ТЕПЛОФИЗИКА ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР, 2004, том 42, № 4, с. 590-593
ТЕПЛОМАССООБМЕН И ФИЗИЧЕСКАЯ ГАЗОДИНАМИКА
УДК 536.24
НЕСТАЦИОНАРНЫЙ ЛАМИНАРНЫЙ ТЕПЛООБМЕН ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИСКА: АВТОМОДЕЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ
© 2004 г. И. В. Шевчук
Институт технической теплофизики НАН Украины, г. Киев Поступила в редакцию 17.03.2003 г.
Исследован нестационарный ламинарный конвективный теплообмен при воздушном охлаждении вращающегося изотермического диска. С применением группового анализа уравнения Навье-Сто-кса и энергии приведены к автомодельному виду, позволившему получить их точное решение. Расчеты показали, что число Нуссельта на начальной стадии охлаждения существенно уменьшается по времени, а на второй равняется своей величине для стационарных условий. Результаты работы могут быть использованы для оптимизации нестационарных методик экспериментального определения коэффициента теплоотдачи.
ВВЕДЕНИЕ
Данная работа посвящена решению нестационарного уравнения теплового пограничного слоя совместно со стационарными уравнениями На-вье-Стокса для ламинарного режима течения при заданном законе изменения во времени температуры поверхности, а также определению зависимости коэффициента теплоотдачи от времени.
Исследование нестационарного теплообмена вращающихся дисков представляет интерес с точки зрения практического приложения в системах охлаждения дисков турбомашин, компьютеров и т.д. Известно, что по истечении определенного периода времени с момента начала процесса возникает режим теплообмена, когда коэффициент теплоотдачи диска в нестационарных условиях принимает значение, соответствующее стационарному теплообмену. В этом режиме значительно упрощается нахождение коэффициента теплоотдачи, так как тепловые потоки могут определяться на основе решения стационарных задач теплопроводности [1]. Однако эта методика может быть использована только при выполнении следующих условий.
Процесс теплообмена должен происходить в режиме, когда коэффициент теплоотдачи перестает изменяться во времени. Следовательно, необходимо найти границы этого режима.
Должна быть известна зависимость, связывающая изменение температуры поверхности диска с коэффициентом теплоотдачи. Эта зависимость, которая находится из решения задачи нестационарной теплопроводности, различна для разных геометрий системы, начальных и граничных тепловых условий.
Решение задачи. Уравнение теплового пограничного слоя для нестационарной осесимметрич-
ной задачи в цилиндрической системе координат имеет вид
дТ дТ дТ -=— + + у= а дг дг
д2 Т
1дг д г2
(1)
где Т - локальная температура, г - время, а - коэффициент температуропроводности, уг и уг - радиальная и аксиальная компоненты скорости в цилиндрических координатах г, ф и г (компонента уг направлена к поверхности диска, см. рис. 1).
Граничное условие на поверхности диска задается следующим образом:
Тк ( г, г ) - Тт Т„, I (г) - Тм
= Р (г, г).
Здесь Т„(г, г) - мгновенная температура поверхности диска, - начальная температура диска, Т- температура окружающей среды на достаточном удалении от диска (рис. 1).
Пограничный слой
Рис. 1. Схема течения и теплообмена жидкости около вращающегося диска.
Уравнение (1) можно преобразовать:
Э0 ©д Ft ©
--Г- + --г- + Vr ©
дt Ft дt
idF- 1 d A T
Ft dr AT dr _
d©
+ V z тт— = a z д z
д2©
)z2'
(2)
д© ©д Ft д©
--+ -¡-г-"-:--+ v z т—
д t Ft д t z д z
= a -
д2©
)z2'
(3)
Уравнение (3) с помощью автомодельных переменных и функций приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое решается численно с помощью программы МаШСАБ [2]. Форма автомодельных переменных для данной задачи находится с помощью метода, описанного в [3].
Введем линейное преобразование
г = Ла11, г = А"2г, ^ = Л"3^, 0 = л"4©, (4)
где ак (к = 1, ..., 4) и А - константы [3]. Подставим выражения (4) в уравнение (3). Первоначальная и преобразованная формы уравнения (3) являются инвариантными, если одинаковы суммарные степени при константе А в членах преобразованного уравнения. Тогда имеем а2 = а1/2, аз = -а1/2, г2/г = г /г,
Vzt
1/2 = 7?
-1/2
. Температура 0 трансформируется в саму себя.
В результате автомодельные переменные, уравнение теплового пограничного слоя и граничные условия имеют вид
©" = Рг[ я* © + ©' (H - п/2)],
(5)
1/2 1/2 t dFt П = z/(vt) , H(n) = vz(t/v) , я* = p-dt' (6)
Здесь V - кинематическая вязкость, Рг=у/а - число Прандтля, а штрихи обозначают производные по п. Число Нуссельта вычисляется по формуле
Nub = K 1Re
1/2
K1
где безразмерная температура ©(z, t) = (T -- T»)/(Tw(r, t) - T») полагается не зависящей от координаты r; AT = Tw, i (r) - T».
Если диск в начальный момент времени является изотермическим, то AT = const, dAT/dr = 0. Если внешняя цилиндрическая поверхность диска теплоизолирована, а коэффициент теплоотдачи является постоянным по поверхности (что справедливо для ламинарного режима), то Ft(r, t) = Ft(t), дFt/дr = 0, т.е. диск остается изотермическим в процессе нестационарного теплообмена. Это также справедливо для случая, когда внешний радиус диска b достаточно велик и граничные условия на внешней цилиндрической поверхности не оказывают влияния на внутреннюю область диска. В результате уравнение (2) упрощается:
= Jf)
d = о
1
f d© Tmt V dnJn = о'
(8)
в которой = д№Ь/[Х(Т№ - Т»)], Яеф = юЬ2/У, £ =
= г7ю/V , - тепловой поток на поверхности диска, X - коэффициент теплопроводности жидкости, ю - угловая скорость вращения диска.
