ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2007, том 47, < 1, с. 64-66
УДК 519.63
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ТРЕХМЕРНЫЕ КОНТРАСТНЫЕ
СТРУКТУРЫ
© 2007 г. А. А. Быков, А. Р. Майков, В. Ю. Попов
(119899 Москва, Воробьевы горы, МГУ, физ. ф-т) e-mail: abkov@yandex.ru; a_maikov@phys.msu.ru; masterlu@mail.ru Поступила в редакцию 06.05.2006 г.
Рассматриваются трехмерные контрастные структуры (КС), возникающие в нелинейных задачах диффузии с размножением, в которых коэффициент размножения зависит от концентрации. Сформулированы условия, при которых КС, занимающая невыпуклую область в трехмерном пространстве, в процессе эволюции распадается на несколько изолированных частей. Это свойство отличает трехмерные КС от двумерных, в которых поверхность КВС не меняет своей связности в процессе эволюции вплоть до полного исчезновения. Библ. 9. Фиг. 2.
Ключевые слова: контрастная структура, сингулярно возмущенные краевые задачи.
В данной работе, которая является продолжением [1]-[3], рассматривается уравнение диффузии с переносом и размножением
Ut + (V, VU) = XAU + F(U) (1)
в трехмерном пространстве. Плотность источников F зависит от концентрации U по закону F(U) = yU(1 - U/D2), у > 0 - коэффициент размножения в пределе малой концентрации, D - уровень насыщения, при превышении которого плотность источников становится отрицательной, V - скорость переноса. Уравнение (1) описывает, в частности, процесс генерации магнитного поля во вращающихся галактиках ("галактическое динамо", см. [4]). Как и в классических работах [5]-[7], уравнение F(U) = 0 имеет три корня, два из которых (U = ±D) устойчивые и один корень (U = 0) неустойчивый. Контрастной структурой (КС) назовем такое решение уравнения (1), в котором большие области, где U близко к одному из двух устойчивых корней, разделяются узкими внутренними переходными слоями (ВПС), в которых U переходит от одного устойчивого решения к другому, проходя через неустойчивый корень. Если dU/dx = 0, dU/dy = 0, V = 0, то U(z) =
= th [(z - z0)/( Jl П)], где П = JUy - толщина ВПС. Предположим, что S - поверхность ВПС, допускающая непрерывно дифференцируемую параметризацию, x = x(u, v), y = y(u, v), z = z(u, v), [ru x rw] Ф 0, (u; v) e G, G - связная замкнутая область на плоскости, U|S = 0. Рассмотрим область пространства D, содержащую поверхность S. Введем в D криволинейные координаты (u, v, w) так, чтобы выполнялись условия (ru, rw) = 0, (rv, rw) = 0, (rw, rw) = 1. Тогда оператор Лапласа в некоторой точке M e S можно записать в криволинейных координатах (u, v, w) в виде
AU = Uww - 2K(VU, n), (2)
где K = [k1(M) + k2(M)]/2 - средняя кривизна, k1 и k2 - наименьшее и наибольшее значения кривизны нормального сечения поверхности S в точке М. Направление единичной нормали n к поверхности S в точке М должно быть согласовано с определением кривизны, так что kt > 0, i = 1, 2, если соответствующий центр кривизны расположен по ту сторону касательной плоскости к S в точке М, в которую указывает n. Выражение (2) записано с учетом того, что S - поверхность нулевого уровня функции U, так что на S справедливы условия Uu = 0, Uv = 0. Таким образом, на S уравнение (1) можно записать в виде
Ut + (Veff, VU) = Www + yU(1 - U/D2), (3)
где Veff = V + 2XKn. Если средний радиус кривизны R = K-1 поверхности ВПС много больше толщины П самого ВПС, то эволюция ВПС сводится к движению поверхности ВПС со скоростью
д r
Veff. В этом случае уравнение движения поверхности ВПС имеет вид ----- = V + 2XKn. В дальней-
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ТРЕХМЕРНЫЕ КОНТРАСТНЫЕ СТРУКТУРЫ
65
шем мы рассматриваем только собственное движение ВПС, предполагая скорость дрейфа V = 0. Рассмотрим эволюцию поверхности S, каждая точка которой движется по закону
¿Г = 2XKn. (4)
В соответствии с [9], имеем
дr X (|ги\2rvv - 2(ги, rv)гиу + |rv|2ruu, [ru X rv]) [ х ]
jr. = X---^-[ru X rv] • (5)
dt |[ru X rv]|4
Пусть в начальный момент времени S - поверхность вращения, x = f0(z)cos ф, y = f0(z)sin ф, < z < 0 < ф < 2п. В процессе эволюции аксиальная симметрия не будет нарушена, так что в произвольный момент времени форма поверхности может быть задана выражениями декартовых координат x = f(u, t)cos v, y = f(u, t)sin v, z = u, < u < 0 < v < 2n, t > 0. Из (5) получим
dr _ л f f uu - (fu ) 2-1
37 = X-7172n • (6)
d t f [ 1 + (fu )2 ]
Так как df/dt=Or/at, n) a/1 + (f) , то для функции f(u, t), определяющей профиль КС в зависимости от времени, получим уравнение
ff - (f )2-1
дf/д t = Г j и u -7 u - , • (7)
f [ 1+ ( fu ) 2 ]
Для кругового цилиндра будет df/du = 0 и уравнение (7) имеет вид df/dt = -Xf-1, так что f(t) =
= Jf (t0)2 - 2X(t - t0), контрастная структура цилиндрической формы распадается за конечное
время, равное f0 /2X. Аналогично [6] можно показать, что КС цилиндрической формы с произвольной замкнутой направляющей, площадь поперечного сечения которой в начальный момент времени равна S0, распадается за время S0/(2nX).
