научная статья по теме НЕВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗГРАНИЧНОГО ГРАВИТАЦИОННОГО СЖАТИЯ Математика

Текст научной статьи на тему «НЕВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗГРАНИЧНОГО ГРАВИТАЦИОННОГО СЖАТИЯ»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2007, том 413, № 6, с. 747-749

ФИЗИКА

УДК 539.12.01

НЕВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗГРАНИЧНОГО ГРАВИТАЦИОННОГО СЖАТИЯ

© 2007 г. Академик С. С. Герштейн, академик А. А. Логунов, М. А. Мествиришвили

Поступило 12.12.2006 г.

В статье [1] Р. Толмен (см. также [2]) в рамках общей теории относительности (ОТО) нашел точное нестатическое сферически-симметричное решение для пылевидной среды (давление р равно нулю), согласно которому за конечное собственное время плотность среды р достигает бесконечности. Происходит гравитационный коллапс пылевидной сферы. Обычно считается, что согласно ОТО, и массивная звезда, исчерпав все источники термоядерной энергии, претерпевает гравитационный коллапс и образуется "черная дыра".

В настоящем сообщении в рамках релятивистской теории гравитации (РТГ) мы специально рассмотрим этот вопрос в достаточно общей форме.

РТГ исходит из представления, что гравитационное поле универсально и является физическим тензорным полем, развивающимся в пространстве Минковского, источником которого является сохраняющийся тензор энергии-импульса всех полей материи, включая и гравитационное поле.

Такой подход приводит к понятию эффективного риманова пространства-времени, возникшему благодаря наличию гравитационного поля, а также он с необходимостью требует введения массы покоя гравитона.

На основании калибровочной группы и требования, чтобы гравитационное поле обладало только спинами 2 и 0, определен лагранжиан теории, и из принципа наименьшего действия получена полная система общековариантных уравнений [3-5], которые форминвариантны относительно преобразований Лоренца. При таком подходе в теории, в противоположность ОТО, имеют место законы сохранения энергии-импульса и момента количества движения всех полей материи, включая и гравитационное поле.

Систему уравнений РТГ для наших целей удобно записать в форме

Институт физики высоких энергий, Протвино Московской обл.

1 Л т

= 8я( Т^ - ^gllVT \ + —(- у^, (1)

= 0.

(2)

Здесь gцv - метрический тензор эффективного риманова пространства, у^ - метрический тензор

пространства Минковского, g^ = -

ковариантная производная в пространстве Мин-

тс п

ковского, т = -¡г- , тг - масса покоя гравитона.

Из уравнений (1) и (2) следует уравнение для вещества1

Vv Т^ = 0,

где Vv - ковариантная производная в римановом пространстве.

В этом можно убедиться, если в уравнении (1) использовать тождество Бьянки

Vv( Я" -1 g'LVRy 0,

и, путем преобразований получив равенство

т2!*^^ = 16 пJ-gVv Т ^

подставить в него уравнение (2).

Тензор энергии-импульса вещества имеет вид

= (р + р) и\хиV - pgllv,

т = т^ = р - 3 р,

р - плотность вещества, р - давление,

(3)

иц

(4)

Интервал эффективного риманова пространства общего вида равен

= gVvVdxXídxX.

(5)

1 Под веществом подразумеваются все виды материи за ис-

ключением гравитационного поля.

748

ГЕРШТЕИН и др.

Функции £Цу(х) будем относить к классу Сг, г определяется конкретной задачей.

Для локализованных времениподобных событий йх1 = 0 имеем

ds2 = g00dt2 > 0,

отсюда следует

,> 0.

(6)

(7)

Для одновре]жнных событий dt = 0 интервал будет пространственноподобным:

ds2 = gikdxdxk < 0. Отсюда следуют условия Сильвестра

(8)

gii < 0,

gil gl2 g21 g22

> 0,

gil gl2 gl3

g21 g22 g23 g3l g32 g33

Здесь

d т =

g0 v dx v

J§00

ds2 = dт2 - di2.

di = I -

< 0, (9)

(10)

g00

dx dx . (11)

22 ds = g00dt + 2 g0ldtdr +

+ glldr + g22 d 0 +

(12)

g00 (r, t) = U(r, t); g0l( r, t) = -A (r, t);

gll(r,t) = -

V( r, t) -

A 2 ( r, t) -U( r, t).

(13)

g22(r, t) = -W(r, t); g33(r, t, 0) = -W(r, t)sin20.

Отсюда квадрат расстояния странстве

трехмерном про-

dl2 = Vdr2 + W( d 02 + sin2 0 dф2);

(14)

здесь V и Ж - неотрицательные регулярные функции.

