электрона, п - концентрация электронов, т - масса электрона, кв - постоянная Больцмана, Т -температура плазмы, х' - размерная координата.
Диффузное рассеяние электронов на границе плазмы означает, что
к(0, ц) = А, ц> 0, (1.3)
причем величина А находится из условия непротекания
| ехр(-ц2)цйц = 0. (1.4)
Условие (1.4) означает, что ток через границу плазмы отсутсвует. Условие на электрическое поле имеет вид
е(0) = 1. (1.5)
2. СОБСТВЕННЫЕ РЕШЕНИЯ В [4] построены собственные решения уравнений (1.1) и (1.2) в виде
кп(х, ц) = —ехрц)Е(П), (2.1)
20 V Л /
ец( х) = ехр (-Л) Е (п). (2.2)
Здесь Рх 1 - символ главного значения интеграла от х-1,
22 ™.ц> = Рп1 =
п - ц п ехр (-п ) 2
Х(г) - дисперсионная функция задачи, Х(г) = ^ + г-1 (1 - п12 г2)^с(г), ^ = 1 - z0j1, Хс(г) - дисперсионная функция Ван-Кампена (см. [5]),
М2) = 1 + -| |
ехр(-т ) йт
Т - 2
В [4] показано, что на плоскости параметров задачи (у, е), у = ю/юр - 1, существуют области Ю± с общей границей, такие, что если (у, е) е Ю+, то дисперсионная функция имеет два конечных комплексных нуля ±п0(Яепо > 0), а если (у, е) е Ю-, то дисперсионная функция нулей не имеет. Нулю п0 отвечает собственное решение (мода Дебая)
2
2ох 1 п0ц - п 1 , _ ( 2ох
кп (х, ц) = ехрI--—--- еп (х) = ехрI--.
п0 ^ Ч п0)20(п0- ц) п° Ч п0)
Независимо от параметров (у, е) дисперсионное уравнение А,(г)/г = 0 имеет простой (кратности единица) нуль в точке г = Этому нулю отвечает решение Друде км(х, ц) = ц/г0, е(х) = 1.
3. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ЭЛЕКТРОНОВ И ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ
Покажем, что задача (1.1)—(1.5) имеет решение, представляющее собой разложение по собственным решениям дискретного и непрерывного спектров
20к(х, ц) = Е^Мх, ц) + Е0кп0(х, ц) +1кц(х, ц)Е(п)йп, (3.1)
0
е (х) = Е^е„( х) + Е()епа (х) +1 ец( х) Е(п)йп. (3.2)
0
НЕВЫРОЖДЕННАЯ ПЛАЗМА С ДИФФУЗНЫМ УСЛОВИЕМ 123
Здесь Е0, Ем - неизвестные коэффициенты дискретного спектра (амплитуды Дебая и Друде), Е(п) - неизвестная функция (коэффициент непрерывного спектра). При (у, е) е Г- в разложениях (3.1) и (3.2) следует положить Е0 = 0. Будем рассматривать наиболее общий случай, когда (у, е) е Г+.
Подставим (3.1) и (3.2) в граничные условия (1.3) и (1.5). Получаем следующие уравнения:
Ф(ц) +1Е(П)¿Л = ц> 0, (3.3)
0 п - ц цехр (-ц )
Е^ + Ео + ^о = 0. (3.4)
В уравнениях (3.3) и (3.4)
2
ф(ц) = - ^ + Е^ц + Ео-1^--11, К о = | Е (п) ¿п.
По- Ц
Введем вспомогательную функцию
о
2
N( 2) = | -П-^ Е(пМ
П - 2
о
для граничных значений которой сверху и снизу на действительной положительной полуоси выполняется равенство
N(ц) - Щц) = 2п/(Ц2- п2)Е(Ц), Ц > о. (3.5)
С помощью граничных значений функций ^(2) и N(2) сведем уравнение (3.3) к неоднородной краевой задаче Римана (см. [6])
Г(ц)[^(ц) + Ф(Ц)] = ^(Ц)[N(ц) + ф(ц)], ц > о. Рассмотрим соответствующую однородную краевую задачу
Х+(ц) = О(ц)Х(ц), ц > о, О(ц) =
^"(ц)
Учитывая, что индекс этой задачи равен единице (см. [4]), ее каноническое решение имеет вид
Х( 2) = 1ехр У( 2), У( 2) = 21-1[ 1п О (т) -2 п/ ]
¿т
где под 1п О(т) понимается регулярная ветвь логарифма, фиксированная в нуле условием 1п О(О) = 0; в этом случае, как нетрудно видеть, 1п О(+^) = 2л/. Теперь с помощью этого решения преобразуем неоднородную задачу Римана к задаче определения аналитической функции по ее скачку:
Х+ (ц)[N (ц) + ф(ц)] = Х-(ц)[N(ц) + ф(ц)], ц > о. Решение этой задачи содержит две произвольные постоянные С0, С-1 и имеет следующий вид:
N (2) = - ф( 2) + Х- Г Со + . (3.6)
X (2 Д 2 - 2оУ
Постоянные С0, С-1 находятся из условий разрешимости
Со = Ех, С_! = -Ео (по- п1) X (По).
