МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА № 1 • 2015
УДК 533.9.01:537.84
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ И РАСПАД СТОЛБА МАГНИТНОЙ ЖИДКОСТИ, ОКРУЖАЮЩЕЙ ДЛИННОЕ ПОРИСТОЕ ЯДРО
© 2015 г. Э. Н. ЕГЕРЕВА, О. А. РУНОВА, Н. Г. ТАКТАРОВ
Мордовский государственный педагогический институт им. М.Е. Евсевьева, Саранск e-mail: colonnt@mail.ru, egerevaen@mail.ru, runova.olga@list.ru
Поступила в редакцию 12.05.2014 г.
Сформулирована и исследована математическая модель распространения и неустойчивости волн на поверхности цилиндрического столба магнитной жидкости бесконечной длины, окружающей коаксиально расположенное, длинное пористое ядро круглого сечения. Найдены условия, при которых возмущения поверхности жидкого столба становятся неустойчивыми и приводят к его распаду на цепочку из соединенных капель. Показано, что длина этих капель увеличивается с возрастанием магнитного поля.
Ключевые слова: волны, неустойчивости, магнитная жидкость, распад столба жидкости, магнитное поле, пористая среда.
Магнитные жидкости синтезируют искусственно путем коллоидного растворения наночастиц твердого ферромагнетика в обычной немагнитной жидкости. Магнитные жидкости имеют широкое практическое применение.
Поверхностные волны в слое обычной жидкости, находящейся на пористом основании впервые были исследованы в работе [1]. Задача о волнах на поверхности струи магнитной жидкости рассмотрена в [2]. Задача о распространении волн на заряженной поверхности цилиндрического столба электропроводной жидкости, окружающей длинное пористое ядро, решена в [3].
1. Математическая модель. Предполагается, что внутри цилиндрического столба магнитной жидкости находится ядро из однородного и изотропного пористого материала в форме коаксиально расположенного круглого цилиндра. Учитывается наличие поверхностного натяжения. Сила тяжести предполагается отсутствующей. Ось пористого цилиндра совпадает с осью коаксиально расположенного цилиндрического соленоида, создающего однородное магнитное поле с напряженностью H0. Задача решается в цилиндрической системе координат (r, 9, z), в которой жидкий столб покоится. Ось z направлена по оси пористого цилиндра. Радиус пористого цилиндра, невозмущенной поверхности жидкости и соленоида обозначим a, a0 и b, соответственно. Величины, относящиеся к пористой среде, свободной жидкости (вне пористой среды) и промежутку между жидкостью и соленоидом (воздух), обозначаются в необходимых случаях индексами 1, 2 и 3. Магнитные проницаемости ц2, ц3 в областях 1, 2, 3 предполагаются постоянными, причем ц3 = 1, а магнитная проницаемость среды в области 1 (пористый материал, насыщенный жидкостью) равна = ц2Г + ц5(1 — Г), где
— проницаемость пористого материала, Г — пористость (отношение объема пор ко всему элементарному объему среды). Предполагается, что Г = const. При постоянной проницаемости магнитная сила, как известно, равна нулю, однако это не означает, что магнитное поле не влияет на движение жидкости. В самом деле, на поверхностях раз-
дела сред существуют механические напряжения (связанные со скачком магнитного поля), посредством которых и происходит взаимодействие поля со средой.
Уравнения движения однородной магнитной жидкости в пористой среде (при сделанных предположениях) имеют вид [4, 5]
р + Р (ui •V)u1 = - ГУр + nV2Ul + rF, V-u = 0 (1.1)
д t Г
Здесь p — плотность жидкости, n — динамическая вязкость, K — коэффициент проницаемости пористой среды, зависящий от формы и размера пор; p1 — среднее давление жидкости в порах, u1 — макроскопическая скорость фильтрации, определяемая как объемный поток жидкости на единицу площади в пористой среде (величина u1 связана со средней скоростью и1 жидкости в порах соотношением u1 = Ги1), F — плотность силы трения пористой среды, определяемая формулой Дарси F = —nu1/K. Магнитная сила и сила тяжести prg в правой части первого уравнения (1.1) отброшены (равны нулю).
Уравнения движения свободной жидкости вне пористой среды [6]
р^ + р(u2 • V)u2 = - VP2 + nV2u2, V • u2 = 0 (1.2)
д t
Здесь u2 — скорость свободной жидкости.
