ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2015, том 55, № 1, с. 56-73
УДК 519.62
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ ДВУХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ ПРИ ОСНОВНОМ И КОМБИНАЦИОННОМ РЕЗОНАНСАХ1)
© 2015 г. Н. А. Люлько
(630090 Новосибирск, пр-т Акад. Коптюга, 4, Ин-т матем. СО РАН, ул. Пирогова, 2,
Новосибирский гос. ун-т) e-mail: natlyl@mail.ru Поступила в редакцию 15.03.2013 г.
Переработанный вариант 12.08.2014 г.
Рассматривается нелинейная обратимая система двух осцилляторов, зависящая от малого параметра q > 0. С помощью метода усреднения Крылова—Боголюбова исследуется неустойчивость нулевого положения равновесия этой системы при неавтономном периодическом возмущении. В случае основного и комбинационного резонансов для усредненной автономной нелинейной системы найдены независимые интегралы, позволяющие определить максимальную амплитуду колебаний решений исходной системы при малых значениях q. При основном резонансе усредненная система с помощью замены переменных сводится к гамиль-тоновой вполне интегрируемой системе. В случае комбинационного резонанса найденные интегралы позволяют проинтегрировать усредненную систему. Библ. 24. Фиг. 3.
Ключевые слова: нелинейная система двух осцилляторов, параметрический резонанс, метод усреднения, первые интегралы, гамильтоновы системы.
Б01: 10.7868/80044466915010160
ВВЕДЕНИЕ
Распространенная технология вытеснения нефти водой приводит к постепенному заводнению продуктивных пластов и к существенному уменьшению или даже полному прекращению нефтеотдачи. В то же время в залежах остается значительная часть исходных запасов. Одним из способов реанимации обводненных месторождений является вибрационная обработка скважины (см. [1]). В результате длительной работы сейсмовибратора на поверхности месторождения нефть снова начинает поступать из скважины. В [2] выведена и исследована гидродинамическая модель газосодержащих слоистых систем, позволяющая в линейном приближении теоретически обосновать технологию восстановления нефтеотдачи вибрационным методом.
В основу модели положена гипотеза о том, что на поверхности поровых каналов происходит формирование макроскопических пленок, образованных чередующимися слоями полярных компонент водонефтяной смеси, насыщенными газом. Концентрация газа в такой гидродинамической системе зависит от деформационных искажений слоев. С другой стороны, поверхностное натяжение зависит от концентрации газа. Благодаря такой взаимосвязи существует возможность параметрического воздействия на устойчивость слоистых систем. В [2] для соответствующей линеаризованной системы было показано, что внешнее периодическое возмущение при определенных частотах приводит к параметрическому резонансу в распределенной системе. При параметрической неустойчивости линейной системы амплитуда колебаний водонефтяных пленок экспоненциально растет, пленки разрушаются, газ выходит, что способствует увеличению проницаемости каналов нефтяного коллектора. Предлагаемая в [2] концепция в качественном смысле хорошо согласуется с полевыми экспериментами по увеличению продуктивности нефтяных месторождений методом вибросейсмического воздействия малой интенсивности.
1) Работа выполнена при финансовой поддержке Программы фундаментальных исследований Президиума РАН № 15 и Междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН № 30.
Настоящая работа является продолжением исследований, начатых в [2], по изучению неустойчивости нелинейной модели газосодержащих слоистых систем относительно внешних периодических возмущений малой амплитуды. Для упрощенной нелинейной задачи мы рассмотрим вопросы возникновения параметрического резонанса и характера неустойчивости соответствующих решений, а также вопрос о том, как в случае резонанса находить амплитуду колебаний, способных разрушить слоистую систему.
В данной работе рассматривается задача Коши для нелинейной системы двух осцилляторов
—, + а?) и = и 1, (!)
сИ 7
+ СТ2) и1 = 4(( —2 + Ю1) и2 + —2 + »^Си^ПС®')))
Ы'2 7 ((С'2 7 С 7 7
относительно двух неизвестных вещественных функций и(0, и1(1), t > 0. Здесь q > 0 — малый физический параметр, б > 0 — амплитуда внешнего возмущения, ® > 0 — частота внешнего возмущения, положительные числа сть а2, юь ®2 — параметры модели.
Невозмущенная система (1) (б = 0) является обратимой (ее вид инвариантен относительно замены t ► —t (см. [3]), и так же, как для гамильтоновых систем с двумя степенями свободы в [4], доказано, что если для частот ст1, а2 выполнено условие отсутствия внутренних резонансов до пятого порядка, т.е.
Р1СТ1 + Р2О2 Ф 0 для 0 < |р11 + |р2| < 5, где р1, р2 — целые числа и соответствующая нормальная форма Пуанкаре является невырожденной, то невозмущенная система (1) имеет в окрестности нуля бесконечное число квазипериодических решений с базисом частот ст1, а2 и два однопараметрических семейства периодических решений с периодами Т1 ~ (2я)/а1 и, соответственно, Т2 ~ (2я)/а2. С другой стороны, при q = 0 система (1) является устойчивой, так как имеет только почти периодические решения и($ = С1 е^1' +
—Ш1' I О' — Ш->' 2 2 1О-,' 2 2 —I О' ---
+ С2е ' + С3е 2 + С4 е 2, u1(t) = С3( а? - а!) е2+ С4( а? - стЦ) е 2, где С1 = С2, С3 = С4.