Неизвестная функция Е(п) находится из условия (3.5), если в левую часть (3.5) подставить решение (3.6). Получаем
2 п/(п2- П2) Е (п) = ГСо + П%"1т(П), (3.7)
V П По/
о
Фиг. 1.
где
Y(n) =
1
1
х (п) Х"(п)
Для нахождения неизвестных коэффициентов Е0 и Ем воспользуемся условием непротекания (1.4). Подставляя разложение (3.1) в (1.4), имеем
E„ + 2 п1( 1- )(Eo + K о) = 0. Вычислим интеграл K0 = CJ0 + C_1J1, где
(3.8)
Jo =
_1_ ry( n ) dn J = _1_ j
2пiJ n2_n2' 1 2niJ
Y(n)dn
(n2_n1 )(n _По)
Возьмем контур Ге, изображенный на фиг. 1. Радиус большой окружности равен Я = 1/е, радиус малой окружности равен г = 2е, отрезки АВ и СГ отстоят от действительной оси на расстоянии е, е > 0. С помощью интегральной формулы Коши для всех 2 е Ге имеем
X( z) 1 2 п i °
1
LX (т)
_ т + V j
dT
т _ z
(3.9)
где
V1 = _21n- J[lnG(T) _ 2пi]dT.
Перейдем к пределу при е —► 0 в этом равенстве. Заметим, что для функции ф(2) = Х_1(2) - 2 + + У1 при 2 —► ^ имеет место следующая асимптотика: ф(2) = 0(1/г)(2 —► В силу этой асимптотики значение интеграла (3.9) на окружности ГЯ = {т: |т| = Я, Я = 1/е} исчезает в пределе при е —► 0. Из определения функции Х(2) вытекает ее ограниченность в окрестности начала координат. Поэтому интеграл (3.9) по малой окружности уе = {т: |т| = 2е} в пределе при е —► 0 также исчезает. Таким образом, в пределе при е —► 0 из равенства (3.9) получаем следующее интегральное представление
1-_z + V ^ J- f
(z) 1 2 п iJ
X (z)
_ _L rxjndn
n _ z .
С помощью интегрального представления (3.10) имеем
22 jo = _1_ Б^Л а
± Х(П1 )± X (_П1) а = —
^ ' 2
При выводе этого равенства была использована факторизация дисперсионной функции (см. [7]) X(z) = По - z2)X(z)X(-z). Интеграл J1 вычислим с помощью контурного интегрирования и теории вычетов:
J1 = [Res + Res + Res ]-т—- = --г +
no _n1 n X (z)(z2_ )(z _ По) X(По )(П2_ П)
+
1
2 П1
1
1
L(n 1 _ По )X(n) (П1+ По) X (_П1 )J
C_1
П1 а _ поа
П 1 E„
Теперь подставим ./0 и 3 в выражение для К0, а К0 - в (3.8) и (3.4). Придем к системе уравнений,
о
о
НЕВЫРОЖДЕННАЯ ПЛАЗМА С ДИФФУЗНЫМ УСЛОВИЕМ из которых найдем, что
Е = А.
ОО л 5
А—
Е = Ех п 1/( п0 - п 1) + а-Е° Х(п )
п1 Е—
Разложения (3.1) и (3.2) доказаны. Для полного завершения задачи требуется найти постоянную А из граничного условия (1.3). Для этого вычислим пределы в точке г = — в левой и правой частях (3.6). Из полученного равенства находим, что
А20 = - Кх- п0 Е0- С 1 + С0 V,, К1 = |п Е (п) йп.
0
С помощью (3.7) имеем К1 = С0 30 + С-1 , где
(3.10)
30 =
_ 1 ГТ(п)п йп
^ г
2 п И
22 п2 - п21
3 2п /1
т(п)п йп
(п2-п1 )(п -п0)
00 С помощью интегрального представления для 1X2) получаем, что
з0 = V! +
,2 2. + (п0-п 1 )а
Второй интеграл вычислим с помощью теории вычетов и контурного интегрирования:
31 = [Яе8 + Яе8 + Яе8 + Яе8 ]-2-2-
- п0 % X(2)(22- п2)(2 - п0)
= -1-п0--
п0а - п1а
На основании (3.10) теперь находим
А20 = п
Е— + п0а - п1 а
п0а - п1а
Аналитическое решение задачи полностью закончено.
