 1) и решения с полным отражением электронов (r = 1). У решений с частичным отражением 1-го рода минимум на РП, n m = -1 / 2, лежит внутри зазора, а у 2-го рода - на коллекторе. На рис. 1 сплошными линиями изображены границы областей с решениями различного типа на плоскости {s 0,5|. Решения
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.