МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <2 • 2008
УДК 532.51.013.4:536.25
© 2008 г. В. К. АНДРЕЕВ, В. Б. БЕКЕЖАНОВА
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСНОГО состояния ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ ПРИ НАЛИЧИИ ОБЪЕМНЫХ ИСТОЧНИКОВ
ТЕПЛА
Рассмотрена задача о конвекции слабо сжимаемой жидкости. В уравнениях свободной конвекции учитывается функция теплового источника. Устойчивость равновесного состояния горизонтального слоя относительно малых возмущений изучается методом линеаризации. На основе численных расчетов показано, что состояние механического равновесия жидкости неустойчиво. Построены нейтральные кривые и найдены критические числа Рэлея. При расчетах использовались значения физических параметров, характерные для воды озера Байкал.
Ключевые слова: гидродинамическая неустойчивость, свободная граница, нейтральная кривая.
Натурные наблюдения, проведенные на озере Байкал, говорят о наличии в озере механизма глубокого перемешивания, переносящего поверхностные воды Байкала в придонные области [1]. Важным фактором, определяющим интенсивность вертикального водообмена и связанных с этим процессов переноса примесей, является температурная стратификация вод озера. Термогравитационная конвекция обусловлена весенне-летним прогреванием приповерхностных вод. Именно в приповерхностном слое под действием солнечного излучения протекают интенсивные процессы, оказывающие влияние на динамику и тепловой режим основной толщи. Вода представляет собой светорассеивающую среду в достаточно широком диапазоне спектра солнечного излучения, поэтому необходим учет ее оптических свойств. Для описания движения жидкости используются уравнения свободной конвекции, в которых тепловое расширение учитывается только в членах, отвечающих архимедовой силе (приближение Обербека-Буссинеска). В уравнение энергии добавим общую энергетическую функцию теплового источника описывающую поглощение солнечной радиации. Значение ^ определяется оптическими параметрами и моделью распространения излучения в неоднородной среде.
Другой важный фактор, который необходимо принимать во внимание при изучении гидрофизических процессов - плотностная стратификация. Одна из возможных причин явления глубинного перемешивания связана с аномалией теплового расширения. Предположим, что плотность является только функцией температуры и не зависит от давления. Тогда уравнение состояния воды принимается в виде
р = Ро( 1- Р(0 - 90)2) (0.1)
где р0 - максимальное значение плотности, которое достигается при температуре 0О, называемой температурой инверсии или температурой аномалии теплового расширения жидкости, в - коэффициент теплового расширения, 0 - температура жидкости. Для воды характерное значение р0 = 999.972 кг/м3, температура инверсии 0О = 277.13 К при в = 8.57 ■ 10-6 К-2. Максимум плотности достигается внутри слоя, т.е. температура поверхности выше температуры инверсии, а температура нижней границы - ниже.
При такой немонотонной зависимости плотности от температуры возникает сложная стратификация в вертикальном направлении. В верхней части слоя плотность возрастает в направлении силы тяжести и жидкость гравитационно устойчива, в нижней части слоя плотностная стратификация жидкости неустойчива. Возникающие в неустойчивой части жидкости конвективные движения распространяются в верхнюю устойчивую зону. В этом случае говорят о проникающей конвекции. Если толщина слоя невелика, то отклонения плотности, вызванные изменениями давления, можно не учитывать. При изучении же процессов, происходящих в глубоководных водоемах (каким является оз. Байкал), следует принять во внимание, что возникающие перепады давления могут оказывать существенное влияние на распределение плотности, а следовательно, и на конвективные процессы. В глубоких водоемах возникает эффект сжимаемости воды при высоких давлениях, проявляющийся в понижении температуры максимальной плотности с ростом давления [1]. Поэтому вместо (0.1) будем использовать уравнение состояния жидкости
р = Ро( 1- Р(0 - 9*)2), 9* = 90( 1- S0p) (0.2)
Здесь S0 - постоянная положительная величина, p - давление. Для воды характерное значение 50 = 5 ■ 10-8 (Па)-1. Такая нелинейная зависимость плотности от температуры и давления с малыми коэффициентами теплового расширения и изотермической сжимаемости позволяет считать слой жидкости слабо сжимаемой средой в смысле монографии [2].
Уравнение (0.2) является упрощенным вариантом уравнения состояния
р(0, p) = рт(p)[ 1- ф(p)(0 - 0т(p))2]
Вид функций pm(p), фф), 9m(p) и обоснование такого выбора указаны в [3]. В (0.2) вместо функций pm(p) и 9m(p) оставлены нулевые члены разложения в ряд Тейлора: р0 и 90 соответственно. Постоянная S0 определяется из выражения для 9m(p). При заданных значениях физических параметров (для воды в оз. Байкал) погрешность составляет менее 1%.
В работе впервые предпринята попытка оценить влияние солнечного излучения и оптических свойств воды на тепловой режим слоя жидкости и гидродинамическую устойчивость равновесного состояния слоя жидкости.
