МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА < 3 • 2008
УДК 532.51.013.4
© 2008 г. С. Я. ГЕРЦЕНШТЕЙН, И. И. КОЗЛОВ, В. В. ПРОКОФЬЕВ, Н. Т. РЕЗНИЧЕНКО, Г. Г. ЧЕРНЫЙ, В. М. ЧЕРНЯВСКИЙ
НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РЭЛЕЯ-ТЕЙЛОРА В ЯЧЕЙКЕ ХЕЛЕ-ШОУ: ВЛИЯНИЕ НАЧАЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
Исследуется влияние начального состояния на развитие неустойчивости Релея-Тейлора в ячейке Хеле-Шоу. Начальные возмущения инициировались двумя способами: возбуждением с помощью вибратора стоячих волн Фарадея и периодическим искривлением границы раздела жидкостей тонкими иглами-перемычками. Неустойчивость Релея- Тейлора реализовывалась путем переворота ячейки. Проводилась видеосъемка процесса развития волн на границе раздела жидкостей с последующей компьютерной обработкой видеофильма. Обнаружено, что начальное состояние определяющим образом влияет на развитие процесса вплоть до больших значений времени.
Ключевые слова: неустойчивость Рэлея-Тейлора, ячейка Хеле-Шоу, предыстория течения, эксперимент.
Экспериментальное исследование неустойчивости Рэлея-Тейлора и тесно примыкающей к ней неустойчивости Саффмана-Тейлора в ячейке Хеле-Шоу проводилось, например, в работах [1-3]. Основное внимание уделялось изучению развития возмущений при "естественных" начальных условиях, когда течение развивается из начального состояния, определяемого малым неконтролируемым шумом. В данной работе изучается зависимость развития течения от начального состояния. Ранее уже отмечалась существенная зависимость течения при неустойчивости Рэлея-Тейлора от начальных данных. В [4, 5] теоретически было показано, что асимптотическое поведение решения для слоя бесконечно большой глубины на больших временах зависит от начальной энергии возмущений. В [6, 7] даны теоретическое обоснование и экспериментальное подтверждение зависимости процесса от начальных данных для тонкого слоя тяжелой жидкости. В [8] продемонстрированы численные эксперименты, подтверждающие такую зависимость для слоя конечной глубины.
Цель данной работы - экспериментальное исследование проблемы общего характера о зависимости процесса развития возмущений от начальных данных на примере рэ-лей-тейлоровской неустойчивости в ячейке Хеле-Шоу.
1. Экспериментальная установка. Эксперименты проводились в прямоугольном параллелепипеде - ячейке Хеле-Шоу с высотой 150 мм, шириной 200 мм и толщиной 5 мм. Боковые стенки выполнены из прозрачного оргстекла. Внутрь ячейки помещены две несмешивающиеся жидкости: дистиллированная вода, подкрашенная анилиновым красителем, с массовой плотностью 1000 кг/м3 и динамической вязкостью 1.05 ■ 10-3 кг/(мс) и керосин с плотностью 779 кг/м3 и вязкостью 1.10 ■ 10-1 кг/(мс). Коэффициент поверхностного натяжения между водой и керосином о = 0.035 кг/см2.
Вначале ячейка устанавливалась вертикально. При этом образовывалось устойчивое состояние: тяжелая жидкость - внизу, легкая - наверху. Затем с помощью пружины ячейка быстро переворачивалась на 180°, и тяжелая жидкость оказывалась выше легкой - в неустойчивом состоянии. Развитие процесса фиксировалось цифровой видеока-
Фиг. 2. График числовой характеристики цвета в зависимости от вертикальной координаты у (1) и ее аналитическая аппроксимация (2) для некоторого значения горизонтальной координаты х
мерой Sony DCR-TRV900E со скоростью съемки 25 кадр/с. Время поворота ячейки составляло 7 кадров.
Для создания контролируемых начальных возмущений с заданной длиной волны и определенной начальной амплитудой использовался вибрационный стенд ВЭД1-10А с диапазоном частот от 5 до 5000 Гц, с помощью которого на поверхности раздела вода-керосин в устойчивом состоянии возбуждалась волна Фарадея. Затем вибрации прекращались, и ячейка быстро переворачивалась. На фиг. 1 показана схема экспериментальной установки. На вибрационном стенде, совершающем колебания в вертикальном направлении у, закреплена рамка в точках a, b. Ячейка с прозрачными передней и задней стенками, прикрепленная к рамке в точках c, d, изображена после поворота на 180° вокруг оси АА. Темным цветом отмечена жидкость с большей плотностью. При этом волна Фарадея не успевала затухнуть за время переворота ячейки. Длина волны определялась частотой вибраций, а начальная амплитуда регулировалась изменением временного интервала от момента выключения вибраций стенда до начала переворота.
2. Обработка видеосъемки. Если одна жидкость окрашена темным цветом, а другая -светлым, то идеальная граница раздела представляет собой скачок цвета. В действительности же имеет место значительный цветовой разброс - граница оказывается размытой. На фиг. 2 приведен пример графика числовой характеристики цвета в зависимости от вертикальной координаты у (тонкая кривая) и ее аналитическая аппроксимация
14
С.Я. Герценштейн и др.
А
Фиг. 3. Развитие процесса без специальных начальных возмущений (к) 17 мм
1
f (У1, Bo) - f (Уо, Bo)
(жирная кривая) для некоторого значения горизонтальной координаты x. Истинные числовые характеристики цвета, записанные видеокамерой, отображены на отрезок [0, 1], соответствующий цветовому отрезку (черный, белый). На этом графике аппроксимирующая кривая представляет трехсвязные области черного и белого цветов, т.е. последовательное чередование отрезков черного и белого цветов (черный-белый-черный-белый). Координата у измеряется в пикселях. Сечение АА на фиг. 3 соответствует данному значению x.