4. АНАЛИЗ РЕШЕНИЯ Электрическое поле (3.2) представим в виде суммы двух слагаемых е(х) = ей(х) + ес(х), где
А1
ей( х) =
А
, , п:/(п2- п1) + ( 20х 1 +-+-—ехр (--
Х(п0)(п 1 а - п0а ) 4 п0
(4.1)
,(х) = Ш1
С0
ехр(|йп.
п - п - п1 ^ п
(4.2)
Будем считать параметры е и у малыми: 0 < е <§ 1, |у| < 1. При ю ~ юр (у ~ 0) и е ~ 0, т.е. вблизи резонанса п0(У, е) ~ —. В самом деле, разложим дисперсионную функцию в асимптотический ряд в окрестности бесконечно удаленной точки:
А(2) = А— + А| + А4 + ..., ^ —,
2 4 2 2
где
А— = А(—) = 1-! + -!■-;, А2 = 3- е20
22 " 20
->„2 2 2 е 20
А4 =
15 - 3 е 20
■ 2 2 4е 20
В линейном по у и е приближении находим
п2 _ А2 , А4 _ 3 + /е - е(е - /у) п0 + ■Т"
15 + / е ( 1 + у + / е) А— ' А2 2[2у + /е + у(у + /е)] ' 6 + 2 / е (1 + у + / е ).
(4.3)
е
0
Из выражения (4.3) видно, что |п01 быстро возрастает, но остается конечной величиной даже при у = 0, ибо £ > 0 для рассматриваемой столкновительной плазмы.
Представим основные параметры решения как функции двух малых параметров:
- 2у + 7£ + у(у - 7£) .1+ У + 7£ 2 7 £, л , . ч ^ = --— 2 ¿0 = -7-£-, П = -"т (1+ У +1 £).
( 1 + у + 7£) £ 2
Оценим величины ¿0/п0 и при у = 0 и £ —«- 0:
По=(7>М- 2-=-£(т=0'^0'• (4-4)
Из выражений (4.1) и (4.2) с учетом соответствующей асимптотики из (4.4) видно, что для дискретного спектра соответствующая часть электрического поля имеет коэффициент убывания
по х, пропорциональный (л/£) 1. Для непрерывного спектра соответствующая часть поля имеет коэффициент убывания, пропорциональный величине £-1. Это означает, что существуют два
слоя 0 < х < £ и £ < х < 4£, в первом из которых следует учитывать вклад в электрическое поле, обусловленный и непрерывным и дискретным спектрами. Во втором слое решающий вклад в
электрическое поле вносит второе слагаемое из (4.1) - мода Дебая. Второй слой при х ~ 4£ переходит в область сплошной среды, где определяющий вклад в поле вносит первое слагаемое -мода Друде.
Переходя к размерным координатам, получаем, что первый слой соответствует области 0 < х < /£,
I - длина свободного пробега электронов, а второй слой - области ¡£ < х < ¡л/£. Учтя определение величины £, эти области выразим через дебаевский радиус экранирования поля гв (гв ~ vт/юp), - тепловая скорость электронов: 0 < х < гв - первая область, и гв < х < - вторая область. Третий
слой соответствует области ^Гт^, < х < +<». В этой области мода Дебая и вклад непрерывного спектра (волны Ван-Кампена, см. [5], [8]) затухают и доминирует объемное расширение Друде; следовательно, третий слой - это область, где справедлива электродинамика сплошной среды.
Особо отметим, что вклад непрерывного спектра в электрическое поле при больших |По | в первом слое имеет тот же порядок, что и вклад дискретного спектра, а на границе плазмы (при х = 0) эти вклады совпадают в пределе при п0 —При этом оба составляющих электрического поля ес(0) и ес(0) на границе невырожденной плазмы по отдельности являются неограниченными, в отличие от случая зеркальных граничных условий (см. [4]), в котором е/0) и ес(0) при всех значениях параметров у (|у| 1) и £ (0 < £ < 1) являются конечными.
Итак, вне первого слоя поведение электрического поля определяется в основном дискретным спектром. Из приведенных графиков видно, что затухание волн Ван-Кампена сопровождается осцилляциями.
Приведем графики (фиг. 2-5) зависимостей модуля электрического поля (фиг. 2, 3) и действительной части электрического поля от расстояния до
Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.