МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2014
УДК 532.22:537.634
© 2014 г. Т. И. ВОЛКОВА, В. А. НАЛЕТОВА
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ФОРМЫ МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ В ПОЛЕ ПРОВОДНИКА С ТОКОМ
Теоретически исследована статическая цилиндрическая форма поверхности конечного объема магнитной жидкости, находящегося между горизонтальными пластинами. Неоднородное магнитное поле создается линейным горизонтальным проводником с током, расположенным над верхней пластиной. Рассмотрена вариационная задача о минимуме энергии односвязного объема магнитной жидкости относительно плоских возмущений поверхности. Задача решена для произвольных магнитных полей в безындукционном приближении, с учетом силы тяжести и поверхностного натяжения. Найдены неустойчивые решения. Исследована возможность скачкообразного поведения формы поверхности конечного объема магнитной жидкости при квазистатическом изменении тока в проводнике.
Ключевые слова: магнитная жидкость, форма поверхности, линейный проводник, гистерезис.
Во многих приложениях используется возможность управления поведением намагничивающихся сред при помощи переменных магнитных полей [1]. При этом в некоторых ситуациях могут существовать скачкообразные изменения и гистерезис формы поверхности магнитной жидкости при циклическом увеличении и уменьшении приложенного магнитного поля. В работе [2] теоретически и экспериментально изучена форма поверхности капли магнитной жидкости, погруженной в другую жидкость той же плотности, в однородном магнитном поле. Показано, что при увеличении поля при некотором его пороговом значении поверхность капли становится неустойчивой, и капля скачкообразно принимает более удлиненную форму. При уменьшении магнитного поля обратное явление происходит при меньшем пороговом значении. Это связано с тем, что в некотором диапазоне полей существуют два стационарных устойчивых решения для формы поверхности капли, и возможны скачкообразные переходы от одного решения к другому.
В [3] обнаружено явление скачкообразного изменения формы поверхности гидроневесомой капли магнитной жидкости на линейном проводнике с током при квазистатическом увеличении тока. В теоретической работе [4] задача о форме капли магнитной жидкости на проводнике решена для произвольных магнитных полей, получена зависимость объема капли от ее максимальной толщины для различных значений тока в проводнике и произвольных углов смачивания. Показано, что возможны скачкообразные изменения формы капли, поскольку в некотором диапазоне токов существуют три различных решения.
В [5, 6] экспериментально и теоретически исследована статика свободной поверхности магнитной жидкости, содержащей цилиндрическое тело из хорошо намагничивающегося материала, в приложенном однородном магнитном поле. Теоретически показано, что в некотором диапазоне полей при одном и том же приложенном магнитном поле могут реализовываться разные типы решений, существование которых подтверждено экспериментально. В работе [6] экспериментально обнаружены скачкообразное поведение и гистерезис формы поверхности при циклическом увеличении или уменьшении приложенного поля. В [7] теоретически исследована форма беско-
Фиг. 1. Форма капли магнитной жидкости на нижней пластине: 1 — магнитная жидкость, 2 — окружающая среда, 3 — линейный горизонтальный проводник с током J, 4 — горизонтальные пластины
нечной свободной поверхности тяжелой магнитной жидкости в поле горизонтального проводника с током в безындукционном приближении, и показано, что при постепенном увеличении и уменьшении тока могут наблюдаться скачкообразные изменения формы поверхности. В [8] решена задача о форме поверхности конечного объема тяжелой магнитной жидкости между горизонтальными пластинами в поле линейного проводника, расположенного параллельно над верхней пластиной, в безындукционном приближении для произвольных магнитных полей и с учетом поверхностного натяжения. Показано, что при фиксированном токе существуют несколько односвязных решений, удовлетворяющих граничным условиям и условию сохранения объема магнитной жидкости. В частности, существуют два различных решения для капли магнитной жидкости, смачивающей нижнюю пластину.
В данной работе теоретически рассмотрена вариационная постановка этой задачи. Из условия минимума энергии конечного объема магнитной жидкости получены уравнение и граничные условия для определения статической формы поверхности раздела магнитная жидкость—немагнитная среда. Исследована устойчивость статических односвязных решений относительно плоских возмущений поверхности при условии сохранения объема магнитной жидкости. Данное исследование может быть полезным для расчетов устройств на основе магнитной жидкости (звукопроводы, затворы, клапаны и дозиметры), в которых используется переменное магнитное поле и в которых могут существовать скачкообразные изменения и гистерезис формы поверхности.
1. Постановка задачи. Пусть тяжелая несжимаемая магнитная жидкость и окружающая ее ненамагничивающаяся среда находятся между горизонтальными пластинами, расстояние между которыми d (фиг. 1). Декартова система координат ^, у, z) введена так, что горизонтальные оси x и у лежат в плоскости верхней пластины, вертикальная ось z направлена вверх. Линейный горизонтальный бесконечно длинный проводник с током J расположен над верхней пластиной параллельно оси у, так что точки оси проводника имеют координаты x = 0, z = е. При этом радиус проводника меньше е. Рассматривается плоский случай: все параметры зависят от x и z. Кривая z = Ь(%) задает статическую форму поверхности раздела двух сред. Индексами 1 и 2 обозначены параметры магнитной жидкости и окружающей среды соответственно.