Функция Н(п) в (5) не зависит от времени и находится в результате решения стационарной автомодельной системы уравнений Навье-Стокса [4-7], в которой применительно к данной задаче время г играет роль параметрической обезразме-ривающей переменной вместо обычно используемой величины 1/ю, а безразмерной параметрической переменной в этих уравнениях является юг. Таким образом, получим
Е2- с2 + Е'Н = Е2Ев + О'Н = О", НН' = Р' + Н", 2Е + Н' = 0, п = 0: Е = Н = 0, О = юг, П —► О = Е = 0,
где Е(п) = vrr/г, О(п) = ^фг/г и Р(п) = -рг/(ру) также не зависят от времени. Здесь уф - тангенциальная компонента скорости, р - статическое давление, р -плотность.
Данная работа посвящена теоретическому решению задачи, исследованной экспериментально в [1]. Вращающийся диск из плексигласа радиусом Ь = 0.123 м с начальной постоянной температурой ; = 40°С внезапно помещался в воздушную среду с температурой Т» = 24°С и постепенно охлаждался в результате конвективного теплообмена. Нестационарные распределения температуры измерялись с помощью жидких кристаллов, нанесенных на диск. Коэффициент теплоотдачи вычислялся из решения одномерной нестационарной задачи теплопроводности в диске, моделируемом как полуограниченное тело в направлении оси г (рис. 1)
Ft( t) =
Tw(t)-T» T -T
w, I »
= exp(y )erfc(Y).
(9)
© = 1 при n = 0 и © = 0 при n
(7)
Здесь у = а^а /Х„, а - коэффициент теплоотдачи, индекс обозначает физические свойства диска. Решение (9) получено при условии, что а, и Т» стационарны. Мгновенные распределения Т„(г) в [1] слабо возрастают, а расчетные коэффициенты теплоотдачи резко убывают по радиусу, причем значения а при г —► 0 и г —► Ь отлича-
ф
оо
592
ШЕВЧУК
Кг, Ft
\ \ ^^^ \ *ч \ 1 2
' ч 'ч.
1 1 3 1 |
0 300 600 900 1200 1500
t, c
Рис. 2. Изменение Ki и F t в зависимости от t: 1 - Ki ;
2 - Ft(t), формула (9); 3 - Ft(t), (10).
ются приблизительно в два раза. Это противоречит известным теоретическим и экспериментальным данным [4-8], в соответствии с которыми число Нуссельта при ламинарном течении является постоянным по поверхности диска и вычисляется по формуле (8) при К1 = 0.326 для Pr = 0.71 (воздух) и Tw = const. Экспериментальные значения Nub [1] согласуются с формулой (8) только при r —► b.
Если рассматривать диск как изотермическую пластину конечной толщины 5 (рис. 1) с одинаковыми коэффициентами теплоотдачи при z = 0 и z = -s, то функция Ft(t) имеет вид [9]
^ 2 sin(|)cos(|) 2 )
Ft( t) = > -- -—г--—:exp (Fo), (10)
tw + sin (|) cos (| ) FV
I = 1
ctg (In) = In/Bi, (11)
где Bi = 0.5as/Xw - число Био, Fo = 4awt /s2 - число Фурье, собственные числа |n определяются по уравнению (11).
Результаты расчетов. В расчетах использовались следующие значения физических и геометрических параметров: для плексигласа [1] Xw = = 0.19 Вт/(м2 К), aw = 1.086 х 107 м2/с; для воздуха [3] X = 0.02624 Вт/(м2 К), a = 2.216 х 105 м2/с, Pr = 0.71; толщина диска s = 0.01 м; ю = 52.36 1/с (500 об/мин), что соответствует Re9 = 5.35 х 104 [1]. Величины у и Bi вычислялись при стационарном значении К1 = 0.326.
Формула (9) для Ft(t) позволяет получить g* = Y2 - Y/(п1/2Ft), у = [a)(12)
рг1/2 V a у Xw
При подстановке физических констант в формулы (12) имеем у = 0.0768 л/юг. Как показывает рис. 2, величина К1 и число принимают значения, соответствующие стационарным условиям, очень быстро, т.е. при юг ~ 1000 или у = 0.122? = 19 с, при этом ~ 0.876. К сожалению, авторы [1] не привели экспериментально полученных кривых зависимости ^г(г).
При использовании формулы (10) для ^г(г) получим В1 = 0.395. Уже при г = 69 с значение числа Фурье составляет Fo = 0.3 и с погрешностью 0.37% функция г) может вычисляться по (10) только с одним членом ряда, т.е. наступает регулярный режим теплообмена [9]. Функция К1(г), рассчитанная по (6)-(13) с применением формулы (10) для г), совпадает с кривой для Кх(г), полученной с использованием выражения (9). Последнее является подтверждением известного положения о независимости (начиная с некоторого момента времени) коэффициента теплоотдачи данной поверхности в нестационарном режиме от темпа охлаждения при прочих равных условиях. При этом значения ^(0, вычисленные по (10), существенно (в 2-4 раза при г > 700 с) меньше величин Е(г), рассчитанных по (9). Объяснение указанного факта очевидно: реальный диск конечной толщины (достаточно тонкий в рассматриваемом случае), если использовать зависимость (10), охлаждается значительно быстрее, чем полубесконечное остывающее тело, когда расчет ^(г) осуществляется по формуле (9). Количество тепла, аккумулированного полубесконечным телом, значительно больше количества тепла, аккумулированного достаточно тонким
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.