Предполагая, что амплитуда волны значительно меньше ее длины и радиуса жидкого столба, в уравнениях движения (1.1) и (1.2) будем отбрасывать нелинейные по скорости слагаемые.
Ограничимся далее случаем волн достаточно большой длины X, значительно превышающей радиус a0 жидкого столба. Учитывая, что по порядку величины V2u ~ u/%? и предполагая выполненными условия X2r/K §> 1 и X2pю/n 1 (ю — частота волны), будем отбрасывать слагаемые ^V2u: и nV2u2 в уравнениях движения. Предполагаем также, что отсутствует прилипание жидкости на поверхности пористого цилиндра. В рассматриваемой модели не накладывается никаких ограничений на касательную к поверхности пористого цилиндра компоненту скорости, требуется лишь непрерывность потока жидкости в нормальном к этой поверхности направлении.
Уравнения для магнитного поля [7]
V х H = 0, V • ) = 0 (i = 1, 2, 3) (1.3)
Из уравнений (1.1)—(1.3) следует ui = V9i, u2 = V92, H. = Vy
(1.4)
VV = 0, У2ф2 = 0, V2y. = 0 (i = 1, 2, 3)
Далее все величины будем записывать в виде
p1 = p10 + p1w, p2 = p20 + p2w, Hi = Hi0 + Hiw (15)
Vi = Vi0 + Vw = zHi0 + Viw (i = 1, 2, 3)
Здесь индексами 0 и w обозначены соответственно невозмущенные величины и малые возмущения, связанные с волной; H10 = H20 = H30 = H0. Возмущения также должны удовлетворять уравнениям Лапласа (1.4).
Граничные условия на поверхности пористой среды (r = a) ulr = u2r Vl = V
|lП -Wi = |2П 'VV2 (1'6)
p 1 l H + |i i H2 = p |i 2 H + Ц2 H2 Pi - J"H1n + = p2 - ~rH2n +
4п 8 п 4п 8п
На свободной поверхности жидкости (r = c + ^(9, z, t), где c = const, ^ — деформация поверхности)
dt
U2r = "22, V2 = V3, |2n - VV2 = |зП - V^ dt
P2 -fnH2 n+8П H2 - (* - 4"Пн2-+гП«3) =2a с.
На поверхности соленоида (r = А) возмущение потенциала равно нулю = 0
Здесь а — коэффициент поверхностного натяжения, Cm — средняя кривизна поверхности жидкости, n — единичная нормаль к соответствующей поверхности.
Невозмущенные величины также должны удовлетворять граничным условиям (1.6) (в предположении, что u1 = u2 = 0 и ^ = 0).
К условиям (1.6) следует добавить условие постоянства объема жидкости, приходящегося на одну длину волны
X 2п
I JJr2dQdz = ^тсаО
2
о о
Подставляя сюда г = с + находим, что в силу периодичности функции \ в линейном по \ приближении с = а0.
Для возмущений давления из (1.1) и (1.2) с учетом (1.5) следует
= - Р^ф - П — Р2п = —р ——- (1.7)
Ху> г дг Г1 2к н дг
Здесь аддитивные постоянные в возмущениях давления устраняются путем их включения в равновесные невозмущенные давления.
Как известно из дифференциальной геометрии, выражения для п и Ст для деформированной цилиндрической поверхности в линейном приближении имеют следующий вид:
П = К, пв, п,) = Г1, — I д| — д§)
V а0 д9 д г)
( 2 2 > (1.8) 2 с, = а™ = I — (А +12 д^-2 + Щ
ао V а0 ао д0 д г)
На поверхности пористой среды n = (1, 0, 0).
Граничные условия (1.6) в линейном приближении принимают вид
г = а:
. дф! _ дф2
дг
И!
= И2
дг
= а : д Ф 2 = д % — ап: - — —
д г ' дг
V!« = ^2«
И!Я0_ „ . И2Я0д^2и р!« + ---~- = р2« +
(1.9)
4п дг
Vз«
4п дг
д г д г'
И (Яо £ = Из (я £ -др
( дг дг У ( дг дг
И2Я0 ду2« Из Яо дуз
дг дг (
Р2« +
4п дг 4 п дг
= -а
- + 1д2% + д2% 2 2 /••> /л 2 /••> 2
(а0 а0дО дг У
Уз«( Ь) = 0
Кроме того, на оси пористого цилиндра (г = 0) решения уравнений должны быть конечными.
В граничных условиях (1.9) величиныр1ш р2к имеют вид (1.7).
