научная статья по теме НЕЙРОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЯЗКОУПРУГИХ СРЕД С АССОЦИАТИВНОЙ ПАМЯТЬЮ Математика

Текст научной статьи на тему «НЕЙРОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЯЗКОУПРУГИХ СРЕД С АССОЦИАТИВНОЙ ПАМЯТЬЮ»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК, 2010, том 430, № 4, с. 494-497

МЕХАНИКА

УДК 519.711.2 : 539.313

НЕЙРОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЯЗКОУПРУГИХ СРЕД С АССОЦИАТИВНОЙ ПАМЯТЬЮ

© 2010 г. Ю. А. Басистов, Ю. Г. Яновский

Представлено академиком А.М. Липановым 26.05.2009 г. Поступило 28.05.2009 г.

1. Моделирование вязкоупругих сред можно разделить на два этапа. На первом этапе производится синтез математической модели среды, на втором — ее идентификация по экспериментальным данным, снятым с прибора. В настоящее время при синтезе моделей, как правило, используются элементы Максвелла, Джеффриса и Фойгта—Кельвина [1]. Элемент Максвелла — это последовательное соединение упругого и вязкого компонентов. Из параллельного набора таких элементов формируется математическая модель, например, модель Вагнера [2]:

N

а(x, t) = Jh(I, II) £

Пк.

к = 1

x exp

t - s

a DC-1 (x, s)/Ds

(a - 3) + в I + (1 - в) II

ds,

Институт прикладной механики Российской Академии наук, Москва

Элемент Джеффриса имеет две компоненты вязкости, обобщает элемент Максвелла и удовлетворяет уравнению

а =

2П1 X D [ u( t)] + 2 n

Xi

X1

1 - X-

Xr

x exp

t - s

~ X 1 J

D [ u (s)] ds = aN + aE

где 2D[u] = \ 2D, (u) =

д Ы( du

+

dxj dxt

, Xj — время

где I = ИС-1 , II = НС,, а > 0, 0 < р < 1, С, = F,тFt =

т

= С, — тензор Коши—Грина, F((s) матрица-функция Якоби, [цк, Хк} — релаксационный спектр (при постоянной температуре Т0), Н(1, II) — нелинейная демпинг-функция, инвариантная производная. Эта модель не может быть использована для идентификации сложных гетерогенных сред, так как приспособлена только для жидких сред при постоянной температуре. Процесс ее идентификации заключается в оценке параметров а, р, релаксационного спектра {пк, Хк} и демпинг-функции. Оценка связана с решением обратной задачи, некорректной по Адамару [3, 4]. Вопрос оценки демпинг-функции по экспериментальным данным и сегодня, по мнению авторов, остается открытым. Поэтому практическое использование модели проблематично.

релаксации, Х2 — время ретардации. Здесь первое слагаемое описывает поведение ньютоновской среды, а второе — вязкоупругой. Эта модель также не пригодна для моделирования сложных гетерогенных сред в режиме больших деформаций. Идентификация модели также связана с решением обратной задачи для интегродифференциаль-ного уравнения.

Элемент Фойгта—Кельвина состоит из параллельного соединения компонентов упругости и вязкости, описывается уравнением

ду

^ = еи + П2

и может быть использован лишь для моделирования твердых вязкоупругих сред при малых деформациях.

Таким образом, указанные модели используют линейные вязкоупругие элементы относительно напряжения и градиента деформации, что может соответствовать лишь малым деформациям. Эти элементы в математической модели среды взаимно не связаны и не передают деформацию от одного элемента соседним элементам. Рассмотренные модели не могут быть использованы для моделирования сложных гетерогенных сред, так как приспособлены лишь для жидких или твердых фракций среды. Эти модели работоспособны лишь при постоянной температуре среды, в то время как в процессе больших деформаций температура среды может изменяться. Процесс идентификации рассмотренных моделей приводит к

-да

к

да

к

НЕЙРОДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЯЗКОУПРУГИХ СРЕД

495

синтезу специальных регуляризующих операторов для решения обратных некорректных по Ада-мару задач. Такие операторы не всегда удается синтезировать особенно в их нелинейном варианте.

