№ 4
ИЗВЕСТИЯ АКАДЕМИИ НАУК ЭНЕРГЕТИКА
2008
УДК 621.314.2, 621.613.538.244.2
© 2008 г. ЛОГИНОВ B.C., ЮХНОВ В.Е.
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ТЕМПЕРАТУРНЫЕ РЕЖИМЫ И ТЕПЛОВЫЕ ПОТЕРИ ОБМОТОК ТРАНСФОРМАТОРОВ-БЕТАТРОНОВ
С ОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ ПОВТОРЕНИЙ НАГРЕВА-ОХЛАЖДЕНИЯ
Получены аналитические решения для расчета температурных полей в плоском тепловыделяющем элементе с ограниченным числом циклов нагрева и охлаждения. Составлено уравнение теплового баланса из тепловых потерь в этом элементе. Рассмотрены примеры практической реализации обмотки индукционного ускорителя заряженных частиц.
Одним из путей снижения массы и габаритных размеров электромагнитов является применение прерывистых или повторно-кратковременных температурных режимов с ограниченным числом повторений нагрева-охлаждения [1-3]. Рассмотрены квазистационарные прерывистые температурные режимы, устанавливаемые через большое число циклов (N ^ «>) для малогабаритных индукционных ускорителей в [4-6]. Поэтому представляет практический интерес работа ускорителя с ограниченным числом повторений нагрева-охлаждения.
Будем считать, что внутренние источники тепла линейно зависят от температуры и равны нулю в процессе паузы-охлаждения. Примем для каждой нагрузки или паузы свой отсчет времени, т.е. в каждом процессе начальный момент времени Fo = 0, теплообмен между обмоткой и воздухом, проходящим через охлаждающие каналы, осуществляется по закону Ньютона.
Система уравнений в безразмерной форме, описывающая процесс нестационарной теплопроводности в плоском активном элементе, имеет вид [6]: в процессе токовой нагрузки [0, Fo1]
2 2 2
Э9Н, n/dFo = д20Н,n/дx - рн9Н, n + Poi, (а)
0 < X < 1, 0 < Fo < Foi;
д0н,N( 1, Fo)/дХ = -Б19н,N( 1, Fo); (б) \ (1)
д0н,N(0, Fo)/дХ = Bi0н,N(0, Fo); (в)
0н, 1 (X, 0) = 00, 0н, n(X, 0) = 0О, n-1 (X, Fo2), (г) в процессе паузы-охлаждения [0, Fo2] дифференциальное уравнение температурного поля в исследуемом элементе (Pox = 0) запишется
2 2 2
д0о,n/dFo = д20о, N/дX2- во0о, N, (2)
граничные условия для данного случая будут иметь аналогичный вид, что и уравнения б), в) с заменой индексов "н" - нагрузка на "о" - пауза-охлаждение. Начальные условия заданы в виде
0о, N(X, 0) = 0н, N(X, Fo1 ). (3)
Здесь 0н, 0 = (Тн, о(х, т) - Тж)/Т0, 0Ж = (Тж - Т0)/Т0 - безразмерные температуры; Бо = = Хт/(сррй2) - число Фурье; Ы = ай/X - число Био; qV0 - постоянная составляющая интенсивности внутренних источников теплоты, Вт/м3; X = х/й - безразмерная координата; й - характерный геометрический размер, м; X - коэффициент теплопроводности, Вт/(м ■ К); ср - коэффициент теплоемкости, Дж/(кг ■ К); р - плотность, кг/м3; т - время, с; а - коэффициент теплообмена на охлаждаемой поверхности, Вт/(м2 ■ К); Тж, То -температуры охлаждающей среды и активного элемента перед первым циклом на-
2 2 2
грузки соответственно, °С; вн = во - кРо0, во = Ы ий/¥ - безразмерные коэффициенты, учитывающие теплообмен от боковых поверхностей активного элемента; V, ¥ -периметр и сечение активного элемента; N - номер цикла.