1. Постановка задачи. Пусть область Q(t) заполнена жидкостью, контактирующей с газовой фазой. Уравнение состояния имеет вид (0.2). Оси x и y находятся в плоскости верхней границы слоя, а ось г направлена вертикально вниз. Толщина слоя l. Нижняя граница слоя - твердая стенка, верхняя - недеформируемая свободная граница (фиг. 1). Свободная поверхность rt определяется уравнением f (x, t) = 0, где x = (x, y, г). В области Q(t) справедлива система уравнений Обербека-Буссинеска з 9
divu = 0, dt + u—9 = XA9 + Fw(г, t)
Po(3í + u—u) = - — p + div ( 2 |D ) + р g (1.1)
1 (З U; ЗиЛ
Dj = 21dX + дХ), j = 1'23
J 1
где u = (u, u, w) - вектор скорости, % - температуропроводность, Fw(z, t) - мощность тепловых источников, которая в случае объемного поглощения (проникновения радиации в среду) определяется по закону [4]
Fw(г, t) = okR exp(-кг)
(1.2)
Здесь о - числовой параметр, представляющий собой отношение интенсивности солнечной радиации к радиационному балансу на поверхности воды, 0 < о < 1, к - показатель ослабления солнечной радиации в воде (показатель поглощения), Я - радиационный баланс поверхности, ц - вязкость, р имеет вид (0.2), g = (0, 0, g), g - ускорение свободного падения.
На твердой стенке задается температура и условие прилипания, а на свободной поверхности - кинематическое, динамическое и энергетическое условия:
0 = 01, и = о (г = I) (1.3)
ип = Уп, Р п + рёп = 0 д0
*дП + *(0 - ^) = б (г = 0) (1.4)
Р = - (р + X ) I + 2 и)
б = Я (1-о) - ^ - ^
где п - нормаль к поверхности Г, Уп - скорость Г в направлении нормали, Р - тензор напряжений в жидкости, X - коэффициент второй вязкости, I - единичный тензор, к -теплопроводность жидкости, Ь - коэффициент межфазного теплообмена, 0^ pg - температура и давление газа, б - заданный поток тепла, Я - радиационный баланс на поверхности воды, ¥е - потери тепла на испарение (конденсацию), Гк - потери на конвективный теплообмен вода-воздух.
2. Равновесное состояние. В равновесном состоянии ие = 0 и 0г = р( = 0. Уравнение несжимаемости удовлетворяется тождественно. Решением уравнения энергии является функция
0( г) = - О^Р (-кг) + с1г + С2 (2.1)
где постоянные с^ с2 определяются из граничных условий (1.3), (1.4):
1
C, =
к - bl
Q -— (кк - b + bexp(-кl)) - b9, + b9g)
XK 1 g _
c2 = 0i- cil + —exp (-к l )
2 11 хк
Была рассмотрена зависимость распределения температуры в слое от значений показателя поглощения и параметра о. Из графиков температуры (2.1), построенных для l = 730 м (средняя глубина Байкала) (фиг. 2), видно: чем ниже показатель поглоще-
^ ^____
0
_|_I_L
200
400
600 г
Фиг. 2. Распределение равновесной температуры 9e при показателе поглощения к = 0.1, 0.2, 0.4 м-1 (кривые 1-3) и параметре о = 0.2, 0.12, 0.07 (а-в)
ния к, тем глубже солнечная радиация проникает в толщу воды. За счет светопогло-щающих свойств воды влияние солнечного излучения на температурный режим значительно только в верхних слоях водной толщи. С ростом глубины внутреннее тепловыделение уменьшается (это видно из (1.2)) и отсутствует на больших глубинах, не оказывая существенного влияния на распределение температуры в нижней части слоя.
Полученные распределения температуры можно сравнить с результатами экспериментальных наблюдений, проводимых на протяжении многих лет на озере Байкал. По приведенным в [5, 6] значениям 01, Я, Q, 0(г) для отдельных месяцев и зон Байкала, восстанавливаются значения к и о, при которых можно получить истинный профиль температуры.
В данной работе вычисления проводились при средних значениях Я, Q для безлед-ного периода.
Уравнение импульса сводится к уравнению рг = которое решалось численно методом Рунге-Кутта-Мерсена 4-го порядка с начальным условием р(0) = (динамическое условие на свободной поверхности). Здесь р8 - атмосферное давление, р8 = 101000 Па. Функция давления р(г) выпукла вниз и близка к линейной.
Итак, получено стационарное решение ре, 0е краевой задачи (1.1), (1.3), (1.4), соответствующее состоянию механического равновесия.
3. Уравнения малых возмущений. Запишем систему уравнений (1.1) в безразмерных переменных. Для этого в качестве характерного масштаба длины выберем I* = 1/2, в
качестве масштаба температуры - разность Т = 00 - 0:. За масштаб скорости примем
и* = Jgl* \УГ2. Для
скорость конвективного всплытия нагретой частицы жидкости
плотности и давления используем масштабы р0 и р0 щ соответственно. Температуру будем отсчитывать от температуры нижней границы 0:, а давление - от гидростатического.
Введем безразмерные переменные X = (X, П, О, т такие, что
= (X, y, г) = xl*, t = и*х, p = PoU*p\ u = u*u', 9 = Ш
x
Здесь р', и, 0' - безразмерные функции давления, скорости и температуры соответственно.
С учетом принятых предположений уравнения свободной конвекции в безразмерных переменных запишутся в виде (штрихи опущены)
3Q
div u = 0, + u ve = 5Д0 + f, Fw
Эх J1 w
d- + u—u = - —p + ц1 Ди + ^в- - (0 - у + eTp)2jk T ,2 1 (3Л)
§ = rU", f 1 = Fw = exp (—Ki Z), К = Kl*
Tk
Ц1 = ГЦ-, V = £, ß1 = ßT2, у = = ^
u* Po 11
Здесь 5 - число Фурье, f1 - параметр тепловыделения, F
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.