Отличные от нуля компоненты тензора имеют вид

g" (- t) - IU)(l- uv) ■

0l A

'(r,t) = -UV'

llf l g (r, t) = -V,

22/ .4 l

? (r,t) =

(15)

g*(r, t, 0) = --

l

Wsin 0

а детерминант метрического тензора g^v

g = det g^v = -UVW2sin2 0. (16)

Для интервала пространства Минковского

dа = dt - dr - r (d0 используя (15), находим

sin 0 dф ),

Yiivg

= L i - i)— i +

U

))A))) UV

1

V

)2)))r))) W'

(17)

(18)

Эти требования на метрические коэффициенты в РТГ точно такие же, как и в ОТО.

В настоящем сообщении в рамках РТГ покажем на примере массивного нестатического сферически-симметричного тела, что когда все его ядерные ресурсы исчерпаны, в дальнейшем никакого безграничного гравитационного сжатия тела не происходит.

Общий вид интервала для нестатического сферически-симметричного эффективного риманова пространства-времени может быть представлен в форме

На основании условий Сильвестра (9) согласно (13) имеем неравенство

UV > A .

Отсюда и из (7) следует, что V> 0.

(19)

Путем свертки уравнения (1) с и учитывая (18), находим общее соотношение

2

R + 8пT = 2m2- m 2

11 i-AL) + 1 + 2: u( uv) V W

(20)

где метрические коэффициенты g00, g01, g11 и £22 являются функциями радиальной переменной г и времени t, а g33 зависит также от угла 0. Введем следующие обозначения:

Из этого точного равенства также следует, что и и V как внутри тела, так и вне его не могут обращаться в нуль, а функция Ж(г, 0 не может стремиться к нулю при г ^ 0 быстрее, чем г2, в противном случае одна из величин Я или Т, или обе обращались бы в бесконечность, что сделало бы невозможным сшить решение внутри шара, окруженного поверхностью, на которой физические величины имеют сингулярность, с решением вне этого шара.

Так как функции и, V и Ж непрерывны, то правая часть соотношения (20) в ограниченной области также ограничена.

Следует отметить, что если согласно уравнениям ОТО метрический коэффициент и может обращаться в нуль, то согласно РТГ это невоз-

НЕВОЗМОЖНОСТЬ БЕЗГРАНИЧНОГО ГРАВИТАЦИОННОГО СЖАТИЯ

749

можно, что и находится в соответствии с общим физическим требованием (7).

Следуя [6, 7], отнесем функции gцv к классу С3, т.е. они обладают непрерывными производными первых трех порядков. Тогда, согласно уравнению (1), следует, что функции Я, р и р имеют непрерывные производные первого порядка. Отсюда следует, что величины Я, р и р ограничены внутри тела. Заметим, что для ограниченности этих величин достаточно только их непрерывности.

Таким образом, как скалярная кривизна Я, так и Т, а следовательно, согласно (3) плотность р и давление р не могут обращаться в бесконечность, а поэтому безграничное гравитационное увеличение плотности р тела невозможно, а следовательно, отсутствует и гравитационный коллапс.

Этот вывод не зависит ни от уравнения состояния, ни от начальных условий.

Поскольку величины Я и Т являются инвариантами (скалярами), никакой выбор системы координат это утверждение не может изменить. Для статического сферически-симметричного источника согласно уравнению (2) метрический коэффициент

А = 0

и соотношение (20) принимает вид

2

R + 8пT = 2m2- m 2

J_

U

1

V~

2r

W

2

Замечательным обстоятельством является то, что общее соотношение (20) непосредственно следует из уравнений гравитации (1), основанных

на представлении гравитационного поля как физического поля в пространстве Минковского.

Полевой подход с необходимостью и привел к введению массы покоя гравитона, с помощью которой эффективное риманово пространство оказалось связанным с пространством Минковского.

В РТГ, благодаря наличию массы покоя гравитона, возникает связь скалярной кривизны R и инварианта вещества T непосредственно с метрическими коэффициентами эффективного риманова пространства в форме точного равенства (20). Именно на основании этого соотношения и следует невозможность безграничного сжатия вещества, что и исключает возможность образования "черных дыр ".

В заключение авторы выражают глубокую благодарность В.В. Киселеву, В.А. Петрову, Н.Е. Тюрину за ценные обсуждения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Tolman R.C. // Proc. Nat. Acad. Sci. 1934. V. 2. P. 169176.

2. Oppenheimer JR., Snyder H. // Phys. Rev. 1939. V. 56. P. 455-459.

3. Логунов A.A., Мествиришвили M.A. Релятивистская теория гравитации. М.: Наука, 1989. 304 с.

4. Логунов A.A. Теория гравитационного поля. М.: Наука, 2000. 234 c.

5. Логунов A.A. Релятивистская теория гравитации. М.: Наука, 2006. 253 с.

6. Фок B.A. Теория пространства, времени и тяготения. М.: Физматгиз, 1961. 563 с.

7. Синг Дж. Общая теория относительности. М.: Изд-во иностр. лит., 1963. 432 с.

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком

Пoхожие научные работыпо теме «Математика»