С другой стороны, на большом экспериментальном материале авторами установлена существенная зависимость релаксационного спектра от величины деформации [5]. Следовательно, модели должны синтезироваться на нелинейных вяз-коупругих элементах. Выполнить оценку нелинейности на экспериментальном материале авторам не удалось. Поэтому была синтезирована кусочно-линейная модель [6]. Однако и эта модель оказалась мало приспособленной для моделирования сложных гетерогенных сред по причине однородности и взаимной независимости входящих в модель вязкоупругих элементов. Приведенные выше модели реализуют лишь наследственную память. В соответствии с принципом минимума свободной энергии в статистической физике физическая среда стремится в состояние с минимальной свободной энергией в точке термального равновесия. Память, которая устанавливает ассоциацию между состоянием среды в любой заданный момент времени и ее состоянием, соответствующим ее минимальной энергии, назовем ассоциативной. Динамика модели должна задаваться системой нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка

£1

П1

йх( г) - х( 0), X (1{) ) = Хо,

йг

(1)

где {Г у} - 1 — компоненты нелинейной векторной

функции. Точку равновесия х* называют аттрактором динамической модели. Реализация ассоциативной памяти содержит две фазы: фазу запоминания и фазу восстановления. Фаза запоминания состоит в поиске такого нелинейного оператора Р(-) из (1), для которого при заданном аттракторе х* выполняется условие Р(х*) = 0. Фаза восстановления состоит в выполнении условия равномерной (по

области притяжения) сходимости {х0, . 1 ^ х*. Последнее характеризует устойчивость системы.

Цель настоящей работы состоит в синтезе математической модели нелинейного вязкоупруго-го элемента с ассоциативной памятью и модели среды, построенной на таких элементах, в формировании алгоритма идентификации модели на таких элементах.

2. Рассмотрим нелинейный вязкоупругий элемент, представленный на рис. 1. Предположим, что функция нелинейности ф(-) непрерывна, всюду дифференцируема на области ее определения, ограничена и монотонно возрастает.Подбирая элементы {£, п I}2 - 1 так, чтобы Х1 = Х2 = X, с учетом условия неразрывности элемента запишем нелинейное ин-

Ф(')

82

П2

Рис. 1. Вязкоупругий элемент с ассоциативной памятью.

тегродифференциальное уравнение вязкоупругого элемента

- - МО

йг

X

( 1 \ + ф -1 Г ехр (-г—т)у(т) йт + сош!

^Х^ 4 Х у )

-да<т< г < Т, у(-да) - у 0, Х> 0.

Это уравнение есть конкретная реализация динамической системы (1) с ассоциативной памя-

й

тью, в которой оператор — содержит кратковре-

йг

менную память, а функция ехр х) — долговременную память на элементах {§,-, п- 1.

Построим модель вязкоупругой среды, состоящей из совокупности элементов, представленных на рис. 1, и синаптических связей между ними в виде интегральных операторов Вольтерра. Введем коэффициент к е {—1, 1}, определяющий знак ядра оператора. При к = 1 происходит возбуждение связей между элементами, а при к = —1 — торможение.

Обобщая отмеченные выше результаты, уравнение модели запишем в виде

/ N г

й_ _ ]) ^ф| V

йг

Х; + ^

г К

\ Х-Х,.

ехр < -т

: 1

Ху- + X | -2Х-Х-]

х у;.(г - т)йт + Ь1

(2)

{X.}11 > о, {X}УЛ- 1 > 0, -да < т < г< Т< да, у(-да) - у0, у - 1, 2, ..., N, к1 - 1 при / - у.