Математическая модель является, таким образом, краевой задачей, состоящей из уравнений Лапласа (1.4) и граничных условий (1.9).
2. Решение краевой задачи. Решение уравнений (1.4) с граничными условиями (1.9) ищем в виде
{ф!, ф2, V!« VУз«»%} =
= {Ф* (г), Ф* (г), V« г), г), % *} ехр (- у г + гкг + т°)
(2.1)
Здесь ф* (г) (, = 1, 2), Уу* (г)(/ = 1, 2, 3) — неизвестные амплитуды, к = 2лД, — волновое число, т = 0, 1, 2, ...; у = уг + ;у;, ю = |у,| — частота, в = уг — коэффициент, который может быть как положительным (при затухании возмущения), так и отрицательным (при неустойчивости, приводящей к нарастанию возмущения).
Подставляя выражения (2.1) для ф,- и в уравнения Лапласа, в цилиндрических координатах, получим систему пяти модифицированных уравнений Бесселя порядка т для амплитуд, решения которых имеют вид
ф* = Сх1т (кг) + С2Кт( кг), ф* = Сз 1т( кг) + С4 Кт( кг)
V*« = С51т(кг) + С6Кт(кг) , V*« = Су 1т(кг) + С8Кт(кг)
V*« = С91т( кг) + С!0 Кт ( кг)
Здесь 1т и Кт — модифицированные функции Бесселя первого и второго рода порядка т. Следует положить С2 = 0 и С6 = 0, так как Кт(кг) ^ да при г ^ 0.
Для амплитуд граничные условия (1.9) принимают вид
С! 4( ка) = С3 4( ка) + С4 Кт (ка), С5 /т( ка) = С71т{ ка) + С8 Кт (ка)
И! С51т ( ка) = И2С71'т( ка) + И2 С8Кт ( ка)
- е?С! 1т(ка) + ПА1т(ка) - С51т(ка) =
Г ! тч ' К ! т - ' 4-= - ру[Сз 1т(ка) + С4Кт(ка)] -
^^ [ Су1т (ка) + С8 Кт( ка)] 4 -
(2.2)
кСз 1т(ка,) + кС4Кт(ка0) = - У%*, С91т(кЬ) + С!0Кт(кЬ) = 0 Су1т( ка0) + С81т ( ка0) = С91т ( ка0) + Сш Кт ( ка{)) И2 {/Щ) % * - СукТт(ка0) - С%кКт(ка0)} = = Из {1кЩ%* - С9к1т(ка0) - С!0кКт(ка0)}
ру [Сз1т(ка0) + С4Кт(ка0)] +
/кИзу Я
/кИ2уЯ0[Су 1т(ка0) + С8Кт(ка0)] -
4п
ау%"
[С91т(ка0) + С!0Кт(ка,)] = (1 - т2 - ка2)
4п а20
Здесь , — мнимая единица, штрихами обозначены производные. Имеем систему девяти однородных уравнений (2.2) для девяти неизвестных: Сь С3, С4, С5, С7, С8, С9, С10, Приравнивая определитель системы (2.2) нулю, получим дисперсионное уравнение для поверхностных волн, кубическое относительно у
з2 А!у + А2 у + Азу + А4 = 0
(2.3)
А! = р(И2 - И!)(Г - !)*! 12т(ка)[Тт(ка)]2Кт(ка0) +
+ р(И2 - И!)^ [Гт(ка)]2Кт(ка) 1т(ка) 1т(ка{)) -
- Г 12т(ка)Гт(ка)Кт(ка)Гт(ка0) | + р(Г - !)1т(ка)Гт(ка)Кт(ка0) -
- рВ ^21т(ка{])
Гт(ка)Кт(ка) - г 1т(ка)Кт(ка)
А2 = К-(И2 - И!)*!РГт(ка) 12т(ка) - КВ!(ка)
Аз = (И2 - И!)^^(! - т2 - к2а0)В2Р21т(ка)4(ка)Кт(ка0) +
а20
+ (И2 - И!)(Из - И2)ВР 1т(ка)Гт(ка)Кт(ка0) - ОД + 4п
22
+
И 2 к Я 4п
(И2 - И!)(Из - И2)Р!Р
=__n а к
-"V2^( 1 - ™2 - k2fl0)F4I.(ка) х Р Ка2
[1з(12 - li)F24(ка)Тт(ка)Кт(ка0) + BR] +
F1 F4Im(ка)[(|3 - |2)B14(ка0) -
+ (|3 -12 )JL ^
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.