Из интегральных уравнений Максвелла в приближении феррогидродинамики следует, что напряженность магнитного поля проводника с током в отсутствие магнитной жидкости определяется формулой (в Гауссовой системе единиц)
H(x, z) = . - 2 J - (1.1)
cjx2 + (z - б)2
Здесь c — скорость света. Считается, что выполнено безындукционное приближение, т.е. используется слабо намагничивающаяся магнитная жидкость, которая не искажает напряженность H приложенного магнитного поля проводника с током.
Намагниченность магнитной жидкости с малой концентрацией ферромагнитных частиц описывается формулой Ланжевена
M(%) = MlsL(%), L(%) = cth% - %, % = mH, m = (1.2)
% kT n
Здесь T = const — температура жидкости, k — константа Больцмана, MS — намагниченность насыщения магнитной жидкости, которая связана с магнитным моментом одной ферромагнитной частицы m и числом ферромагнитных частиц n.
Заданный односвязный объем магнитной жидкости V0, приходящийся на единицу длины проводника, может иметь форму капли на нижней пластине (фиг. 1), либо капли, удерживающейся на верхней пластине под проводником, либо перемычки между плоскостями. Также возможно множество двухсвязных решений, состоящих из капель на нижней и верхней плоскостях, суммарный объем которых равен V0.
Энергия магнитной жидкости, окруженной ненамагничивающейся средой, на единицу длины проводника состоит из поверхностной энергии, энергии во внешнем поле силы тяжести и внутренней магнитостатической энергии
H(x, z)
F = + (p! - p2)gJ(z + d)du- J J M1(H)dHdu (1.3)
S V V 0
Здесь ст = const — коэффициент поверхностного натяжения, ds — элемент поверхности S магнитной жидкости, р: и р2 — плотности сред (р: > р2), g — ускорение свободного падения, du — элемент объема V магнитной жидкости, H(x, z) определяется формулой (1.1). Магнитостатическая энергия выражается через вектор намагничивания M: и представляет собой энергию, затрачиваемую при внесении магнитной жидкости в магнитное поле H фиксированного источника. Энергия магнитной жидкости F[h] есть нелинейный функционал, определенный на классе непрерывно дифференцируемых функций z = h(x) с подвижными концевыми точками. В состоянии равновесия энергия F[h] должна быть минимальной для всех вариаций формы поверхности, удовлетворяющих условию сохранения объема магнитной жидкости: V0 = const.
2. Вариация функционала энергии. Без ограничения общности дальнейшие рассуждения о вариации функционала F[h] приведены для односвязной капли магнитной жидкости, смачивающей нижнюю пластину (фиг. 1). Ее энергия Fl вычисляется по формуле (1.3), которая с учетом (1.2) имеет вид
x2 (
Fi
1 = J Стл/1 + h'2(X) - (CTT2 - CTT!) + 2g(p1 - p2)(h(x) + d)2 -
xi
h(x)
- nkT f ln sh(mH(x, z) /kT)dz j mH(x, z)/kT
v
X1 (2.1)
h(x) \
d
Здесь (хь —d) и (x2, —d) — подвижные точки пересечения поверхности г = h(x) с нижней пластиной, xl < 0 < x2. Силы поверхностного натяжения ст, стт1 и стт2 действуют вдоль контактных границ раздела сред. Согласно уравнению Юнга, они связаны соотношением ст cos 90 = стт2 — стт1, где 90 — краевой угол смачивания, 0 < 90 < п.
По теореме Эйлера вариационного исчисления [9] для определения минимума функционала энергии (2.1) рассмотрим следующий функционал:
¥[h] = F1[h] -p0V0[h] = jf(x, h, h')dx, V0[h] = J(h(x) + d)dx
где p0 — некоторая постоянная, требующая определения.
Пусть u(x) — некоторое приращение формы поверхности z = h(x) капли, (x1 + 8x1, — d) и (x2 + 8x2, —d) — координаты концов проварьированной кривой h + u. Определим вариацию 8^[u] функционала ^[h] как выражение, линейной относительно приращений u(x), 8x1, Sx2 и отличающееся от полного приращения ^[h + u] — ^[h] функционала на величину выше первого порядка малости по сравнению с расстоянием между функциями h и h + u
x2
5¥[ u ] = ffh - dfh) u(x) dx - (f - hf)\x = x15X! + (f - hf)\x = x2 5X2
X1
Для того чтобы на кривой h(x) достигался экстремум функционала энергии F1[h] необходимо, чтобы вариация 8^[u] обращалась в нуль при z = h(x). Из условия равенства нулю подынтегрального выражения с учетом формулы (2.1) следует уравнение Эйлера—Лагранжа:
p0 - (р1 - р2)g(h(x) + d) + nkTInSh(mH(x, h(x) ) /kT) =--(2.2)
P0 KP1 P} mH(x, h(x))/k T (i + h'(x)2)3/2 ( )
Здесь напряженность магнитного поля H(x, z) задается формулой (1.1). При этом, так как 8x1 и 8x2 — независимые приращения, должны выполняться условия трансверсальности на подвижных концах кривой z = h(x)
h(xi) = -d, h'(xi) = tg00
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.