МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА № 2 • 2011
УДК 539.3
© 2011 г. В.И. МАМАЙ
НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ ТОНКОСТЕННЫХ ОБОЛОЧЕК С ЛОКАЛЬНЫМИ НЕСОВЕРШЕНСТВАМИ
Исследуется несущая способность сжатых в осевом направлении тонкостенных оболочек вращения с круговым вырезом. Для решения задачи используется численный вариант теоретико-экспериментального метода. Вычислительный эксперимент проводится с помощью конечноэлементно-го комплекса 11.0. Изучено влияние размеров кругового
выреза на несущую способность сжатой цилиндрической оболочки.
Ключевые слова: несущая способность, тонкостенные оболочки, теоретико-экспериментальный метод, численный эксперимент.
Одной из актуальных проблем современного машиностроения является оценка достоверности вычисленных нагрузок, при которых происходит потеря устойчивости и разрушение тонкостенных сжатых оболочечных конструкций. Эта задача неоднократно изучалась как теоретически, так и экспериментально. Так в работах [1, 2] приведены графики зависимости величин критических нагрузок оболочек от параметра их геометрии, на которых сопоставлены результаты известных теоретических и экспериментальных исследований для цилиндрических и сферических оболочек. Как следует из анализа этих графиков, экспериментальные значения величин критических нагрузок составляют 0.4—0.6 от теоретических. Таким образом, приходится признать, что задача определения критических нагрузок сжатых тонкостенных цилиндрических и сферических оболочек до сих пор полностью не решена. Мало изучена также механика деформирования таких оболочек в процессе потери устойчивости и разрушения.
Для практической оценки величин критических нагрузок тонкостенных оболочек обычно используется следующий подход [3]. В известные формулы линейного решения задачи устойчивости вводятся поправочные коэффициенты, учитывающие влияние начальных неправильностей формы оболочки, упруго-пластическое деформирование ее материала и несоответствие реальных граничных условий принятым в расчете.
Задача исследования потери устойчивости и несущей способности сжатых тонкостенных оболочек существенно усложняется, если оболочка имеет несовершенства типа непроклеев, локальных вырезов и тому подобное. В этом случае эффективен инженерный прием решения, который состоит в построении на основе теоретических и экспериментальных результатов полуаналитического решения. При этом необходимо иметь приближенное решение задачи, качественно описывающее изучаемый процесс, и реальный или модельный эксперимент.
В литературе такой подход часто называют, следуя [4], теоретико-экспериментальным методом. В [4] этот метод применен к исследованию свободных колебаний и устойчивости пластин и оболочек с отверстиями [5].
В работе [6] был предложен численный вариант теоретико-экспериментального метода, когда эксперимент заменяется численным решением задачи.
Обсудим предлагаемый алгоритм решения на примере задачи потери устойчивости и разрушения сжатой в осевом направлении круговой цилиндрической оболочки с отверстием в средней части.
Пусть R — радиус срединной поверхности цилиндрической оболочки, h — ее толщина, L — длина оболочки, р — радиус кругового отверстия с центром на боковой поверхности в точке L/2; E и v — модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала оболочки.
Считаем, что оболочка нагружена по одному из торцов осевой сжимающей силой P. Другой торец оболочки жестко защемлен, т.е. все перемещения и углы поворота на этом торце полагаются равными нулю.
Численный вариант теоретико-экспериментального метода сводится к следующему. Сначала выбирается приближенная аналитическая формула для вычисления критического усилия сжатия Pcr цилиндрической оболочки с круговым вырезом
Pcr = Po / (1 + f (В)), В = р2 / Rh
h Ф 0, 0 < р < R, 0 < В < R/h
Здесь f (9) — неизвестная функция параметра 0, P0 = Pcr при 0 = 0 — критическая нагрузка сжатой в осевом направлении цилиндрической оболочки без кругового выреза.
Затем одним и тем же методом вычисляются критические сжимающие нагрузки P0 для оболочки без выреза и Pcr для оболочки с круговым вырезом в средней части пролета для n значений параметра 9 = р /Rh. В результате вычислений известно значение P0 и таблица чисел
{, З,}, 0 < 3 <32 < ... < < R/h По известным P0 и {Pc'r, 9,} ^ ^ вычисляются
F э}^ {, э} (2)
по следующим формулам
FO) = Pcr/Po, fO) = (1 - F(9))/F(9) (3)
При 9е 0 - R/h функция F(9) убывает от единицы до нуля, а f (9) — возрастает от нуля. Обе они непрерывны вместе со своими первыми производными и могут быть легко аппроксимированы аналитическими функциями.
Запишем формулу для вычисления критической осевой сжимающей нагрузки P0 для цилиндрической оболочки в виде
h2 E
р0 = cR VT7 (4)
где поправочный коэффициент c приводит в соответствие вычисленное по (4) значение P0 полученному численным методом.