Цель работы — исследование характера неустойчивости нулевого решения системы (1) и нахождение максимальной амплитуды колебаний функции и(1) при ® = 2а1 (основной резонанс) и при ® = а1 + а2 (комбинационный резонанс) для малых значений параметра q в зависимости от значений 6.
Изучению резонансных явлений в дифференциальных системах посвящено большое количество работ, обзор которых можно найти в [5]—[7], в частности, в [8], [9] представлена теория параметрической неустойчивости для линейных систем дифференциальных уравнений.
Системы с конечным и бесконечным числом осцилляторов моделируют колебания в однородной сплошной среде, имитируют поведение связанных колебательных контуров в радиотехнике, колебания молекул, различные механические устройства (см. [5], [10]—[12]). При математическом моделировании физические явления зачастую описываются уравнениями Лагранжа, поэтому возникающие при этом системы осцилляторов являются гамильтоновыми. Гамильтоно-вы системы, как правило, задаются через указание функции Гамильтона, и при дальнейшем исследовании используется стандартный вид системы в переменных действие—угол. Обзор по исследованию резонансов в гамильтоновых системах можно найти в [6], [13], [14].
Система (1) не является ни гамильтоновой (при записи в переменных и, и1, и , и1), ни системой слабо связанных осцилляторов, наиболее часто исследуемых (см. [6]). Для исследования неустойчивости нулевого решения системы (1) мы применим к ней метод усреднения Крылова-Боголюбова и получим усредненную автономную систему следующего вида:
С- = + ^ Г6- В - + , (2)
а' (1 1 '
где С0(ю), Б — постоянные матрицы, ^3(Ч) — столбец-функция, представляющая собой однородный полином третьей степени относительно вектора Ч е С4. Для системы (2) удается найти два независимых интеграла (для каждого резонанса), позволяющих исследовать поведение ее траекторий в целом при всех значениях q, 6 и определить максимальную амплитуду колебаний решений системы (2), а следовательно, и системы (1) при малых значениях q. В терминах параметров q, 6 найдена область неустойчивости системы (2) при ® = 2а1.
В случае основного резонанса усредненная система (2), записанная в вещественных переменных, является, по сути, гамильтоновой, так как сводится к таковой с помощью линейной замены переменных. Исследование соответствующих первых интегралов H и F доказывает компактность связных двумерных подмногообразий фазового пространства H = h, F=f, поэтому в силу варианта теоремы Лиувилля (см. [15, следствие 1, с. 235]) рассматриваемые многообразия есть инвариантные торы, а движение на них условно-периодично. В случае же комбинационного резонанса фазовые траектории системы (2) лежат на двумерных многообразиях J1 = const, J2 = = const в [R4, заданных с помощью соответствующих первых интегралов J1, J2.
1. ВЫВОД нелинейной системы двух осцилляторов
Для полноты картины вновь обратимся к [2] и покажем, как из модели газосодержащих слоистых систем получается система (1). Рассмотрим слоистую систему, заполняющую в состоянии покоя область ((x, y) е [2, 0 < г < l). Обозначим через u(t, x, y, z) вертикальные смещения точек этого пласта, предполагая, что его нижняя граница жестко закреплена, а верхняя совершает гармонические колебания малой амплитуды б > 0 с частотой ю > 0. В [2, формула (1.23)] предложена следующая математическая модель, описывающая малые колебания такого макропласта:
dv? D d2u dp dv2 d2u dp
P*= -YBTIT -Po-f, P*l--- = -YB--Т--Г -Род , dt dxdz dx dt dydz dy
p*id-3 = B( 1 - Y)^ -Pc^-p + q(So + Si(z - u))A±u, (3)
dt gz2 dz
d = -p *div(v), д = ulz = о = 0, ulz = i = 6 sin (ю t),
где v1, v2, v3 — компоненты вектора скорости v в момент t в точке (x, y, z), p(t, x, y, z) — плотность среды, q > 0 — плотность слоев в пласте, A±u = uxx + uyy. Здесь 0 < y < 1, B, p0, p*, S0, S1 — известные положительные параметры модели; значения функций v1, v2, v3, u, p считаются известными при t = 0. Исследование неустойчивости системы (3) представляет собой сложную математическую проблему, поэтому построим для (3) модельную задачу. Сделаем в (3) замену v¡ = p*v;, i = 1, 2, 3,
p = —p0p, u = u, тогда у вновь полученной системы будет существовать частное решение v? = v2 = 0,
о , ^sin(юа0г) о , ,4sin(юа0z) о . , ,4cos(юа0z)
v3 = 6p*ю cos (ю t) —--—, u = 6 sin (ю t) —--—, p = sp*p0 юа0sin (rot)---—,
sin (юа01) sin (юа0 i) sin (юа01)
где а2 = p*/((1 — y)B + p0p*). Полагая vi = v¡ — v0, i = 1, 2, 3, u = u — u0, p = p — p0, получаем из этой системы систему с однородными краевыми условиями
Év? =-yb + dp, Év? = -yb ÜJL + dp,
dt dx dz dx' dt dy dz dy'
= B( 1 - y)^ + dp + qP(t, z, u)A±u, (4)
dt dz dz
¿p = p0 div (v), p* d-u dt 10 v 7 F dt
= Ро div (v), p* — = v-, u|z = о = u|z = i = 0,
эквивалентную системе (3), где
at* \ 2 2 ( ■ t sin(юaoZ)
p(t, z, u) = Sо + S? z - u - ssin(юt) —--
V sin (юа01)
неустойчивость нелинейной системы двух осц
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.