МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА <6 • 2008
УДК 532.51.013.4:536.25
© 2008 г. В. Б. БЕКЕЖАНОВА
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСНОГО состояния ЖИДКОСТИ В СИСТЕМЕ ЛЕД-ВОДА С УЧЕТОМ РАДИАЦИОННОГО НАГРЕВА
Изучена задача об устойчивости равновесного состояния слабо сжимаемой жидкости, ограниченной снизу неподвижной твердой, а сверху - теплопроводящей стенкой конечной толщины. Исследовано тепловое состояние системы с учетом объемных источников тепла, возникающих за счет радиации. Показано, что состояние механического равновесия является неустойчивым. Построены нейтральные кривые и найдены критические числа Рэлея.
Ключевые слова: гидродинамическая неустойчивость, нейтральная кривая.
В современных исследованиях конвекции вязкой жидкости особое внимание уделяется изучению физических явлений, характеризующихся наличием нескольких основных механизмов формирования конвективных течений. При этом используются модели конвекции, более точно учитывающие термодинамику жидкости. Так, уравнение состояния жидкости может содержать нелинейную зависимость не только от температуры, но и давления, что наиболее сильно сказывается в слоях жидкости большой глубины. Возникающая в этих условиях инверсия плотности, т.е. существование более тяжелого слоя над легким, является неустойчивой формой механического равновесия, которое может быть нарушено посредством некоторых возмущений и привести к возникновению проникающей конвекции. Вопросы устойчивости равновесного состояния горизонтального слоя жидкости и системы горизонтальных слоев слабо сжимаемых жидкостей со свободной поверхностью с квадратичной зависимостью плотности от температуры и давления рассматривалась в [1, 2]. При этом использовались значения физических величин, характерные для безледного периода. Влияние сжимаемости на развитие процессов вертикального водообмена изучалось в [3], где для анализа применялась двумерная вертикальная модель турбулентного течения, полученная из уравнений Рейнольдса с использованием гипотезы Буссинеска для турбулентных напряжений и приближения Обербека-Буссинеска при учете плотностной неоднородности. Рассмотренные в [1-3] задачи решались применительно к озеру Байкал.
Наряду с плотностной стратификацией важным фактором, влияющим на образование и структуру течения в водоеме, является температурный режим деятельного слоя, формирующийся под действием солнечного излучения. В [4] установлено, что имеет место существенный вертикальный теплообмен между приповерхностными водами и атмосферой не только в безледный период, но и через ледяной покров. В данной работе используется модель, позволяющая проанализировать тепловое состояние водоема в зимнее время, когда воды озера покрыты льдом. Ставится тепловая задача, в которой введение функции теплового источника позволяет получить профиль температуры воды, близкий к истинному [4], учитывая только естественные факторы. Движение жидкости описывается уравнениями свободной конвекции в приближении Обербека-Буссинеска. Лед считается твердой неподвижной теплопроводящей стенкой. Поскольку лед и вода являются светорассеивающими и светопоглощающими средами в достаточно широком диапазоне спектра солнечного излучения, то вводятся в рассмотрение их оптические свойства. В уравнениях для температуры льда и воды допол-
¡г
Щг)
Гг
□г(г) Г2
ег
Фиг. 1. Схема течения Г1 и Г2 - поверхности раздела лед-воздух и лед-вода
нительно учитываются общие энергетические функции тепловых источников ¥1 и соответственно, описывающие поглощение солнечной радиации. Их значения определяются оптическими параметрами и моделью распространения излучения в неоднородной среде. Подобный подход применялся в [5] для исследования теплофизики антарктических озер.
1. Постановка задачи. Рассмотрим систему, состоящую из двух бесконечных слоев 01(?) и О2(0 толщиной 11, 12. Область 01 занята льдом, 02 заполнена водой. Оси х и у находятся в плоскости верхней границы системы, а ось г направлена вертикально вниз. Верхняя граница системы Г1 (лед-воздух), ей соответствует плоскость г = 0, поверхности раздела Г2 (лед-вода) - г = 11, нижняя граница является неподвижной твердой стенкой (дно) и г = 12 (фиг. 1). Далее все величины с индексом ^ относятся к жидкости, заполняющей область 11 < г < 12, а величины с индексом I - ко льду, занимающему область 0 < г < 11. В области 02 плотность жидкости р^ имеет вид [1]
pw = Ро(i-Pw(ew-е*)2), е* = ео(i-Sopw)
(1.1)
0
g
2
г
где р0 - максимальное значение плотности, которое достигается при температуре 90, называемой температурой инверсии или температурой аномалии теплового расширения жидкости, Р^ - коэффициент теплового расширения, - температура, 50 - постоянная положительная величина, рк - давление. Для воды характерное значение р0 = 999.972 кг/м3, температура инверсии 0О = 277.13 К при = 8.57 ■ 10-6 К-2, 50 = 5 ■ 10-8 (Па)-1. Температура инверсии у воды не постоянна, а уменьшается с ростом глубины (и, следовательно, давления). Известны зависимости температуры инверсии от давления р и глубины г [6]:
Тт( р) = 3.985694-0.020617р, Тт (г) = 3.98-0.0021г
Нелинейная зависимость плотности от температуры и давления (1.1) с малыми коэффициентами теплового расширения и изотермической сжимаемости позволяет считать слой жидкости слабо сжимаемой средой в смысле монографии [7].