Наконец, выпишем следующую полуаналитическую формулу для вычисления критической сжимающей нагрузки Рсг цилиндрических оболочек с вырезом в средней части
Pcr = П
L RVT-V2
(р2/Rh)
(5)
0 .452902 1.359 2.265 3.17 4.076 0 .452902 1.359 2.265 3.17 4.076
.905805 1.812 2.717 3.623 .905805 1.812 2.717 3.623
Фиг. 1
Здесь c и п — поправочные коэффициенты; E и v — модуль упругости и коэффициент Пуассона; R и h — радиус и толщина оболочки; 0 < р < R — радиус отверстия;
F (р2 /Rh) — функция, заданная таблицей чисел {F, v}.
Проблема назначения поправочного коэффициента п в полуаналитической формуле (5) остается открытой и может быть решена с учетом технологии изготовления изделия и назначенных коэффициентов запаса в соответствии с принятыми нормами прочности так, как это описано, например, в работе [3]. Во всех случаях необходим реальный эксперимент или практическая оценка величины критической нагрузки для цилиндрической оболочки с типовым вырезом.
Формула (5) дает качественную оценку величины критической нагрузки сжатой цилиндрической оболочки в зависимости от размера выреза.
Результаты вычислений будем представлять, используя следующие безразмерные выражения для критической нагрузки P и параметра 9 кругового выреза
P = Pcr/Po, Э = р2 /Rh
где Pcr — критическая осевая нагрузка, P0 — критическая нагрузка по линейной теории, р — радиус кругового выреза, R и h — радиус и толщина цилиндрической оболочки.
В принятом модифицированном варианте теоретико-экспериментального метода реальный эксперимент заменяется виртуальным численным экспериментом. Так, для решения задачи определения критической нагрузки и разрушения сжатой в осевом направлении цилиндрической оболочки с круговым вырезом используется конечно-элементный комплекс ANSYS/LS-DYNA 11.0
В качестве конечного элемента принят гексагональный 8-узловой элемент SOLID 45 и, для контроля, 20-узловой гексагональный элемент SOLID 186 с промежуточными узлами. Общее число узлов конечных элементов составило 7488 и 25608 соответственно. Распределение конечных элементов по объему оболочки с отверстием показано на фиг. 1—3. По толщине оболочки расположены три конечных элемента, что оказывается достаточным для оболочек с h/R < 1/100.
Изучаемая цилиндрическая оболочка с круговым вырезом изготовлена из алюминиевого сплава АМГ-6, для которого принята билинейная модель материала с кинематическим упрочнением: модуль Юнга E = 7.2 • 104 МПа; коэффициент Пуассона
(и) ()
0 4.38^ ' "13.168 '21.947 30.726 39.505 0 4.389 ' "13.168 '21.947 30.726 39.505 8.779 17.558 26.337 35.116 8.779 17.558 26.337 35.116
Фиг. 3
V = 0.3, предел текучести ст = 160 МПа, модуль кинематического упрочнения Eк = 7.6 МПа.
Геометрически и физически нелинейная задача деформирования цилиндрической оболочки с круговым вырезом решается с использованием модифицированного метода Ньютона—Рафсона. Число итераций не превышает десяти. При вычислениях использовался компьютер с 64-разрядной сеткой.
Система алгебраических уравнений рассматриваемой задачи решается для сравнения двумя методами: сопряженным градиентным методом с начальными условиями без применения виртуальной памяти и с помощью специального метода решения систем алгебраических уравнений с разреженной матрицей. Обе эти программы дают практически совпадающие результаты.
В качестве тестового примера для оценки качества конечноэлементного представления и точности принятой методики вычислений используется сжатая цилиндрическая оболочка без кругового выреза.
На фиг. 1—3 приведены величины полного вектора перемещений узлов тонкостенного цилиндра с круговым вырезом при трех близких значениях осевой статической
Фиг. 4
сжимающей нагрузки: P = 140, 140.15 и 140.155 МПа. Приращение величины P составляет 15% и 0.5% соответственно.
На фиг. 1, а—3, а показан вид изучаемой оболочки сбоку, на фиг. 1, Ь—3, Ь — вид со стороны выреза. На фиг. 2, a, Ь наблюдается образование складок оболочки у выреза. На фиг. 3, a, Ь показано разрушение тонкостенного цилиндра с круговым вырезом. Таким образом, величина критической нагрузки и разрушения оболочки с вырезом может быть вычислена достаточно точно.
На всех фигурах даны деформированная и исходная формы тонкостенной оболочки с вырезом, отличие между ними хорошо заметно на фиг. 3, a, Ь. Величины полного вектора перемещений могут быть оценены по насыщенности цвета с помощью приведенной шкалы, которая содержит девять уровней в диапазоне значений измеряемых величин.
На фиг. 4 по результатам вычислений приведена зависимость величины критической осевой сжимающей нагрузки цилиндрической оболочки от относительной вели-
2
чины кругового выреза. По оси абсцисс отложен параметр 9 = р /Як, по оси ординат соответствующие значения величины критической нагрузки Р = Рсг/Р0 .
Проведенные вычисления показали, что численный вариант теоретико-экспериментального метода, в котором реальный эксперимент заменяется виртуальным численным экспериментом, является весьма эффективным инструментом, позволяющим оценить влияние кругового выреза на устойчивость и разрушение сжатых тонкостенных цилиндрических оболочек.
Работа выполнена в Институте механики МГУ при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10-08-0258а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость круговых цилинд
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.