При выводе уравнений (1)-(3) было учтено, что полное количество теплоты, выделяемое внутри тела согласно закону Джоуля-Ленца, равно
2 = I2Я0[ 1 + в(Т- Т0)], (4)
где в = 1/(т + Т0) - температурный коэффициент сопротивления, 1/К; Я0 - активное сопротивление проводника при начальной температуре Т0, °С, Ом; I - ток, А; 2 - джоу-левы потери, Вт. Следовательно, интенсивность внутренних источников теплоты qV = = 2/^ с учетом зависимости электрического сопротивления медной обмотки т = 235 ускорителя от температуры, имеет вид qV = qV0[1 + в(Т - Т0)]. Поэтому в задаче (1)-(3) отношение количества тепла, выделяемого в обмотке, к теплу, передаваемому теплопроводностью, характеризует число Померанцева
Ро = Ро0 [ 1+ к (0 + 0ж)],
где Ро0 = qV0й2/(XT0) - число Померанцева; к = РТ0 - безразмерный температурный коэффициент активного омического сопротивления. Тогда модифицированное число Померанцева принимает вид
Р01 = Роо (1+ к 0ж). (5)
Следуя [6], решение системы (1)-(3) запишем: в процессе токовой нагрузки [0, Ро:], N > 1
0н,N(X, Ро) = £ Лп(X)Ро:(1-ехр[-р„2Ро])/р„2 +
п = 1
+ X Лп(X){Ро!(1 - ехр[-Рп2Ро])/рП( 1 + ехр[-(рПро: + уЩро2)] + (6)
п
п = 1
+ ехр [-2 (рПро1 + уПро2)] + ... + ехр [-(N -2)(рПро1 + у^)] )ехр (-уЩро2) + + 0оехр [-(N - 1)(рПро: + у;^)] }ехр(-р^о); : процессе паузы-охлаждения [0, Бо2]
0о,N(X, ро) = X Л;(X)0н, N(Мп, ро1)ехр(-у2ро). (7)
п = 1
Здесь
Лп(X) = 2Л 1п(Мп)К(Мп, X)/[МпЛ2п(Мп)]; (8)
A ln(Mn) = Mn sinMn + Bi( 1 — cos |Jn);
A2n(|n) = M2 + Bi2 + (|„2 - Bi2)sin(2|n)/(2) + Bi( 1 - cos2^); (9)
K(|Mn, X) = |ncos|nX + Bisin|nX,
где |Mn - собственные числа. Они находятся из решения трансцендентного уравнения ctg M = (|2-Bi2) / (2Bi M). (10)
0н,N(Mn, Foi) = {Poi(1 - exp[-p^FOi])/pl[ 1 + (1 + exp[-(p^Oi + yIfo2)] + + ... + exp [-(N -2)(plFo1 + yIfo2 )]) exp [-(+ yIfo2)]] + (11)
+ 0O exp [-(N - 1)(p„2Fo1 + y„2Fo2)] } exp(-p^).
Очевидно, что решения (6), (7), с учетом (8)—(11), сложны для анализа, их необходимо упростить.
Видно, что первое слагаемое в решении (6) — это решение задачи нестационарной теплопроводности с нулевой начальной температурой.
Второй ряд в решении (6) характеризует температурное поле, вызванное повторением нагрева и паузы-охлаждения. Выражение в круглых скобках — ряд, который представляет собой убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем
q = exp[-(plFo1 + Y lFo2)].
Заменив этот ряд его суммой, получим окончательное решение задачи: в процессе тепловой нагрузки 0 < Fo < Fo1, N > 1,
0Н,n(X, Fo) = £ An(X)Tn(Fo). (12)
n = 1
Здесь
Tn(Fo) = Poi [ 1 - exp(-p^Fo)]lp2„ + + [Dn(Foi, Fo2) + 0оMn(Foi, Fo2)] exp(-p2Fo);
Dn(Foi, Fo2) = Poi[ 1 - exp(-p^)][ 1 - Mn(Foi, Fo2)/1 - mn] exp(-y^)/p2; Mn(Foi, Fo2) = exp [-(N -1)(p^Foi + y2Fo2)];
mn = exp[-(p^Foi + y nFo2)];
в процессе паузы-охлаждения 0 < Fo < Fo2, N > 1,
0O,N(X, Fo) = £ An(X)Tn(Foi)exp(-Y^Fo). (13)
n = 1
Пример 1. Рассмотрим ряд шинок, приведенный на рис. 1, выделенный из обмотки промышленного бетатрона ПМБ-6И [5], с размерами h х 2R = 0,047 х 0,0105 м, периметром U = 2,021 м, сечением F = 0,0105 м2. Их поверхности охлаждаются воздухом с коэффициентом теплообмена а = 22,6 Вт/(м2 ■ K). Теплофизические характеристики материала: X = 0,874 Вт/(м ■ K); cpp = 3,62 ■ 106 Дж/(м3 ■ K); коэффициент температуро-
\ 4 I \ \ \
5 \
1 м
2 R
Рис. 1. Схема к тепловому расчету ряда шинок: 1 - обмотка; 2 - центральные вкладыши; 3 - сердечник; 4 -ярмо; 5 - стойка
T, °C
3
2
h
1
У
Рис. 2. Изменение во времени максимальной температуры обмотки в точке X = 0,5: 1 - Poi = Po0 = 39,384; 2 -Poi = Poo(1 + &8Х) = 41,669; 3 - прерытистая работа электромагнита при Po = 41,669; 4 - опытныге данные [5]; 5 - [6]
проводности а = 2,414 ■ 10 7 м2/с. Начальная температура обмотки Т0 = 21,8°С. Средняя температура воздуха в охлаждающих каналах Тж = 36,7°С. Внутреннее тепловыделение ду = дУ0[1 + Р(Т - Т0)], где дУ0 = 33,97 ■ 104 Вт/м3, в = 1/(235 + Т0) = 3,894 ■ 10-3 1/К -температурный коэффициент активного сопротивления для медного провода. Предельно допустимая температура обмотки равна Тдоп = 120°С. Необходимо определить распределение температуры при стационарном тепловом режиме.