В О2(0 справедлива система уравнений Обербека-Буссинеска
Э0
Шу^ = 0, + V0^ = х„Д0„ + (г, г)
(1.2)
Рс(+ (ит—= - — Р„ + ^У( ) +
где = (и, и, ц>) - вектор скорости, - температуропроводность, ¥№(г, ^ - мощность внутренних сил. В случае объемного поглощения (проникновения радиации в среду)
функция теплового источника описывает внутреннее тепловыделение и определяется по закону Бугера
г, г) = ок»Яехр(-к»(г - ¡х)), о = Я
Здесь к» - показатель ослабления солнечной радиации в воде (показатель поглощения), Я - радиационный баланс на поверхности, о - числовой параметр, q0w - интенсивность теплового потока, проходящего в воду (на поверхности воды или на нижней поверхности ледяного покрова), 0 < о < 1, ц - вязкость, О - тензор скоростей деформации векторного поля и» с элементами
1 Гд V: Эид
= 21Э7. + ЭЙ, ¡' 1 = 1' 2 3
О: =
р имеет вид (1.1), g = (0, 0, g), g - ускорение свободного падения. В области 01 справедливо уравнение
д0; а{) К; Г
= Х;А0; + Е., Е; = 2-^ехр (-к^г) (1.3)
Здесь для Е; принимается эмпирическая формула [5], q0 - интенсивность теплового потока на поверхности ледяного покрова. Отличительной особенностью для озера Байкал является то, что в зимний период, вследствие сильных ветров снег на поверхности льда практически отсутствует. Граничные условия задаются в виде
(1.4)
0» = 01, и» = 0 ( г = У
= 0 Р» = Р^1 + Pg
д0; д0»
0» = 0; = 0, к, ^ = к» ^ (г = ¡1) (1.5)
кЗ + Ь(0; - 0g) = е, е = Я(1-о) ( г = 0) (1.6)
дП1
где pg - давление газа, к - теплопроводность, п2 - единичный вектор нормали к поверхности Г2, направленный из 02 в п: - нормаль к Г:, Ь - коэффициент межфазного теплообмена, 0g - температура газа, е - заданный поток тепла. 2. Равновесное состояние. В равновесном состоянии
= 0 0;г = 0т = Рт = 0 Уравнения энергии и импульса в 02 принимают вид
Х»Л0» + Е» = 0 (2.1)
- — Рт + Рт g = 0 (2.2)
Решением уравнения (2.1), с учетом граничных условий (1.4), (1.5), будет функция
' Е» (¡2) - Е» (¡1)
0() - Е» (г) + Е» (¡1) г-¡1 0»( г) = -2-+
2
2
К X '2 П к X
+ 01
(2.3)
Фиг. 2. Распределение равновесной температуры при толщине льда 1г = 0.4 (1), -2 = 2 м (2)
Уравнение импульса (2.2) решалось численно методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности. В качестве начального условия использовалось динамическое условие из (1.5). Функция давления р„(г) выпукла вниз и близка к линейной. Решение уравнения (1.3) при Э9,/Э? = 0 представим в виде
9; = -2-^2 (1+ К;7г) ехр (-к^г) + X С1 г + С2
X К
где постоянные С1; С2 определяются из граничных условий (1.5), (1.6):
С =
1
'1>
/ 7 17 Л
к i -
- 1 - о) - + b+ ^[i - (к.^ + i)exp(-к,-^)]
х i К
С2 = (1 + к^) ехр (-к,7/1) /1
График функции температуры (2.3) для средней глубины Байкала (/2 = 730 м) при различной толщине верхней стенки /1 представлен на фиг. 2. В расчетах использовались значения физических параметров жидкости, характерные для воды в озере Байкал, а в качестве Я, 2, 9^ принимались средние значения соответствующих величин в период, когда озеро покрыто льдом. Полученное распределение температуры можно сравнить с результатами экспериментальных наблюдений, проводимых на протяжении многих лет на озере Байкал. По приведенным в [4, 8] значениям 91, Я, 2, 9^ для отдельных месяцев и зон Байкала восстанавливается профиль температуры с погрешностью, не превышающей 2.5%.
Итак, получено стационарное решение р„, 9„, 9; краевой задачи (1.2)-(1.6), соответствующее состоянию механического равновесия.
Запишем систему уравнений (1.2), (1.3) в безразмерных переменных. В качестве характерных масштабов длины, температуры, плотности и давления выберем /* = /2/2,
Т = 90 - 91, р0 и р0 и* соответственно, где и* - масштаб скорости, равный и* = Р„,Т2. Температуру будем отсчитывать от температуры нижней границы 91, а давление - от гидростатического.
Введем безразмерные переменные £ = П, О, т такие, что
X = (X, у, г) = X/*, 1 = т
Р» = Р0и*Р» = u*uW, 0» = Т0» 0; = Т0;
Здесь р», и», 0», 0' - безразмерные функции давления, скорости и температуры соответственно.
При указанном выборе безразмерных переменных система (1.2) запишется в виде (штрихи опущены)
д0
Шу и» = 0, ^ + (и»У)0» = 8»Л0» + /1Е*
ди
^ + (У) = - V Р» + Ц1Ли» +
+ (¡1;- (0» - У + гтР» )2) к (2.4)
2
8» = ГЦГ' /1 = ^, Е* = ехР (-К*0, к* = Кw¡*
,, V» л, о П ^2 л 00 е 008»р0и*
= = Р0, р1 = ^ у =г ет = —т—
Здесь 8» - число Фурье,/1 - параметр тепловыделения, Е* - безразмерная функция теплового источника, К* - безразмерный показатель поглощения, щ - параметр кинематической вязкости (обратный числу Рейнольдса), V» - кинематическая вязкость, к - орт оси г.
Уравнение (1.3) примет вид
д0
Ж.' = 8 ^ + ЛЕ*
,4
х' , qoК;¡*
8; = г^, / 2 = ' **- (2.5)
' ¡*и* 2 Тк{Л*
Е* = ±= ехр (-К*ТС), К* = К,^*
Граничные условия в безразмерных переменных примут вид
01
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.