Алгоритм обработки этих числовых характеристик заключается в последовательном определении искомых точек разрыва, соответствующих скачку света на границе раздела методом наименьших квадратов. Вначале определяется точка разрыва B0 функции
Fo (У) = Л f (У' Bo) + Со
f (у, B) = sign (у - B), Ао
С = - f (Уо, в о) 0 f ( У1, в о ) - f ( У о, Во )
Здесь Уо, У1 - граничные точки области определения функции. Массы материальных отрезков "черной" и "белой" жидкостей с плотностями р0, р1 и их потенциальные энергии соответственно равны:
Ро(Во-Уо), Pi (У1- во), 1 Ро(в2-Уо), 1 Pi( У1 - в2)
Далее определяются пары точек разрыва по следующему правилу: новые значения экспериментальных величин (числовых значений цвета), находятся вычитанием из предыдущих значений величин построенной аппроксимирующей функции. Если полученные значения равномерно малы, то процесс заканчивается, в противном случае они отображаются на отрезок [-1, 0] и аппроксимируются ступенчатой функцией
F(У) = Af (у, Уо) + g(У) + С, g(у) = 1/2 f (у, Во) - 2 f (У, Bi)
, g(Уо) - g(У1) ^ ( )
А 'f^, С = -g (Уо)
y, мм 24
12
Д А • Ш i
л • а
д • а
0.5 1 г, с
Фиг. 4. Развитие неустойчивости без вынужденных возмущений. Зависимость положения (у) центров тяжести (вода - 1 и керосин - 2) от времени t
Масса и потенциальная энергия отрезка "черной" жидкости равны соответственно
Ро( В2- Б1), 1/2 Ро( Б22- В2)
Определив точки разрыва для всех значений х, получаем суммарные величины массы и потенциальной энергии, а также зависимости Вк(х).
3. Эксперимент. При естественном (без каких-либо специальных начальных возмущений) развитии процесса образовывались почти периодические волны, средняя длина которых X мало изменялась в серии экспериментов и составляла примерно 17 мм (фиг. 3).
На фиг. 4 даны результаты осреднения для четырех экспериментов (из двух разных серий) обработки видеосъемки развития неустойчивости без вынужденных возмущений. Приведена зависимость от времени изменения положения центров тяжести воды и керосина. Для удобства сравнения изменение центра тяжести керосина взято с обратным знаком и начальные значения центров тяжести ($ = 0.52 с) равны положению невозмущенной границы раздела. Волны, примыкающие к боковым стенкам, не учитывались.
Для умеренных значений времени полученные средние значения хорошо аппроксимируются квадратичной параболой, т.е. тяжелая жидкость опускается, а легкая поднимается при отсутствии каких-либо специально задаваемых начальных возмущений с постоянным ускорением.
Для создания контролируемых начальных возмущений с заданной длиной волны и определенной начальной амплитудой использовался электродинамический вибрационный стенд ВЭД1-10А. Частота вибрации в эксперименте менялась в диапазоне 5-35 Гц, длина волн при этом менялась от 24 до 5 мм.
Волны Фарадея при частотах вибрации 5, 6, 8, 10 Гц имели удвоенную начальную амплитуду 2а0 = 9.4, 7.5, 6.8, 5.5 мм и длины X = 24.3, 18.0, 13.5 и 11.8 мм (фиг. 5, а-г).
На фиг. 5, 6 показан один кадр после переворота ячейки при частоте вибрации 6 Гц и начальной амплитудой волны 2а0 = 4.1 мм. В этом случае волны, возбужденные вибрацией, развиваются более регулярным образом, их длина равна примерно 16.5 мм.
Проведенные эксперименты продемонстрировали существенную зависимость развития рэлей-тейлоровской неустойчивости от амплитуды начальных возмущений. В частности, показано, что средняя скорость вертикальной координаты опускающихся волн стремится к постоянной величине (фиг. 7). При этом осреднение проводится вплоть до времени образования грибообразных структур и разрушения опускающихся языков тяжелой жидкости. В начале нелинейной эволюции (до образования грибообразных структур) языки тяжелой жидкости опускаются с почти постоянной скоростью.
2
Фиг. 5. Волны Фарадея при различных частотах вибратора/: а0 - амплитуда, X - длина волны
Фиг. 6. Кадр видеосъемки / = 6 Гц, Г = 0.25 с после переворота ячейки
Для создания начальных возмущений определенной длины использовались также тонкие (диаметром менее 0.5 мм) иголки. Иглы устанавливались с интервалом 10 мм.
При перевороте ячейки могли образоваться волны длиной 30 мм - втрое больше расстояния между иголками (фиг. 8). В отличие от возмущения волнами Фарадея здесь процесс начинается с нулевой скорости, вершины волн движутся практически с одинаковыми скоростями вверх и вниз и выходят на "стационар", который довольно долго сохраняется. Здесь хорошо видно, что поверхность раздела почти симметрична относительно ее невозмущенного положения.
На фиг. 9 представлены два кадра опыта 2 при Г = 0 и Г = 0.32 с. При некоторых начальных данных могли возбуждаться две волны: длиной 30 и 15 мм. Вначале интенсивно нарастает коротковолновая компонента. Вплоть до Г = 0.32 с имеет место
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.