Из этих соотношений следует, что деформация одного элемента (рис.1) нелинейно связана с деформациями соседних элементов интегральными

-да

496

БАСИСТОВ, ЯНОВСКИЙ

операторами связей. Эти операторы характеризуют наличие некоторых дополнительных вязко-упругих цепочек связей последовательного типа (типа Максвелла) между ассоциативными элементами. Диагональные компоненты

I

»■»«> = | А

ехр<-- к(* - т)йт

V

матрицы-функции W(í) характеризуют нормиро-

ванные напряжения w¡■¡(í) =

* >

в вязкоупругих

элементах в момент времени Эти напряжения моделируются операторами Вольтерра с ядрами — материальными функциями. Операторы реализуют зависимость напряжений и деформаций в элементах с наследственной памятью. Компоненты

м *> = |

_1_

ехр < -

(—.. + - >т

2 —■—I

•у;-(* - т)йт,

г Ф У,

определяют синаптические связи между г-м и ]-м вязкоупругими элементами. Они характеризуются операторами Вольтерра и моделируют нормированные напряжения связей, которые передаются ц-му элементу под действием деформации, возникающей в г-м элементе, причем ^^ = ^ц для всех г,Ц = 1, 2, ..., N. Синаптические связи также обладают наследственной памятью. Если Мц^) < 0, г Фц, то эти интегралы отрицательны. Это означает ослабление влияния (торможение) одного элемента на другой. Релаксационный спектр среды со связями характеризуется релаксационной мат-

„Л „ с» 2ч N

рицей Л, в которой компоненты {—г} г = 1 определяют релаксационный спектр вязкоупругих элементов среды, а компоненты —— ответственны за наследственную связь ¡-го и ц-го элементов (и наоборот) с условиями возбуждения или торможения. Таким образом, изменение состояния в каком-либо одном нелинейном элементе влечет за собой изменение состояний во всех остальных элементах среды. Это существенное отличие от известных в настоящее время, по мнению авторов, моделей вязкоупругих сред. Если взаимные связи между элементами разрушить, то получим диагональную релаксационную матрицу, определяющую обычный релаксационный спектр нелинейной среды.

В случае медленных флуктуаций деформации в модели (2) справедлива факторизация мц(т) = = ¡¡(т) для всех значений г = 1, 2, ...,М, ц = 1, 2, ., N.

Теперь операции суммирования и интегрирования можно инвертировать и записать (2) в виде

м = й*

М * >

N

+ Фу| |¥т>1 X М(* - т>

йт + Ь,

У = 1, 2,

ч = 1 N,

(3)

-да < т < * < Т<да, у(-да) = у0.

Модель (3) позволяет реализовать наследственную память однократно сразу по сумме связей ц-го элемента с N — 1 элементами. Дальнейшее упрощение модели (3) состоит в игнорировании временной информации путем отождествления аппаратной функции ядра оператора с дельта-функцией Нц(т) = 5(т) V/ = 1, 2, ., N. В этом случае оператор Вольтерра

N

N

15(т>1 X М(* - т>1 йт = X М(0

-з ^ г = 1 ' г = 1

становится единичным. Теперь модель (3) примет вид

йи '>- - ^^+4Хм(<>+

й*

(4)

У = 1, 2.....N,

-да < т < * < Т<да, у(-да) = у0.

Такое ограничение позволяет при дальнейшем анализе сосредоточиться только на свойствах ассоциативной памяти, не загромождая материал изучением наследственной памяти.

Теорема. Пусть матрица W — симметричная, положительно определенная, функции ф,(х), г = 1, 2, — ограниченные, монотонно возрас-

тающие и всюду дифференцируемые по первой производной на области их определения, — = — > 0 для всех г = 1, 2, ., N. Тогда фу

Для дальнейшего прочтения статьи необходимо приобрести полный текст. Статьи высылаются в формате PDF на указанную при оплате почту. Время доставки составляет менее 10 минут. Стоимость одной статьи — 150 рублей.

Показать целиком