Для исследования устойчивости аксиально симметричного решения уравнения (5) используем неполный метод Галеркина (см. [8]). Пусть
N
f(z, t) = а + bn (t)cos (^z), (8)
n = 1
где |e| < 1, коэффициенты |bn| убывают достаточно быстро, так что ряд (8) допускает двукратное почленное дифференцирование. Подставляя это представление решения в (7), умножая на cos(2nmz/L) и интегрируя в пределах от 0 до L, получаем бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследуем устойчивость по первому приближению, для чего оставим только члены, пропорциональные е:
да = _ X ЭЬ„ = ^ bn д t а д t а2
1-
(2пап\
I ~г~)
(9)
Поэтому
ГТТ\2 и „ч -X(2nn/L)2(t- to) а0bn(t0)
а(t) = *]а(10) -2X(t - 10), bn(t) = e
702—21(7—70)
Таким образом, в определенный момент времени периодические возмущения границы с коротким периодом Ь < 2ппа убывают, амплитуды возмущений с большим периодом Ь > 2ппа возрастают. Отсюда следует, в частности, что сходящийся при 7 = 0 ряд (8) остается таковым и в дальнейшем вплоть до момента, когда поверхность коснется какой-либо точки оси симметрии. Каждая пространственная гармоника ряда (8) с заданным номером п убывает до тех пор, пока средний радиус а не станет меньше критической величины ап = Ь/2пп. Рассмотрим самый простой случай начальной формы поверхности вращения: /(?, 70) = а0 + Ь0со8(2лг/Ь), |Ь0| < а. В зависимости от соотношения величин а0 и Ь/(2п) возможны два сценария эволюции КС. Эволюция коротко-периодической КС показана на фиг. 1, параметры а0 = 5, Ь = 10, Ь/(2па0) ~ 0.3. Здесь показана серия графиков функции 7т), по горизонтальной оси по вертикальной оси/, значения 7т обра-
66
6 5 4
3
2
1
0
Фиг. 1. Фиг. 2.
зуют возрастающую арифметическую прогрессию. В процессе развития КС периодические возмущения экспоненциально убывают до пренебрежимо малой величины. В критический момент (ориентировочно при a — L/(2n)) амплитуда возмущений переходит в режим экспоненциального роста. На момент расчленения КС на последовательность изолированных поверхностей максимальный радиус поверхности вращения настолько мал, что можно считать его меньшим по сравнению с толщиной ВПС П и считать, таким образом, что КС распадается как единое целое. Эволюция длиннопериодической КС показана на фиг. 2, a0 = 3, L = 10, L/(2na0) ~ 0.6. Задолго до момента разрушения структура расщепляется на периодическую последовательность несвязанных осесимметричных поверхностей. Непосредственно в момент расщепления каждая из них имеет форму "веретена". После этого каждая компонента КС разрушается. Дальнейшее разрушение КС также имеет некоторые особенности по сравнению с двумерной моделью. Как было показано в [3], двумерная КС в процессе эволюции приобретает в конце концов эллиптическую форму, причем перед разрушением эксцентриситет эллипса стремится к нулю, т.е. перед разрушением КС принимает круговую форму. Легко показать, что трехмерная КС, имевшая первоначально форму эллипсоида вращения, перед разрушением принимает форму выпуклого тела вращения, эквивалентный эксцентриситет которого стремится к единице.
В спиральных галактиках КС, образовывающиеся как результат внешнего воздействия на галактику за счет взаимодействия с небольшими объектами, пересекающими галактическую плоскость, на момент распада имеют размеры, которые находятся на пределе разрешающей способности крупнейших радиотелескопов. Указанное поведение КС в момент распада спиральных галактик является в принципе наблюдаемым.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Быков A.A., Попов В.Ю. О времени жизни одномерных нестационарных контрастных структур // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. № 2. С. 280-288.
2. Быков A.A., Попов В.Ю. Об одномерной нестационарной контрастной структуре в неоднородной среде // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. № 3. С. 458-471.
3. Быков A.A., Воеводин Вл.Вал, Козырева О.В. Эволюция двумерных контрастных структур сложной формы // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1999. Т. 39. № 5. С. 801-811.
4. Ruzmaikin A A, Shukurov AM,, Sokoloff D.D. Magnetic Fields of Galaxies. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1988.
5. Васильева AB, Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высш. школа, 1990.
6. Васильева A.B. Об устойчивости контрастных структур // Матеем. моделирование. 1991. Т. 3. № 4. С. 114-123.
7. Васильева A.B. Контрастные структуры типа ступеньки для сингулярно возмущенного квазилинейного дифференциального уравнения второго порядка // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1995. Т. 35. № 4. С. 520-531.
8. Свешников A.r. Неполный метод Галеркина // Докл. АН СССР. 1977. Т. 236. № 5. С. 1076-1079.
9. Новиков B.A, Дубровин С П, Фоменко A.T. Современная геометрия. М.: Наука, 1979.
БЫКОВ и др.
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.