Решение. Вычисляем безразмерные числа:
Ы = ак/ X = 1,215, Ро0 = (ду0Н2)/(ХТ0) = 39,384;
Ро! = Ро0(1 + £9ж) = 41,669;
к = рТ0 = 0,085, где 9ж = (Тж - Т0)/Т0 = 0,683; Р2 = В1 ин/р = 10,95;
2 2
Ро = 3,316, вн = Р2 - к Ро0 = 7,6; 90 = -0,683.
В табл. 1 приведены результаты расчета собственных чисел.
Так как в^ > 0, то это соответствует случаю, когда теплообмен между поверхностью и окружающей средой превосходит джоулевы потери. Подставив исходные дан-
Собственные числа, рассчитанные по (10) при Ы = 1,215
п ^п п ^п п ^п п ^п
1 2 3 4 5 6 7 8
1 1,41735 21 62,87050 41 125,6830 61 188,5084
2 3,76579 22 66,01025 42 128,8242 62 191,6498
3 6,64488 23 69,15018 43 131,9653 63 194,7912
4 9,67464 24 72,29024 44 135,1065 64 197,9326
5 12,75629 25 75,43044 45 138,2477 65 201,0740
6 15,86087 26 78,57074 46 141,3889 66 204,2154
7 18,97743 27 81,71115 47 144,5301 67 207,3568
8 22,10099 28 84,85164 48 147,6713 68 210,4983
9 25,22898 29 87,99221 49 150,8126 69 213,6397
10 28,35997 30 91,13285 50 153,9538 70 216,7811
11 31,49305 31 94,27355 51 157,0951 71 219,9225
12 34,62767 32 97,41432 52 160,2364 72 223,0640
13 37,76344 33 100,55513 53 163,3777 73 226,2054
14 40,90010 34 103,69599 54 166,5190 74 229,3469
15 44,03746 35 106,83689 55 169,6603 75 232,4883
16 47,17539 36 109,97784 56 172,8017 76 235,6298
17 50,31377 37 113,11882 57 175,9430 77 238,7712
18 53,45253 38 116,25983 58 179,0844 78 241,9127
19 56,59160 39 119,40087 59 182,2257 79 245,0541
20 59,73094 40 122,54194 60 185,3671 80 248,1956
Таблица 2
Распределение температур в обмотке ПМБ-6И [5] при стационарном тепловом режиме
X 0 0,25 0,5 0,75 1
9(Х) 3,124 3,860 4,115 3,860 3,124
Т(Х), °С 104,8 120,8 126,4 120,8 104,8
ные в решение (12) при N = 1, получим поле температур в обмотке. Результаты расчета приведены в табл. 2. При проведении опытов [5] был принят прерывистый режим работы электромагнита бетатрона с продолжительностью токовой электрической нагрузки 20 мин (Ро1 = 0,131) и паузой-охлаждения 9 мин (Бо2 = 0,059). Полученный по результатам численного расчета характер изменения температуры обмотки при прерывистой работе электромагнита показан кривой 3 на рис. 2.
После повторения пяти циклов практически наступил квазистационарный тепловой режим: в точке X = 0,5 максимальная температура достигла 119,6°С (см. рис. 3), минимальная - 75,9°С. Опытные данные [5] показали, что максимальная температура составляет 116,2°С, минимальная - 77,4°С, т.е. расхождение с результатами аналитического расчета составило е = -2,9% и 1,9% соответственно.
Методика расчета нестационарных тепловых потерь активного элемента с ограниченным числом повторений нагрева и охлаждения
Исследования тепловых режимов твэлов [1-6] показали, что возможны различные сочетания бестоковой паузы и температуры в конце охлаждения. Вследствие этого,
Рис. 3. Распределение температуры по высо
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.